黄平县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

黄平县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A．akm

A．关于x轴对称

B．

akm

C．2akm

2． 方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（ ）

B．关于y轴对称

C．关于直线y=x轴对称

akm

D．

D．关于直线y=﹣x轴对称

x2y23． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

y24． 圆(x-2)+y=r（r>0）与双曲线x-=1的渐近线相切，则r的值为（ ） 3A．2 B．2 C．3 D．22

2222【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．

5． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

6． lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7． 抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣y=0的距离是（ ） A．

B．

C．

D．

8． 阅读右图所示的程序框图，若m8,n10，则输出的S的值等于（ ） A．28 B．36 C．45 D．120

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yx2

9． 已知实数x,y满足不等式组xy4，若目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则

3xy5

实数m的取值范围是（ ）

A．m1 B．0m1 C．m1 D．m1

【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等. 10．下列命题中错误的是（ ）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个 B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个 C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面

D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形

11．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ） A．y2=4x或y2=8x C．y2=4x或y2=16x

B．y2=2x或y2=8x D．y2=2x或y2=16x

＞0的解集为（ ）

12．设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式A．（﹣2，0）∪（2，+∞） ∪（0，2）

B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．0）（﹣2，

二、填空题

13．函数f（x）=

（x＞3）的最小值为 ．

14．无论m为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过定点 ．

15．B={x|﹣2＜x＜4}， ∩B=∅，设集合A={x|x+m≥0}，全集U=R，且（∁UA）求实数m的取值范围为 ．16．已知双曲线

的一条渐近线方程为y=x，则实数m等于 ．

17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线l与函数

fx2x2a2x0和gx2x3a2x0均相切（其中a为常数），切点分别为Ax1,y1和

Bx2,y2，则x1x2的值为__________．

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18．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y=与直线x=1及x轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=

2

π（）2dx=x3|=

．

据此类推：将曲线y=x与直线y=4所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．

三、解答题

19．某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍，由于地理位置的限制，鸡舍侧面的长度x不得超过7m，墙高为2m，鸡舍正面的造价为40元/m，鸡舍侧面的造价为20元/m，地面及其他费用合计为

2

2

1800元．

（1）把鸡舍总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域． （2）当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

20．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）+（y﹣1）=4和圆C2：（x﹣4）+（y﹣5）=4 （1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

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2

2

2

2

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21．（本小题满分12分）已知两点F1(1,0)及F2(1,0)，点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且PF1、F1F2、 PF2构成等差数列． （I）求椭圆C的方程；

（II）设经过F2的直线m与曲线C交于P、Q两点，若PQ=F1P+FQ，求直线m的方程． 1

22．（本小题满分12分）111]

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF//DB. （1）已知ABBC，AFCF，求证：AC平面BEF； （2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证： GH//平面ABC.

222

23．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组

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各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

24．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边

长的概率为（ ） A BCD

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黄平县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D

，

akm，

【解析】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=BC=akm，

∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=故选：D．

akm，

即灯塔A与灯塔B的距离为

【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

2． 【答案】A

22222

【解析】解：方程x+2ax+y=0（a≠0）可化为（x+a）+y=a，圆心为（﹣a，0）， 22

∴方程x+2ax+y=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，

故选：A．

【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．

3． 【答案】D

2222【解析】∵PF1PF2F1F24c，1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF1PF20，∴PF|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)， (PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

r31PF1PF2F1F2c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a第 7 页，共 17 页

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4． 【答案】C

5． 【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，

3

而在8个点中选3个点的有C8=56，

所以所求概率为故选：C

=

【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

6． 【答案】A

2

【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y=zx，∴充分性成立，

2

因为y=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，

故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．

7． 【答案】C

2

【解析】解：抛物线y=2x的焦点F（，0），

由点到直线的距离公式可知： F到直线x﹣

y=0的距离d=

=，

故答案选：C．

8． 【答案】C

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．Snn1n2123nm1m,n10时，，当m8Cnm第 8 页，共 17 页

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m82CnC10C1045，选C．

9． 【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，A(1,3)，要使目标函数zymx取得最大值时有唯一的最优解(1,3)，则需直线l过点A时截距最大，即z最大，此时kl1即可.

10．【答案】 B

【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．

∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．

对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为

，

，∴截面面积

≤

．故B错误．

=

．

∴截面三角形SAB的高为S=

故截面的最大面积为

=

对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．

对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确． 故选：B．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．

11．【答案】 C

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），

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∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|=

=

，

∴sin∠OAF==，

∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，

∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，

∵|MF|=5，|AF|=

∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8

22

因此，抛物线C的方程为y=4x或y=16x．

故选：C．

方法二：

2

∵抛物线C方程为y=2px（p＞0），∴焦点F（，0），

=，

设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为

由已知圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，

2

即M（5﹣，4），代入抛物线方程得p﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 22

所以抛物线C的方程为y=4x或y=16x．

故答案C．

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【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．

12．【答案】B

【解析】解：∵f（x）是偶函数 ∴f（﹣x）=f（x） 不等式

也就是xf（x）＞0

①当x＞0时，有f（x）＞0

∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0 ∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2； ②当x＜0时，有f（x）＜0

∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2）， ∴﹣x＞2⇒x＜﹣2

综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 故选B

，即

二、填空题

13．【答案】 12 ．

【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0 由题意知：

=﹣

=t﹣3t2

令t=∈（0，），h（t）=

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2

因为 h（t）=t﹣3t 的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；

故h（t）∈（0，由h（t）=

]

≥12

⇒f（x）=

故答案为：12

14．【答案】 （3，1） ．

【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得 即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0， ∴2x+y﹣7=0，① 且x+y﹣4=0，②

∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点． 由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；

故答案为：（3，1）

15．【答案】 m≥2 ．

【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以CUA={x|x＜﹣m}， 又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁UA）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2． 故答案为m≥2．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：∵双曲线

又已知一条渐近线方程为y=x，∴故答案为4．

的渐近线方程为 y= =2，m=4，

x，

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y=的关键．

17．【答案】

x，是解题

56 27第 12 页，共 17 页

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【解析】

18．【答案】 8π ．

【解析】解：由题意旋转体的体积V=故答案为：8π．

2

==8π，

【点评】本题给出曲线y=x与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）=

定义域是（0，7]… （2）∵

，…

…

…

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当且仅当即x=6时取=…

∴y≥80×12+1800=2760…

答：当侧面长度x=6时，总造价最低为2760元．…

20．【答案】 【解析】

【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．

（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l1与l2的方程．

【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；

∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）

圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2 ∴d==1（2分） d=

从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣

∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分） （2）设点P（a，b）满足条件，

由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0， 不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0 则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）

∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等， ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等 即

=

（8分）

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|

∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5 因k的取值有无穷多个，所以

或

（10分）

解得或

这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，

）（12分）

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21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．

xy3331得y，即P(1 , )，Q(1 , ) 43222252222直接计算知PQ=9，|F1P|2|F1Q|2，PQ?F1P，x1不符合题意 ； FQ12②若直线m的斜率为k，直线m的方程为y=k(x-1) x2y21(34k2)x28k2x(4k212)0由4得 3yk(x1)（II）①若m为直线x1，代入

22

8k24k212设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2，x1x2

34k234k2222由PQ=F1P+FQ得，F0 11P?FQ1即(x11)(x21)y1y20，(x11)(x21)k(x11)k(x21)0

4k2128k221)(1k)0，即7k290 代入得(1k)(2234k34k3737(x1) 解得k，直线m的方程为y772(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)(1k2)0

22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

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试题分析：（1）根据EF//DB,所以平面BEF就是平面BDEF,连接DF,AC是等腰三角形ABC和ACF的公共底边，点D是AC的中点，所以ACBD,ACDF,即证得AC平面BEF的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC的中点为，连接GI，HI，根据中位线证明平面HGI//平面ABC,即可证明结论.

试题解析：证明：（1）∵EF//DB，∴EF与DB确定平面BDEF.

如图①，连结DF. ∵AFCF，D是AC的中点，∴DFAC.同理可得BDAC. 又BDDFD，BD、DF平面BDEF，∴AC平面BDEF，即AC平面BEF.

考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.

【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行. 23．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

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试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

（2）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，

(A2,B2)，(A1,B2)，(A2,B1)，共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，

(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式. 24．【答案】C

7. 10【解析】

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