高中物理模块九磁场考点4-6带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题习题

考点4.6 临界与极值问题

考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题

圆的“放缩”

当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的强弱B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方形边界OABC形成的临界情景为②和④.

1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度

大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( BC )

A.

Bqd(2＋2)Bqd(2－2)Bqd2Bqd B. C. D. mmm2m2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，

平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为( D )

A.

mv3mv2mv4mv B. C. D. 2qBqBqBqB3. （多选）长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度

为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( AB )

A. 使粒子的速度v<

BqL 4m5BqLB. 使粒子的速度v>

4mC. 使粒子的速度v>D. 使粒子速度

BqL mBqL5BqLB的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为－q的粒子从AB边的中点处垂直于磁感应强度方

向射入磁场，速度方向与AB边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD边射出磁场，则其速度大小应满足( C )

2qBL2qBLqBLqBLA．v≤ B．v≥ C．v≤ D．v≥ mmmm5. 如图所示，条形区域AA′、BB′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为

B，AA′、BB′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d.一束带正

电的某种粒子从AA′上的O点以大小不同的速度沿着AA′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t0；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场．不计粒子所受重力．求： (1) 粒子的比荷；

(2) 带电粒子的速度v0和v1.

qm

q4π2Bqd2Bqd【答案】 (1)＝ (2)v0＝，v1＝

m3Bt03mm

6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向

里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．

(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？

(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？

【答案】(1)

7. 如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大

值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求： (1) 两板间电压的最大值Um；

(2) CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；

3Bqr3Bqr (2) 3m4m

(3) 粒子在磁场中运动的最长时间tm.

qB2L2m【答案】（1） ；（2）(22)L （3）

Bq2m

8. 如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.46.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平

向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。今在曲线OP上同时由静止释放质量m=1.6×10 kg，电荷量e=1.6×10C的带正电的粒子2000个(在OP上按x均匀分布)。不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，求： (1) 粒子进入Ⅱ区的最大速度值；

(2) 粒子打在荧光屏上的亮线的长度和打在荧光屏上的粒子数； (3) 粒子从出发到打到荧光屏上的最长时间。

【答案】（1）5×10m/s （2）500 （3）4.0×10s

4

-4

-25

-19

考点4.6.2 “旋转圆”方法解决极值问题

2．定圆“旋转”

当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定，但射入的方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件，如图所示为粒子进入单边界磁场时的情景．

【例题】如图所示，在0≤x≤3a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0－180°范围内．已知沿

y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P(3a，a)点离开磁场．求：

粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；

此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围； 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．

【解析】 (1)粒子沿y轴的正方向进入磁场，如图(1)所示，从P点经过，作OP的垂直23222平分线与x轴的交点为圆心，根据直角三角形有R＝a＋(3a－R)，解得R＝a，sinθ

3＝＝aR3

，则粒子做圆周运动的圆心角为120°，周期为T＝3t0. 2

2π2

粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律，得Bqv＝m()R，v＝

T2πRq2π

，化简得＝. Tm3Bt0

如图(2)所示，仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，此时速度与y轴的正方向的夹角是60°.角度最大时从磁场左边界穿出，半径与y轴的夹角是60°，则此时速度与y轴的正方向的夹角是120°.所以速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°. (3)如图(2)所示，在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场的右边界相切，在三23233

角形中两个相等的腰为R＝a，而它的高是h＝3a－a＝a，半径与x轴正方向

333的夹角是30°，这种粒子的圆心角是240°.所用时间为2t0.所以从粒子发射到全部离开所用时间为2t0.

23q2π

【答案】 (1)R＝a ＝(2)速度与y轴的正方向的夹角范围是60°到120°

3m3Bt0(3)从粒子发射到全部离开所用时间为2t0.

9. （多选）如图所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的长方形区域中有一磁感应强度大小为B的匀

强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面向外。O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为

m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内的第一象

限内。已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为，最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为。不计粒子的重力及粒子间的相互作用，

124则( ABC )

TT

2qBaA． 粒子射入磁场的速度大小v＝ mB． 粒子圆周运动的半径r＝2a

C． 长方形区域的边长满足关系＝3＋1 D． 长方形区域的边长满足关系＝2

10. 如图所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．P为

屏上的一个小孔．PC与MN垂直．一群质量为m、带电量为－q的粒子(不计重力)，以相同的速率v，从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域．粒子入射方向在与磁场B垂直的平面内，且散开在与PC夹角为θ的范围内．则在屏MN上被粒子打中的区域的长度为( D )

baba

2mv2mvcos θA． B.

qBqB2mv(1－sin θ)2mv(1－cos θ)B． D.

qBqB11. (多选)如图，一粒子发射源P位于足够大绝缘板AB的上方d处，能够在纸面内向各个方

向发射速率为v、电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，空间存在垂直纸面的匀强磁场，不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。已知粒子做圆周运动的半径大小恰好为d，则( BC )

A． 能打在板上的区域长度是2d B． 能打在板上的区域长度是(3＋1)d

C． 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为D． 同一时刻发射出的带电粒子打到板上的最大时间差为

7πd 6vπqd 6mv12. 如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S.

某一时刻，粒子源S向平行于纸面的各个方向发射出大量带正电荷的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场．已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于(T为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为6( B )

T

TT2T5TA. B.C. D. 3233

13. （多选）如图所示，宽d = 2cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向

垂直纸面向内．现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r = 5cm，则 （AD ）

A． 右边界：-4cm＜y≤4cm的范围内有粒子射出 B． 右边界：y＞4cm和y＜-4cm的范围内有粒子射出 C． 左边界：y＞8cm的范围内有粒子射出 D． 左边界：0＜y≤8cm的范围内有粒子射出

14. 如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一

点．大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场．这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上，PQ圆弧长等于磁场边界周长的1

.不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( D ) 3

A.

3mvmv3mv B. C. 2qRqRqRD.23mv 3qR15. （多选）如图所示，O点有一粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电

的粒子，它们的速度大小相等、速度方向均在xOy平面内．在直线x＝a与x＝2a之间存在垂直于xOy平面向外的磁感应强度为B的匀强磁场，与y轴正方向成60°角发射的粒子恰好垂直于磁场右边界射出．不计粒子的重力和粒子间的相互作用力．关于这些粒子的运动，下列说法正确的是( AC )．

2aBqA． 粒子的速度大小为 mB． 粒子的速度大小为

aBq m

C． 与y轴正方向成120°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长 D． 与y轴正方向成90°角射出的粒子在磁场中运动的时间最长

16. 如图所示，在矩形区域abcd内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.在ad边

中点O的粒子源，在t＝0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od的夹角分布在0～180°范围内．已知沿Od方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界cd上的P点离开磁场，ab＝1.5L，bc＝3L，粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝L，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：

(1) 粒子在磁场中的运动周期T； (2) 粒子的比荷；

(3) 粒子在磁场中运动的最长时间． π

【答案】(1)6t0 (2) (3)2t0

3Bt0

17. 如图所示，在xOy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xOy平面内的x轴

上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v0，在02qd在d（1） α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及距y轴的最大距离;

（2） 磁感应强度B的大小；

（3） 将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒子打中的区域的长度． 【答案】（1）3mv023432dd d （2） （3）333qd

考点4.6.3 最小磁场区域求解问题

18. 一带电粒子，质量为m、电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中

第Ⅰ象限所示的区域(下图所示)．为了使该粒子能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度

v射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场

仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计．

【答案】

2mv 2qB

19. 在如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一个圆形区域的匀强磁场(图中未画出)，磁场

方向垂直于xOy平面，O点为该圆形区域边界上的一点．现有一质量为m、带电荷量为＋

q的带电粒子(不计重力)从O点以初速度v0沿x轴正方向进入磁场，已知粒子经过y轴上P点时速度方向与y轴正方向夹角为θ＝30°，OP＝L，求：

(1) 磁感应强度的大小和方向； (2) 该圆形磁场区域的最小面积．

3mv0π2【答案】(1) 方向垂直于xOy平面向里 (2)L

qL12

20. 如图所示，MN为绝缘板，CD为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，在MN的下方有匀强磁

场，方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某

一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向O点），已知图中虚线圆弧的半径为R，其所在处场强大小为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场． （1） 求粒子运动的速度大小；

（2） 粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场，从A点射出磁场，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少？ （3） 粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？ 【答案】（1）BEqR1mR （2）2 （3）2 mB1n1Eq

21. 电子对湮灭是指电子“e”和正电子“e”碰撞后湮灭，产生伽马射线的过程，电子对湮

灭是正电子发射计算机断层扫描（PET）及正子湮灭能谱学（PAS）的物理基础．如图所示，在平面直角坐标系xOy上，P点在x轴上，且

=2L，Q点在负y轴上某处．在第Ⅰ

﹣

+

象限内有平行于y轴的匀强电场，在第Ⅱ象限内有一圆形区域，与x、y轴分别相切于A、

C两点，=L，在第Ⅳ象限内有一未知的圆形区域（图中未画出），未知圆形区域和圆

形区域内有完全相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里．一束速度大小为v0的电子束从A点沿y轴正方向射入磁场，经C点射入电场，最后从P点射出电场区域；另一束速度大小为

的正电子束从Q点沿与y轴正向成45°角的方向射入第Ⅳ象限，

而后进入未知圆形磁场区域，离开磁场时正好到达P点，且恰好与从P点射出的电子束正碰发生湮灭，即相碰时两束粒子速度方向相反．已知正负电子质量均为m、电量均为e，电子的重力不计．求：

（1） 圆形区域内匀强磁场磁感应强度B的大小和第Ⅰ象限内匀强电场的场强E的大小；

（2） 电子子从A点运动到P点所用的时间； （3） Q点纵坐标及未知圆形磁场区域的最小面积S．

2mv02L(4)L【答案】（1） (2) (3)L2

2eLv02v0

22. 如图所示的直角坐标系中，在直线x=－2l0到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反

的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向。在电场左边界上A（－2l0，－l0）到C（－2l0，0）区域内，连续分布着电量为＋q、质量为m的粒子．从某时刻起由A点到C点间的粒子，依次连续以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图．不计粒子的重力及它们间的相互作用． ⑴求匀强电场的电场强度E；

⑵求在AC间还有哪些位置的粒子，通过电场后也能沿x轴正方向运动？

⑶若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，则磁场区域的最小半径是多大？相应的磁感应强度B是多大？

1）2mv0ql0（2）yl0n2

3）5l08mv085ql0【答案】（

（n=1,2,3„„） （