2021年湖南省邵阳市中考数学试卷及答案解析

2021年湖南省邵阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．﹣3的相反数是（ ） A．﹣3

B．0

C．3

D．π

【分析】根据相反数的概念求解即可．

【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此﹣3的相反数为3． 故选：C．

【点评】本题主要考查相反数的概念，熟练掌握相反数的概念并正确应用是解题的关键． 2．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．2021年我国首次发射探测器对火星进行探测．北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道．用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是（ ）

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A．0.192

B．1.92

C．19.2

D．192

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【解答】解：192000000＝1.92×108， 故a＝1.92， 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．如图，若数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m+n的值可能是（ ）

A．2

B．1

C．﹣1

D．﹣2

【分析】根据在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大，可得：﹣3＜m＜﹣2＜0＜n＜1，m+n的结果即可求得．

【解答】解：∵M，N所对应的实数分别为m，n， ∴﹣3＜m＜﹣2＜0＜n＜1， ∴m+n的值可能是﹣2． 故选：D．

【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，确定两个实数的范围是解决本题的关键．

5．如图，在△AOB中，AO＝1，BO＝AB=2．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）

3

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A．1

B．√2 C． 23

D．

32

√2

【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长． 【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°， 则△AOA'为等腰直角三角形， ∴AA'=√𝑂𝐴2+𝑂𝐴′2=√1+1=√2． 故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．

6．其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷．经统计，制成如下数据表格． 接种疫苗针数

人数

0 2100

1 2280

2 1320

3 300

小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）：

①计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°．

②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%． ③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．

制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）

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A．②①③ B．①③② C．①②③ D．③①②

【分析】根据制作扇形图的步骤即可求解．

【解答】解：由题意可知，小杰同学制作扇形统计图的步骤为：

先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为35%，38%，22%，5%； 再计算各部分扇形的圆心角分别为126°，136.8°，79.2°，18°；

然后在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比． 故选：A．

【点评】本题考查了扇形统计图，扇形图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．制作扇形图的步骤如下：

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．

②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 5𝑥−1>3𝑥−47．下列数值不是不等式组{12的整数解的是（ ）

−𝑥≤−𝑥

33A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【分析】先分别求每个不等式的解集，取其解集的公共部分作为不等式组的解集，然后再确定其整数解．

5𝑥−1>3𝑥−4①

【解答】解：{1， 2

−3𝑥≤3−𝑥②解不等式①，得：x＞−2， 解不等式②，得：x≤1，

∴不等式组的解集为：−2＜x≤1， ∴不等式组的整数解为﹣1，0，1， 故选：A．

【点评】本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的步骤准确计算是解题关键．

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3

3

8．某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（ ）

A．小明修车花了15min B．小明家距离学校1100m C．小明修好车后花了30min到达学校

D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s

【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图象的纵坐标，可得路程．

【解答】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为20﹣5＝15(分钟)，故本选项符合题意； B．由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为2100米，故本选项不合题意；

C．由横坐标看出，小明修好车后花了30﹣20＝10(min)到达学校，故本选项不合题意； D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2100﹣1100）÷10＝100（米/分钟）=3（m/s），故本选项不合题意； 故选：A．

【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间，函数图象的纵坐标得出路程是解题关键．

9．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（ ）

5

A．25°

B．30° C．35°

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D．40°

【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC＝60°，继而∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．

̂， 【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为𝐵𝐶由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°， 又∠AOC＝90°，

∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°． 故选：B．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练运用圆周角定理是解题关键．

10．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（ ） A．0个

B．1个

C．2个

D．1或2个

【分析】由直线解析式求得m≤0,然后确定△的符号即可． 【解答】解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限， ∴m≤0,

当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根， 当m＜0时，

∵关于x的方程mx2+x+1＝0, ∴△＝12﹣4m＞0,

∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根， 故选：D．

【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分） 11．16的算术平方根是 4 ．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果． 【解答】解：∵42＝16， ∴√16=4． 故答案为：4．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．

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12．因式分解：xy2﹣x3＝ x(y+x)(y﹣x) ．

【分析】首先提取公因式x,再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：xy2﹣x3＝x(y2﹣x2) ＝x(y+x)(y﹣x)． 故答案为：x(y+x)(y﹣x)．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．

13．如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为 5 ．

【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答． 【解答】解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， ∴FD、FE、DE为△ABC中位线， ∴DF=AC，FE=AB，DE=BC；

∴DF+FE+DE=2AC+2AB+2BC=2（AB+AC+CB）=2×10＝5， 故答案为：5．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的关键．

14．已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1 ＞ y2．（填“＞”“＝”或“＜”）

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据各点横坐标的值判断出各点所在的象限，进而可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y=𝑥中，k＝3＞0，

∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．

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1

2121211111

3𝑥3

∵A（1，y1），B（2，y2）， ∴点A、B都在第一象限， 又1＜2， ∴y1＞y2， 故答案为：＞．

【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．

15．如图，已知线段AB长为4．现按照以下步骤作图：

①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别相交于点E，F；

21

②过E，F两点作直线，与线段AB相交于点O． 则AO的长为 2 ．

【分析】直接利用基本作图方法得出EF垂直平分AB,即可得出答案． 【解答】解：由基本作图方法可得：EF垂直平分AB, ∵AB＝4, ∴AO=2AB＝2． 故答案为：2．

【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．

16．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中一条路径，则它遇到食物的概率是

13

1

．

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【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径， ∴它有6种路径， ∵获得食物的有2种路径， ∴它遇到食物的概率是：

26

=．

3

13

1

故答案为：．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．

17．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？

意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？ 该问题中物品的价值是 53 钱．

【分析】设有x人，物品的价值为y钱，由题意：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．列出方程组，解方程组即可． 【解答】解：设有x人，物品的价值为y钱， 𝑦=8𝑥−3依题意，得：{，

𝑦=7𝑥+4𝑥=7

解得：{，

𝑦=53

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即该问题中物品的价值是53钱， 故答案为：53．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

18．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为点E．若sin∠ADE=，AD＝4，则AB的长为 3 ．

45

【分析】易证∠ACD＝∠ADE，由矩形的性质得出∠BAC＝∠ACD，则到AC=

𝐵𝐶

45𝐵𝐶𝐴𝐶

=，由此得5

4

=

4

45=5，最后由勾股定理得出结果．

【解答】解：∵DE⊥AC， ∴∠ADE+∠CAD＝90°， ∵∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠ACD＝∠ADE，

∵矩形ABCD的对边AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∵sin∠ADE=5， ∴

𝐵𝐶𝐴𝐶

4

=，

5𝐵𝐶

4

∴AC==

4

45=5，

由勾股定理得，AB=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√52−42=3， 故答案为：3．

【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、平行线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握勾股定理与解直角三角形是解题的关键．

三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

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19．（8分）计算：（2021﹣π）0﹣|√3−2|﹣tan60°．

【分析】结合零指数幂，绝对值的化简和60°角的正切值可以求出结果． 【解答】解：原式＝1﹣（2−√3）−√3 ＝1﹣2+√3−√3 ＝﹣1．

【点评】本题虽是一个简单的计算题，在平时的考试中也属解答题中的简单题型，但主要是想通过这种题型，考查学生对于零指数幂、绝对值的化简和特殊角的三角函数值的掌握情况．解题的时候需要注意绝对值化简时符号的确定，这是学生失分最多的点． 20．（8分）先化简，再从﹣1，0，1，2，（1−√2+1中选择一个合适的x的值代入求值．÷

𝑥2−1

．

𝑥2+2𝑥+1𝑥）𝑥+1【分析】先计算分式的混合运算进行化简，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后根据分式成立的条件确定x的取值，代入求值即可．

𝑥+1−𝑥(𝑥+1)

【解答】解：原式=⋅ 𝑥+1(𝑥+1)(𝑥−1)2

=𝑥−1， 又∵x≠±1，

∴x可以取0，此时原式＝﹣1； x可以取2，此时原式＝1； x可以取√2+1，此时原式=

√21=． 2√2+1−11

【点评】本题考查分式的混合运算，分式成立的条件及二次根式的运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．

21．（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF． （1）证明：△ADE≌△CBF．

（2）若AB＝4√2，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

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【分析】（1）由正方形对角线性质可得∠DAE＝∠BCF＝45°，再由SAS可证△ADE≌△CBF；

（2）由正方形性质及勾股定理可求得BD＝AC＝8，DO＝BO＝4．再证明四边形BEDF为菱形，因为AE＝CF＝2，所以可得OE＝2，在Rt△DOE中用勾股定理求得DE＝2√5，进而四边形BEDF的周长为4DE，即可求得答案．

【解答】解；（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°， 在△ADE和△CBF中， 𝐴𝐷=𝐵𝐶

{∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐹， 𝐴𝐸=𝐶𝐹

∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）∵AB＝AD=4√2，

∴BD=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=√(4√2)2+(4√2)2=8，

由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4， 又AE＝CF＝2， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF, 即OE＝OF＝4﹣2＝2， 故四边形BEDF为菱形． ∵∠DOE＝90°，

∴DE=√𝐷𝑂2+𝐸𝑂2=√42+22=2√5． ∴4DE=8√5

故四边形BEDF的周长为8√5．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟悉以上几何图形的性质和判定是解题关键．

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22．（8分）为庆祝中国党成立100周年，某校计划举行“学党史•感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品店购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额．

【分析】设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本，篮球个数+钢笔支数+笔记本本数＝56，篮球总价+钢笔总价+笔记本总价＝1000，利用这两个相等关系列出二元一次方程组，解出即得钢笔和笔记本的数量，乘以各自单价即得各自总价． 【解答】解：设钢笔购买了x支，笔记本购买了y本． 𝑥+𝑦+6=56由题意得：{，

15𝑥+5𝑦+600=1000𝑥=15

解得：{，

𝑦=35

∴15×15＝225（元），35×5＝175（元），

答：钢笔购买了15支共225元，笔记本购买了35本共175元．

【点评】仔细观察中的数据，理解合计中的数量即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总数，合计中的金额即为所购买的篮球、钢笔、笔记本的总价和，这是找到相等关系，列出方程组解决问题的关键．

23．（8分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加“青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题．

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周学习时间 0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3 3≤t＜4 4≤t≤5

（1）求统计表中a，m的值．

频数 5 20 a 25 15

频率 0.05 0.20 0.35 m 0.15

（2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数”．求甲同学的周学习时间在哪个范围内．

（3）已知该校学生约有2000人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数．

【分析】（1）由周学习时间在0≤t＜1的频数及频率求出样本容量，再由频率＝频数÷样本容量求解即可得出答案； （2）根据中位数的定义可得答案；

（3）用总人数乘以样本中3≤t＜4、4≤t≤5的频率和． 【解答】解：（1）∵样本容量为5÷0.05＝100， ∴a＝100×0.35＝35，m＝25÷100＝0.25；

（2）∵一共有100个数据，其中位数是第50、51个数据的平均数，而这2个数据均落在2≤t＜3范围内，

∴甲同学的周学习时间在2≤t＜3范围内；

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（3）估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少于3h的人数为2000×（0.25+0.15）＝800（人）．

【点评】本题考查的是频数（率）分布表、中位数及样本估计总体的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

24．（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．

（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论． （2）根据S阴=2•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可． 【解答】解：（1）设∠BAC＝n°． 由题意得π•DE=180,AD＝2DE, ∴n＝90,

∴∠BAC＝90°．

(2)∵AD＝2DE＝10(cm),

1190𝜋⋅10

∴S阴=2•BC•AD﹣S扇形AEF=2×10×20−360=(100﹣25π)cm2．

2

1

𝑛𝜋⋅𝐴𝐷

【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（4，1）．

（1）求抛物线C的对称轴．

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（2）当a＝﹣1时，将抛物线C向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线C1．

①求抛物线C1的解析式．

②设抛物线C1与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，连接BC．点D为第一象限内抛物线C1上一动点，过点D作DE⊥OA于点E．设点D的横坐标为m．是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同，故上述两点关于抛物线对称轴对称，即可求解；

（2）①用待定系数法即可求解；

②当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时，则tan∠DOE＝2或，即tan∠DOE=

2

1𝐷𝐸−𝑚2+𝑚+2

==2或，即可求解． 𝑂𝐸𝑚2

1

【解答】解：（1）∵点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同， 故上述两点关于抛物线对称轴对称， 故抛物线的对称轴为直线x=（1+4）=；

（2）①由题意得：{

−1+𝑏+𝑐=0𝑏=5

，解得{，

−16+4𝑏+𝑐=0𝑐=−3

1

252故原抛物线的表达式为y＝﹣x2+5x﹣3；

由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+2）2+5（x+2）﹣3﹣1＝﹣x2+x+2；

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②存在，理由：

令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2， 故点B、A的坐标分别为（﹣1,0）、（2,0），点C（0,2）； ∵tan∠BCO=𝐶𝑂=2， 同理可得：tan∠CBO＝2，

当以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似时， 则tan∠DOE＝2或，

21𝑂𝐵

1

设点D的坐标为（m，﹣m2+m+2）， 则tan∠DOE=

1𝐷𝐸−𝑚2+𝑚+2

==2或， 𝑂𝐸𝑚2

1−√332

解得：m＝﹣2（舍去）或1或故m＝1或

1+√332

（舍去）或1+√332

，

．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

26．（10分）如图，在Rt△ABC中，点P为斜边BC上一动点，将△ABP沿直线AP折叠，使得点B的对应点为B′，连接AB′，CB′，BB′，PB′． （1）如图①，若PB′⊥AC，证明：PB′＝AB′．

（2）如图②，若AB＝AC，BP＝3PC，求cos∠B′AC的值．

（3）如图③，若∠ACB＝30°，是否存在点P，使得AB＝CB′．若存在，求此时值；若不存在，请说明理由．

𝑃𝐶𝐵𝐶

的

【分析】（1）易证PB'∥AB．所以∠B'PA＝∠BAP，又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP，所以

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∠B'PA＝∠B'AP．故PB′＝AB′；

（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D，则△ABC为等腰直角三角形．再证明△CDP~

𝐶𝐷

𝑃𝐷𝐷𝐴

𝐶𝑃𝐵′𝐴

√2𝑎4△B'DA，可得

3√2𝐵′𝐷

===

𝑎

=

√2√2√2．设B'D＝b，则CD=4b．则AD＝a−4b，4

PD=4𝑎−b，由=解得b=7𝑎．再过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等

𝐴𝐷4腰直角三角形．所以B'E＝sin45°×B'D=7𝑎，AE＝AB﹣B'E=7𝑎，AD=7𝑎．故cos∠B'AC＝cos∠EAD=

𝐴𝐸

即可求； 𝐴𝐷4

3

5

𝑃𝐷√24√2（3）分①点P在BC外的圆弧上；②点P在BC上两种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）证明：∵PB'⊥AC，∠CAB＝90°， ∴PB'∥AB． ∴∠B'PA＝∠BAP，

又由折叠可知∠BAP＝∠B'AP， ∴∠B'PA＝∠B'AP． 故PB′＝AB′．

（2）设AB＝AC＝a，AC、PB'交于点D， 则△ABC为等腰直角三角形， ∴BC=√2𝑎，PC=4𝑎，PB=4𝑎， 由折叠可知，∠PB'A＝∠B＝45°， 又∠ACB＝45°， ∴∠PB'A＝∠ACB， 又∠CDP＝∠B'DA， ∴△CDP~△B'DA．

𝐶𝐷𝐵′𝐷

𝑃𝐷𝐷𝐴

𝐶𝑃𝐵′𝐴

√2𝑎4√23√2∴===

√2𝑎

√2=．① 4

设B'D＝b，则CD=4b． ∴AD＝AC﹣CD＝a−4b，

PD＝PB'﹣B'D＝PB﹣B'D=4𝑎−b，

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√23√2

𝑎−𝑏√2√24由①=得：=．

√2𝐴𝐷44𝑎−𝑏𝑃𝐷

43√2解得：b=

4√2𝑎． 7过点D作DE⊥AB'于点E，则△B'DE为等腰直角三角形． ∴B'E＝sin45°×B'D=

√22𝑏=

√22×

4√24

𝑎=𝑎， 7737∴AE＝AB'﹣B'E＝AB﹣B'E＝a−𝑎=𝑎． 又AD＝AC﹣CD＝a−

√2474b＝a−𝑎=𝑎．

27573

𝐴𝐸7𝑎3

∴cos∠B'AC＝cos∠EAD=𝐴𝐷=5=5．

𝑎7（3）存在点P，使得CB'＝AB＝m． ∵∠ACB＝30°，∠CAB＝90°． ∴BC＝2m． ①如答图2所示，

由题意可知，点B'的运动轨迹为以A为圆心、AB为半径的半圆A． 当P为BC中点时，PC＝BP＝AP＝AB'＝m， 又∠B＝60°，

∴△PAB为等边三角形．

又由折叠可得四边形ABPB'为菱形． ∴PB'∥AB， ∴PB'⊥AC． 又∵AP＝AB'，

则易知AC为PB'的垂直平分线． 故CB'＝PC＝AB＝m，满足题意． 此时，

𝑃𝐶𝐵𝐶

=

𝑚2𝑚

=．

2

1

②当点B'落在BC上时，如答图3所示， 此时CB'＝AB＝m， 则PB'=2(2𝑎−𝑎)=2𝑎，

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11

∴PC＝CB'+PB'＝a+𝑎=𝑎， ∴

𝑃𝐶𝐵𝐶

1232=

3𝑎22𝑎

=．

4𝑃𝐶𝐵𝐶

3

综上所述，的值为或．

2

4

13

【点评】本题以几何变换为背景考查了图形折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、辅助圆、分类讨论的数学思想，作出合理的辅助线以及学会分类讨论是解题的关键．

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