刚体转动惯量计算方法

刚体对轴转动惯量的计算

一、转动惯量及回转半径 在第一节中已经知道，刚体对某轴z的转动惯量就是刚体内各质点与该点到z轴距离平

2Jmrzii方的乘积的总和，即。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成

Jzr2dmM （18-11）

由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况，而

与刚体的运动状态无关，它永远是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些，就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些，使得大部分质量集中在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反，某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵敏度，要求零件的转动惯量尽量小一些，设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外，还要尽量将材料多靠近转轴。

工程中常把转动惯量写成刚体总质量M与某一当量长度的平方的乘积

JzMz2 （18-12）

称为刚体对于z轴的回转半径（或惯性半径），它的意义是，设想刚体的质量集中在与z轴相距为的点上，则此集中质量对z轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。

具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯量往往不是由计算得出，而是根据某些力学规律用实验方法测得。

二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆

如图18-7所示，设杆长为l，质量为M。取杆上微段dx，其质量为

dmMdxl，则此

图18-7

杆对zc轴的转动惯量为

Jzc2xdm2x2对应的回转半径

l202l20M1dxMl2l12

zJzcMl230.2l

2. 均质细圆环

如图18-8所示均质细圆环半径为R，质量为M。任取圆环上一微段，其质量为，则对z轴的转动惯量为

JzR2dmMR2M

图18-8

对应的回转半径

zJzcMR

3. 均质薄圆盘

如图18-9所示均质圆盘半径为R，质量为M。在圆盘上取半径为r的圆环，则此圆环

的质量为

dmM2M2rdrrdr22RR，则

图18-9

对z轴的转动惯量为

Jzr2dmMR02M31rdrMR222R

对应的回转半径

常见简单形状的均质物体对通过质心转轴的转动惯量及回转半径可由表18-1或机械设计手册中查得。

表18-1 均质简单形体的转动惯量(m表示形体的质量)

zJzcMR20.707R形体 转动惯量 回转半径 JxJzJy01ml212 xzy03l6 JxJyJzmr2 12mr2 xyzr2r2 JxJyJz12mr4 xyrz2r21212mr2 1mb241Jyma241Jzm(a2b2)4 JxJxJyJz22mr5 121ya2xbza2b22 xyz10r5 三、平行移轴定理

xy122JxJym(3rl)123(3r2l2)126Jzmr2 2zr2 机械设计手册给出的一般都是物体对于通过质心的轴（简称质心轴）的转动惯量，而有时需要物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。平行移轴定理阐明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量之间的关系。

设刚体的质心为C，刚体对过质心的轴z’的转动惯量为，对与z’轴平行的另外一轴z的转动惯量为，两轴间的距离为d，如图18-10所示。分别以C、O两点为原点建立直角

图18-10

坐标系Cx’y’z’和Oxyz，由图可见

Jz'mir'i2mi(x'i2y'i2) Jzmiri2mi(xi2yi2)

其中

xixi',代入得

yiyi'd

Jzmi[x'i2(y'id)2]mi(x'i2y'i22dyi'd2)mi(x'i2y'i2)2dmiyi'd2mi

my因质心C是坐标系Cx’y’z’的坐标原点，故i'i0，又mim，所以上式简化为

JzJz'md2 （18-13）

上式表明：物体对于任一轴z的转动惯量，等于物体对平行于z轴的质心轴的转动惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。这就是转动惯量的平行移轴定理。

由公式（18-13）可知，在一组平行轴中，物体对于质心轴的转动惯量为最小。

例18-3 钟摆简化力学模型如图18-11所示，已知均质杆质量m1、杆长l，圆盘质量

m2、半径R，求钟摆对水平轴O的转动惯量。

图18-11

解 摆对水平轴O的转动惯量等于杆1和圆盘2对轴O的转动惯量之和，即

JOJ1OJ2O

由转动惯量平行移轴定理得

J2OJ2C所以

l111J1OJ1Cm1()2m1l2m1l2m1l221243 13m2(lR)2m2R2m2(lR)2m2(R22Rll2)22

13JOm1l2m2(R22Rll2)32

例18-4 如图18-12所示均质等厚度板，单位面积的质量为，大圆半径为R，挖去的小

圆半径为r，两圆心的距离OO1=a。试求板对通过O点并垂直于板平面的轴的转动惯量。

图18-12

解 根据转动惯量的定义，板对O轴的转动惯量等于（没有挖去小圆时）整个大圆对轴O的转动惯量

J大圆O与小圆对轴O的转动惯量J小圆O之差，即

JOJ大圆OJ小圆OJ大圆O

其中

11mR2R422，由转动惯量平行移轴定理得

1J小圆OJ小圆O1r2a2r2r2r2a221r2(r22a2)2

于是

J0

141Rr2(r22a2)222[R4r2(r22a2)]