函数的单调性题型归纳

函数的单调性

一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．

二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．

三、教学过程：

（一）主要知识：

1、函数单调性的定义；

2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：

（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手

（5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域

3、函数单调性的证明：定义法；导数法。

4、一般规律

（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数；

（2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数；

（3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（4）设yfgx是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则yfgx在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则yfgx在M上是增函数。

（二）主要方法：

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．

3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用．

（三）例题分析：

例1．（1）求函数

ylog0.7(x23x2)的单调区间；

22f(x)82xx,g(x)f(2x)试确定g(x)的单调区间和单调性． （2）已知若

解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，

22242(x)4x34xg(x)82(2x)(2x)gx2x8（2），，

令 g(x)0，得x1或0x1，令 g(x)0，x1或1x0

∴单调增区间为(,1),(0,1)；单调减区间为(1,),(1,0)．

exaf(x)xae是R上的偶函数． a0例2．设，

（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上为增函数．

例3．若f(x)为奇函数，且在(,0)上是减函数，又f(2)0，则xf(x)0的解集为

(,2)(2,)．

例4．已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有

f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,f(2)1，

2（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数；（3）解不等式f(2x1)2．

解：（1）令x1x21，得f(1)2f(1)，∴f(1)0，令x1x21，得∴f(1)0，

∴f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)，∴f(x)是偶函数．

x2xx)f(x1)f(x1)f(2)f(x1)f(2)x1x1x1

（2）设x2x10，则

f(x2)f(x1)f(x1x2x1f(2)∵x2x10，∴x1，∴x10，即f(x2)f(x1)0，∴f(x2)f(x1)

∴f(x)在(0,)上是增函数．

(1010,)22．

（3） 即不等式的解集为

af(x)log9(x8)x在[1,)上是增函数，求a的取值范围． 例5．函数

另解：（用导数求解）令

g(x)x8aaf(x)log9(x8)x，函数x在[1,)上是增函数，

∴

g(x)x8aag(x)12x在[1,)上是增函数，x，

∴18a0，且

1a0x2在[1,)上恒成立，得1a9．

（四）巩固练习：

1、下列函数中，在区间(0,2)上递增的是 （ ）

12x （B）yx （C）yx1 （D）yx2x1

（A）

y2、设函数f(x)是减函数，且f(x)0，下列函数中为增函数的是 （ ）

1ylog1f(x)2f(x)y[f(x)]f(x) （B）y2 （C）2 （D）

（A）

y3、已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在（0，+∞）上是减函数，如果x10，

x20且|x1||x2|,则有

f(x1)f(x2)0（ ）

（A）（B）f(x1)f(x2)0

（C）f(x1)f(x2)0（D）f(x1)f(x2)0

1f(log1x)0f()084、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,)上为增函数，3，则不等式

的解集为 （ ）

111(0,)(,1)(2,)(0,)(2,)（A）2 （B）(2,) （C）2 （D）2

变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数f(x)在区间[0, 2]上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围。

xf(x)25、（1）函数

24x3的递增区间为___________；

（2）函数

f(x)log1(x24x3)2的递减区间为_________

变题：已知f(x)loga(2ax)在[0, 1]上是减函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿。

11,,21,2答案：1、D 2、C 3、C 4、D 变题：2 5(1) (2) 变题：

（1,2）

四、小结：

函数单调性或者求函数单调区间的求法。

五、作业：