复数问题的常见解题策略与技巧

复数题是高考题型的一个重要组成部分，它重点考查复数的概念、两个复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算。在高考中多以选择题、填空题的形式考查，解高考复数题若不加分析，盲目设出复数的代数式进行二元性转化，就会使运算繁琐，影响解题速度和正确率，甚至使解题半途而废。其实，复数试题只要分析其结构特征，充分以复数的有关概念为理论依据，常常可以寻找到一条有效的解题途径。因此在解题时必须研究策略与技巧，以求做到选择捷径，避繁就简，合理解题．下面举例介绍解复数问题的常见解题策略与技巧．

一. 利用i、的性质简化运算

记住一些常用的结果，简化运算，提高运算速度：（1i)2i,21i1ii,1i1ii,1，

310.

【例1】(2011·江苏泰州市高二检测)若=-212+32i，则 等于

246【解析】=-12+32i，=1，+10.=+10.

322462【答案】: 0

二. 分析式子结构特征、整体代入

在涉及到若干个量的求值时，不必把每个量都具体求出来，可以把它们当作整体来求，这样，就能避免由局部运算所带来的麻烦．

【例2】如果虚数z满足z8,求zz2z2的值. 【解析】z33328,(z2)(z2z4)0,

22又因为z为虚数，故z-2也为虚数，所以z2z40.

3232zz2z2z(z2z4)28026.

三.借助方程、不等式的思想、复数问题实数化

对于一些较为复杂的复数问题，要善于综合运用有关的知识以及重要的数学思想，从不同的角度去进行研究。利用方程的思想，可将复数问题转化为实数集内的问题，这往往是一种解复数题的高效途径。 【例3】.已知z为复数，z2i和（1）求复数z；

（2）若复数(zai)在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【解析】（1）设zxyi(x,yR)，则z2ix(y2)i， 由z＋2i为实数知y22z2i均为实数，其中i是虚数单位．

同理可算得x4 ，

1

所以z42i.

（2）(zai)(42iai)4(a2)i22216(a2)8(a2)i

.

216(a2)20而它在复平面上对应的点在第一象限，所以满足 ，

8(a2)0解得2a6 .

四.求轨迹问题，巧妙引入参数

通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁，这样，把问题转化为对参变量的讨论．这种方法运用的巧妙，可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果． 【例4】复数z11,且

z11z11是纯虚数，复数z4(1z1)2，求复数z在复平面内对应的点的轨迹.

【解析】设

z11z11=bi(bR,b0)，则z121bi1,z4(1z1)2(1bi)1b2bi，

22x1b2,消去b得，y24(x1)(x1)， 设zxyi(x,yR)，得y2b即复数z对应点轨迹为抛物线（除去顶点）. 五.借助数形结合的思想，巧用几何意义

复数与平面上的点之间或复数与平面上以某定点为始点的向量之间以及复数的运算与向量之间，都有其鲜明的几何意义。解复数题，也要充分发挥复数的几何意义及几何运算的功能，应用数形结合的思想，挖掘题目中知识的多功能因素，使问题出奇制胜地得到解决。

【例5】已知复数z满足z34i=2，则z的最大值为 ．

【解析】z34i=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点（3，4）为圆心，以2为半径的圆，所以

zmax527.

【答案】：7.

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