第一讲：等腰三角形与直角三角形 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级 适用区域 北师大版 课时时长（分钟） 120 知识点 1、 等腰三角形判定与性质 2、 直角三角形判定与性质 1、理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 2、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性 特殊三角形的灵活应用 特殊三角形的灵活应用 学习目标 学习重点 学习难点 知识讲解： 一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：
1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；
2.回忆全等三角形的性质。
二、等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等．
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？
三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形； 底角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形。
二、1、定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．
2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半 3、
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课堂练习：
考点一：等腰三角形 【例题】
1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°
3．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 求证：BE=CF．
5．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
6．（2015•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
7．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
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（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM=EM． 8．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，判断BE与CD的大小关系为：BE_____CD．（不需说明理由）
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作等腰△ABD和等腰△ACE，且顶角∠BAD＝∠CAE，连接BE、CD，BE与CD有什么数量关系？请说明理由；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离．已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AE=BE，D为EC中点．
ABEDC
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：△ADE是等边三角形
【习题】
1．（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．求证：AD=BE．
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（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE边DE上的高，连接BE．
①求证：2CM+BE=AE；
②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．
2．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO=12，求OE的长．
3．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．
4（2014秋•衡阳县校级月考）已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．
4
5．（2013秋•滨湖区校级期中）把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由．
6．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知： ； 求证：△AED是等腰三角形．
7．（2012秋•文登市校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．
8．（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于E，BA、CE延长线相交于F点． 求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．
9．（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
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（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．
10．（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC． ①请你写出图中所有的等腰三角形； ②若BC=10，求AB+AE的长．
11．（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．
考点二：直角三角形 【例题】
1．（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．
2．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D． （1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
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3．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．
4．（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为 ．
5．（2015春•白城校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC的面积．
6．（2015秋•岳池县期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．
【习题】
1．（2010•大连校级自主招生）在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是 度．
2．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为 ．
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3．（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． 求证：CD⊥AB．
4．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
5．（2015秋•周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．
6．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．
7．（2015秋•威海期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，求BE的长．
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8．（2013秋•龙口市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，求DC的长．
9．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10∠A的度数．
，AB=20．求
10．（2015秋•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点
（1）求证：MN⊥AC；
（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．
11．（2015秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD=MB； （2）MN⊥BD．
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12．（2015秋•绍兴校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED． （1）求证：△MED为等腰三角形；
（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．
13．（2014秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．
14．（2014秋•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点． （1）求证：MN⊥BD；
（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．
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