2023届高一入学考试数学试卷
2020-08-28
一、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．下列四个数中，最小的一个数是( )
A．0 B．－2020 C．(1)2019 D．2 2．已知集合
，集合
，则集合
中
的所有元素乘积为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2
3．将图(1)的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图(2)所示的几何体，则该几何体的俯视图为( )
A． B．
C． D．
4．如右图，AB＝AC，若要使( )
A．
B＝
C B．
ADC＝
AEB
第4题图 第3题图 ABEACD．则添加的一个条件不能是
C．BE＝CD D．BD＝CE 5．下列各组函数是同一函数的是（ ）
第6题图 A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
6．二次函数y＝x2+mx的图象如右图所示，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方
程x2+mxt＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是( )
A．t＞
5 B．5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．5＜t≤4
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7． 已知函数 8．已知函数
x1，则其定义域为 _________________． x，则
_______________．
9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．根据如图所示的计算程序，若输入的值x＝2020，则输出的值为________．
第11题图
第12题图
10．已知圆锥的母线长为10，侧面积为30，则其侧面展开图的圆心角度数为________度． 11．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重叠部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，BD＝4．则AC的长为 ．
12．如图，已知P的半径是1，圆心P在抛物线y＝上运动，当P
与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
三、解答题 (本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．（1）计算： 20209sin30|2| ；
（2）如图，直线AB
求
EMB的度数．
CD，MN
CE于M点，若
MNC＝60°，
0第13题(2)图
14.先化简：入求值．
，再从中选取一个合适的整数代
15．如图，在5×5的正方形网格中，ABC的顶点都是格点(小正方形的顶点)，且点D是AB边的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(不写画法，保留画图痕迹)．
(1)如图1，在AC边上找点E，使ADE与ABC相似； (2)如图2，在BC边上找点F，使BDF与ABC相似．
图2
图1
16．保护环境卫生，垃圾分类开始实施．我市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四类，并且设置了相应的垃圾箱．
(1)小亮将妈妈分类好的某类垃圾随机投入到四种垃圾箱的某类箱内，则小亮投放正确的概率为 ；
(2)经过妈妈的教育，小亮已经分清了“有害垃圾”，但仍然分不清“可回收物”、“湿垃圾”和“干垃圾”，这天小亮要将妈妈分类好的四类垃圾分别投入到四种垃圾箱内，请求出小明全部投放正确的概率；
(3)请你就小亮投放垃圾的事件提出两条合理化建议．
17．定义:对于函数y，我们称函数| y |叫做函数y的正值函数．例如:函数y＝的正值函数
为 ．如图为曲线y＝ (x＞0)的图象．
(1)请你在图中画出y＝x+3的正值函数的图象并写出y＝x+3的正值函数的两条性质；
(2)设y＝x+3的正值函数的图象与x轴、y轴、曲线y＝ (x＞0)的交点分别为A、B、C．点
D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与y＝x+3的正值函数图象交于另一
点E，与曲线y＝ (x＞0)的图象交于点P．试求PAD的面积的最大值.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．为宣传普及新冠肺炎防治知识，引导学生做好防控．某校举行了主题为“防控新冠，从我做起”的线上知识竞赛活动，测试内容为20道判断题，每道题5分，满分100分．为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级各抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽查得到的八年级的数据如下：80，95，75，75，90，75，80，65，80，85，75，65，70，65，85，70，95，80，75，80．
为了便于分析数据，统计员对八年级数据进行了整理，得到了表一： 成绩等级 分数(单位：分) 学生数
D等 60＜x≤70 5 C等 70＜x≤80 a B等 80＜x≤90 b A等 90＜x≤100 2 九年级成绩的平均数、中位数、优秀率如下：(分数80分以上、不含80分为优秀)
年级 八年级 九年级 平均数 77.5 76 中位数 c 82.5 优秀率 m% 50% (1)根据题目信息填空：a＝ ，c＝ ，m＝ ； (2)八年级小宇和九年级小乐的分数都为80分，请判断小宇、小乐在各自年级的排名哪位更靠前？请简述你的理由；
(3)若九年级共有600人参加参赛，请估计九年级80分以上的人数．
19．如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，EH是拖把把手，F是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架PA，PB上，骨架的端点P只能在线段FH上移动，当海绵完全张开时，PA，PB分别与HM，HN重合；当海绵闭合时，PA，PB与FH重合．已知直杆EH＝120cm，FH＝20cm．
(1)若(2)若
APB＝90°，求EP的长(结果保留根号)
APB＝26°，求MA的长(结果保留小数点后一位)
(3)海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出PA的中点Q运动的路径长．(参考数据：
sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，π取3.14)
20．设全集为实数集R，
．
（1）若C（2）若C
，求实数a的取值范围；
，且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．
，
，
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21.如图，在△ ABC中，AB＝AC，以边AB为直径的E．过D点作DF
于点F．
O交边BC于点D，交边AC于点
(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)求证：CF＝EF；
(3)延长FD交边AB的延长线于点G，若EF＝3，BG＝9时，求⊙O的半径．
22．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形．顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．
(1)判断：
①在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是___________________； ②神奇四边形的中点四边形是_____________________；
(2)如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，GE．
①求证：四边形BCGE是神奇四边形； ②若AC＝2，AB＝③若GE＝6，BC＝
，求GE的长；
，BE、CG分别是方程x2﹣(k+4)x+4k＝0的两根，
求实数k的值．
六、(本大题共1小题，共12分)
23．已知点P为抛物线y＝x2上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“yp”，设
其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m． (1)①当△OPA为直角三角形时，m＝_________； ②当△OPA为等边三角形时，求此时“yp”的解析式；
(2)若P点的横坐标分别为1，2，3，…n(n为正整数)时，抛物线“yp”分别记作““
”、“
”…，
”，设其与x轴另外一交点分别为A1，A2，A3，…An，过P1，P2，P3，…Pn作x轴的垂线，垂
足分别为H1，H2，H3，…Hn．
1) ①Pn的坐标为____________；OAn＝___________(用含n的代数式来表示) ②当PnHn
OAn＝16时，求n的值．
2) 是否存在这样的点An，使得∠OP4An＝90°，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、1．B 2． A 3．B 4．C 5． C 6．D
二、7．
8．
（答案也可以用区间表示为
9．2021
）
10．108 11．2
12．(3，1)或(﹣1，1)或(1，﹣1) 说明：以下各题评分标准仅供参考.
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
11
13．(1)解：原式＝1－3 + + 2 ＝ ………本小题3分
22
(2)解：∵AB∥CD，∴∠NMB＝∠MNC＝60°， 又
EMN＝90°，
NMB＝90°﹣60°＝30°． ………本小题3分
14． 解：原式＝[ ＝( ＝ ＝
＝
+•+1]÷)÷
， ……… ……3分 2，a≠0，a≠±1，
2
＝
＝1． ……… ……6分
则原式＝15．
解：(1)如图，ADE即为所求(2)如图或，BDF即为所求（E 为AC中点）；（F 为C中点）；(每小题3分，共6分，未写结论扣1分) 16．(1)； ……… ……本小题1分
(2)将生活垃圾“可回收物”、“湿垃圾”、“干垃圾”分别记为a、b、c，
相对应的三种垃圾箱分别记为A、B、C，通过列举得小亮投放共有6种等可能的结果，
其中小亮全部投放正确的情况有1种，所以小亮全部投放正确的概
率为； ……本小题3分
（3）(仅供参考，言之有理即可)
要增强环保意识，不要随意投放垃圾；
制定强制法规，规范生活垃圾的分类处理． ……本小题2分 17．解：(1)y＝x+3的正值函数为y＝|x+3|，函数图象如图所示： 函数y＝|x+3|的性质：
当x＜当x＞(2)
图象与x轴交于(
3，0)．
3时，y随x的增大而减小．
3时，y随x的增大而增大．(写出两条即可) ……本小题3分
如图2中，
，m+3)，
， )•(m+3)＝
(m2+3m
4)＝
设D(m，m+3)，则P(
PD＝
APD
m＝＝
•(， 时，
(m+)2+m＝
PAD的面积最大，最大值为． ……… ……
本小题3分
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．解：(1)a＝10， c＝77.5 m＝25； ……… ……本小题3分 (2)小宇在八年级的排名更靠前．
理由如下：八年级的中位数为77.5分，而小宇的分数为80分，所以小宇的成绩为中上游； 而九年级的中位数为82.5分，小乐的分数都为80分，所以他在九年级为中下游； ……… ……本小题3分
(3)600×50%＝300人
答：估计九年级80分以上的人数约为300人． ……… ……本小题2分 19．解
海绵完全张开时，PA，PB分别与HM，HN重合；
当海绵闭合时，PA，PB与FH重合，∴PA＝PB＝FH＝HM＝HN＝20，
PB是等腰直角三角形，
由题意知，E
PH＝
EP
10
＝
EH
APH也是等腰直角三角形， PA＝
﹣
×20＝10PH
， ＝
(120
﹣
)cm； ……… ……本小题3分
(2
AH＝PA•sin13°≈20×0.225＝4.5
26°＝13°，
＝HM﹣AH＝20﹣4.5＝15.5(cm)；
……… ……本小题3分 (
MN，Q是PA的中点，
Q始终等于PA＝10cm，
所以点Q运动的轨迹是以H为圆心，半径为10cm的90°圆弧，
点Q运动的路径长为
≈
＝15.7(cm)．……… 本小题2分
20.解：（1）∵且C=∅，≥，解得，
实数a的取值范围是由已知得A∩B={x|-1≤x<2}，
……… ……本小题4分
由（1）可知C⊆(A∩B)，则，解得，
由C可得a，实数a的取值范围是．……… ……本小题4分
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．(1)证明：如图1，连接OD，
C， DB， ，
的切线； ……… …本小题3分(亦有其他证法)
(2)证明：如图2，连接DE，
内接四边形，
ABC，
ABC＝CD＝DE，
CF＝EF； ……… ……本小题3分
(3)解：如图3，连接AD，
ADB＝90°，
CD＝BD，
OD
AC，
OD
GAF，
，
C，
CED＝
C，
O的半径是r，则AB＝AC＝2r， AF＝2r﹣3，OG＝9+r，AG＝9+2r，
，
O的半径是． ……… ……本小题3分
22．(1)(2)
形；
形． ……… ……本小题2分，每空1分
如图2，连接CE，BG交于点N，CE交AB于M， 四边形ACFG是正方形，四边形ABDE是正方形，
BAE＝90°，
BG，
MN＝90°，
∴∠BNM＝90°，∴CE⊥BG，
边形BCGE是神奇四边形；……本小题3分
C＝
＝
＝1，
，
边形ACFG是正方形，四边形ABDE是正方形，AC＝2，AB＝
AC＝2
，BE＝
AB＝
，
C2＝CN2+GN2，BE2＝BN2+NE2，BC2＝CN2+BN2，GE2＝GN2+NE2， C2+BE2＝BC2+GE2，③可得
GE＝
＝
； ……… ……本小题2分
四边形BCGE是神奇四边形， C2+BE2＝BC2+GE2，
GE＝6，BC＝
，
C2+BE2＝41，
BE+GC＝k+4，BE•GC＝4k，
BE、GC分别是方程x2﹣(k+4)x+4k＝0的两根，BE2+GC2＝41＝(BE+GC)2﹣2BE•GC，＝5，k2＝﹣5(不合题意舍去)，
六、(本大题共1小题，共12分) 23．(1)
； ……… ……本小题1分 OPA为等边三角形时，同理可得点P(m，
将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝2故点P的坐标为(2，6)，
，
(k+4)2﹣8k＝41，
． ……… ……本小题2分
m)，
故“yp”的解析式为：y＝a(x点A的坐标为(2m，0)，即(4将点A的坐标代入y＝a(x﹣2
2)2+6， ，0)，
)2+6并解得：a＝
，
故“yp”的解析式为：y＝
(x2)2+6＝x2+2x； … ……本小题3分
(2n2)；2n； … ……本小题2分，每空1分
意得：PnHnOAn＝n22n＝16，
n＝8； … ……本小题2分
解得：n＝8或﹣4(舍去﹣4)，
2)存在，理由：
如图所示，由1)知，点P4的坐标为(4，8)，An＝2n， 即OH4＝4，P4H4＝8，H4An＝2n﹣4，
H4P4An＝90°，
4
2＝OH
4•H4An，
即82＝4×
(2n﹣4)，解得：n＝10． … ……本小题4分
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