牛顿运动定律中的临界和极值问题 (2)

1．动力学中的典型临界问题 (1)接触与脱离的临界条件

两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力FN＝0. (2)相对静止或相对滑动的临界条件 两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松弛的临界条件

绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是FT＝0.

(4)速度最大的临界条件

在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值． 2．解决临界极值问题常用方法

(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．

(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．

(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．

题型一：接触与脱离类的临界问题

例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动（a例2: 如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0 kg的物块B相连接。另一个质量为1.0 kg的物块A放在B上。先用竖直向下的力

F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2 m，取g＝10 m/s， 求刚撤去F时弹簧的弹性势能 例3:如图所示，质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并

2

1保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉A，当运动距离为h时A

2与B分离。则下列说法正确的是（ ） A．A和B刚分离时，弹簧为原长

3mgB．弹簧的劲度系数等于

2hC．从开始运动到A和B刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减小 D．从开始运动到A和B刚分离的过程中，A物体的机械能一直增大

例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接；两物块A、B质量均为m，初始时均静止。现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的v-t关系分别对应图乙中A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，则（ ）

mgsinmaA．t1和t2时刻弹簧形变量分别为和0

kB．A、B分离时t12mgsinma

akC．拉力F的最小值mgsinma D．从开始到t2时刻，拉力F逐渐增大

题型二：相对静止或相对滑动的临界问题

4.如图所示，质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上。A与桌面以及A、B间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ2=0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问： （1）水平作用力F作用在B上至少多大时，A、B之间能发生相对滑动（若把力加在A上情况又怎样）

（2）当F=30N或40N时，A、B加速度分别各为多少

题型三：绳子断裂与松弛的临界问题

例5．如图所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说法不正确的是( ) A．转速小时，ac受拉力，bc松弛 B．bc刚好拉直时，ac中拉力为1.25mg C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变 D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大

例6．如图所示，将两物块A、B用一轻质细绳（沿水平方向）连接放在粗糙的水平面上，已知两物块A、B的质量分别为m1=8kg,m2=2kg,滑块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2,g=10m/s,细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块A上施加一水平向右的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为使两滑块共同向右运动,则拉力F多大?

2

题型四：速度最大的临界问题

例7．如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电荷量为＋q的圆环A套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan α.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中： (1)圆环A的最大加速度为多大获得最大加速度时的速度为多大 (2)圆环A能够达到的最大速度为多大 跟踪练习： 1.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，

2

已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s,则F的最小值是 ，F的最大值

是 。

思维拓展：若上题中秤盘质量m1=1．5kg，盘内物体P质量为m2=10．5kg，弹簧的劲度系数 k=800N/m，其他条件不变，则F的最小值是 ，F的最大值是 。

0

2. 如图所示，细线的一端固定于倾角为45的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以多大的加速度a向左运动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g的加速度向左运动时，球此时线中拉力T大小

P 3. 一个带负电荷q，质量为m的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的A点由静止下滑，小球恰能通过半径为R的竖直圆形轨道的最高点B而做圆周运动．现在竖直方向上加如图所示的匀强电场，若仍从A点由静止释放a 0 A 45该小球，则( )

A．小球不能过B点 B．小球仍恰好能过B点

C．小球能过B点，且在B点与轨道之间压力不为0 D．以上说法都不对 4.如图所示，质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上。A与桌面以及A、B间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ2=0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。问： （1）水平作用力F作用在B上至少多大时，A、B之间能发生相对滑动（若把力加在A上情况又怎样）

（2）当F=30N或40N时，A、B加速度分别各为多少 5.如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB=2N，Ａ受到的水平力ＦA=(9-2t)N，(t的单位是s)。从t＝0开始计时，则： A．Ａ物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍； B．t＞４s后,Ｂ物体做匀加速直线运动； C．t＝4.5s时,Ａ物体的速度为零； D．t＞4.5s后,ＡＢ的加速度方向相反。

6.如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A，其质量为mA＝2.0 kg，小车上放一个物体B，其质量为mB＝1.0 kg.如图甲所示，给B一个水平推力F，当F增大到稍大于3.0 N时，A、B开始相对滑动．如果撤去F，对A施加一个水平推力F′，如图乙所示．要使A、B不相对滑动，求F′的最大值Fm.