高县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 设0＜a＜1，实数x，y满足，则y关于x的函数的图象形状大致是（ ）

A． B． C． D．

2． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（

A．10 13 B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15

3． 已知f（x）=，则f（2016）等于（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

4． 函数y=+

的定义域是（ ）

A．{x|x≥﹣1}

B．{x|x＞﹣1且x≠3} C．{x|x≠﹣1且x≠3} D．{x|x≥﹣1且x≠3}

5． 已知圆C：x2

+y2

﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（ ） A．一定相离 B．一定相切

C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

6． 已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（ ） A．﹣a＞﹣b

B．a+c＜b+c

C．（﹣a）2＞（﹣b）2 D．

7． 下列说法正确的是（ ） A．类比推理是由特殊到一般的推理 B．演绎推理是特殊到一般的推理

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）

C．归纳推理是个别到一般的推理 D．合情推理可以作为证明的步骤 8． 已知x，y∈R，且积为（ ） A．4

﹣

B．4

﹣

C．

D．

+

，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面

B．y=lgx2与y=2lgx

9． 下列各组表示同一函数的是（ ） A．y=

与y=（

2）

C．y=1+与y=1+

D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）

2

10．若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

22211．在ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，则A的取值范围是（ ）1111] A．(0,

] B．[,) C. (0,] D．[,) 6633的零点个数为（ ） D．3

12．函数f（x）=2x﹣A．0

B．1

C．2

二、填空题

13．已知正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，

则该正四棱锥的外接球的半径为_________

14．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 ．

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15．已知i是虚数单位，复数的模为 ．

16．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

b17．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则的值为 ▲ ．

a18．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ． 三、解答题

19．已知函数f(x)（1）求A（2）若B

20．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．

2

（1）求x的系数取最小值时n的值．

x317x的定义域为集合A，B{x|2x10}，C{x|ax2a1}

B，(CRA)B；

CB，求实数a的取值范围.

2

（2）当x的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

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21．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．

（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；

（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

22．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

23．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．

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（1）求证：f（x）是周期函数；

（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；

（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

24．如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，且椭圆C的短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．

（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

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高县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称， 故选：A．

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．

2． 【答案】C

【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C．

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

，

3． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=

∴f（2016）=f（2011）=f（2006）=…=f（1）=f（﹣4）=log24=2， 故选：D．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．

4． 【答案】D

【解析】解：由题意得：

，

解得：x≥﹣1或x≠3， 故选：D．

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【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

5． 【答案】C

【解析】

【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．

22

【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）+y=2， ∴圆心C（1，0），半径r=， ∵≥＞1， ∴圆心到直线l的距离d=

＜

=r，且圆心（1，0）不在直线l上，

∴直线l与圆相交且一定不过圆心． 故选C

6． 【答案】C 故选C．

22【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）＞（﹣b），

【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．

7． 【答案】C

【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤， 故选C．

【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

8． 【答案】 A

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB， 若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立， 则令sinα=则方程等价为即sin（α+θ）=﹣

（

cosθ+，则cosθ=

sinθ）=﹣1， ，

sin（α+θ）=﹣1，

，

∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，

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∴|﹣

|≤1，即x2+y2≥1，

则对应的区域为单位圆的外部， 由

，解得

，即B（2，2

×

）， =4

，

A（4，0），则三角形OAB的面积S=直线y=则∠AOB=

x的倾斜角为

，

，

﹣

，即扇形的面积为

则P（x，y）构成的区域面积为S=4故选：A

，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．

9． 【答案】C

=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．【解析】解：A．y

B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．

C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数． D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数． 故选：C．

【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

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10．【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x+bx+1，

∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

2

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，

∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．

11．【答案】C 【

解

析

】

考点：三角形中正余弦定理的运用. 12．【答案】C

【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}， ∵

＞0，

∴函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数， 又

＜0，f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0，

故函数在区间（﹣4，0）上有一零点； 又f（2）=4﹣4=0，

∴函数在（1，+∞）上有一零点0， 综上可得函数有两个零点． 故选：C．

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【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题．

二、填空题

13．【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥OABCD的体积为2，底面边长为3，所以锥高为2，设外接球的半径为R，依轴截面的图形可知：R2(R2)2(6211)R 2814．【答案】 （﹣1，1] ．

【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：

由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]

15．【答案】 ．

【解析】解：∵复数故答案为：

．

=

=i﹣1的模为

=

．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．

16．【答案】

．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列 ∴2b=a+c

222

∴4b=a+2ac+c①

222

∵b=a﹣c②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

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2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

117．【答案】

2考

点：函数极值

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.

（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 18．【答案】

【解析】解：从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，共有其中4个点构成平行四边形的选法有3个， ∴4个点构成平行四边形的概率P=故答案为：

．

=

．

=15种选法，

．

【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，是基础题．确定基本事件的个数是关键．

三、解答题

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19．【答案】（1）AUB2x10，CRAIBx2x3或7x10；（2）a1或2a【解析】

9。 2x30试题分析：（1）由题可知：，所以3x7，因此集合Ax3x7，画数轴表示出集合A，

7x0集合B，观察图形可求，AUB2x10，观察数轴，可以求出CRAxx3或x7，则

CRAIa2a1，Bx2x3或7x10；CB可得：CB，（2）由BU分类讨论，当B时，

a1a2a19解得：a1，当B时，若CB，则应满足a2，即a2，所以2a，因此满足

22a1109a29BUCB的实数a的取值范围是：a1或2a。

2x30得：

试题解析：（1）：由3x7

7x0A={x|3x<7}

AB{x|2x10}， (CA)B{x|2=

a2a19当B时，a2，2a

22a110即a-1或2a9 。 2

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。 20．【答案】

【解析】 【专题】计算题．

【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展

2

开式的通项公式求出x的系数，

将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值

11

【解答】解：（1）由已知Cm+2Cn=11，∴m+2n=11，

（2）通过对x分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．

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x2的系数为Cm2+22Cn2=

+2n（n﹣1）=+（11﹣m）（

﹣1）=（m﹣

2）+

．

∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22， 此时n=3．

253

（2）由（1）知，当x的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）+（1+2x）．

设这时f（x）的展开式为 f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，

53

令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=2+3，

令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1， 两式相减得2（a1+a3+a5）=60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30． 问题． 21．【答案】

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和

【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励， ∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15） ∴奖金y关于销售利润x的关系式y=

（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20． 所以，小江的销售利润是20万元．

【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元， 由题设f（x）=k1x，g（x）=k2由图知f（1）=，∴k1= 又g（4）=，∴k2= 从而f（x）=

，g（x）=

（x≥0）

，（k1，k2≠0；x≥0）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元 y=f（x）+g（10﹣x）=

，（0≤x≤10），

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令，∴（0≤t≤）

当t=，ymax≈4，此时x=3.75

∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．

23．【答案】

【解析】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x）， ∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期． （2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，

2

∴f（﹣x）=﹣2x﹣x，

2

又f（﹣x）=﹣f（x），

2

∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x，

22

∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）=x﹣6x+8，

由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x﹣6x+8， ∴当x∈[2，4]时，f（x）=x﹣6x+8．

2

2

（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x．

∴f（0）=0，f（1）=1，

当x∈[2，4]时，f（x）=x﹣6x+8，

2

∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0， ∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．

∴2016=4×504

即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0．

∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，

【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．

24．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，

设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．

由22

得（1+4k）x﹣4kx﹣3=0，

∴x1+x2=又

．

，x1x2=，

所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|==令t=所以S△PMN=令h（t）=则t=

，t∈[，则t≥

2，k=

．

，

，+∞），则h′（t）=1﹣

=）=

＞0，所以h（t）在[，

，+∞），单调递增，

，即k=0时，h（t）的最小值，为h（

．

所以△PMN面积的最大值为

（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上． 又O为△PMN的中心，所以从而|MN|=

，|PM|=

，可知Q（0，﹣），M（﹣

，

），N（

，

）．

，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．

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（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾． （3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=又O为△PMN的中心，则

，可知

．

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2xQ=﹣x0，y1+y2=2yQ=﹣y0，

2222

又x1+4y1=4，x2+4y2=4，两式相减得kMN=

，

从而kMN=所以kOP•kMN=

． •（

）=

≠﹣1，

所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾． 综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想

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