2021年高考真题——北京卷(理)(解析版)

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）若集合A={x|–23}，则A∩B=（ ） A.{x|–2B.{x|–2（2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A.(–∞，1) C.(1，+∞)

B.(–∞，–1) D.(–1，+∞)

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）

A.2

B.

3 2 C.

5 3 D.

8 5x3,（4）若x，y满足xy2, 则x + 2y的最大值为（ ）

yx,A.1 C.5

B.3 D.9

1（5）已知函数fx3x，则f(x)（ ）

3A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数

（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的（ ） A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）

A.32

（参考数据：lg3≈0.48）

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

B.23

C.22

D.2

y21的离心率为3，则实数m=_______________. （9）若双曲线xm2（10）若等差数列an和等比数列bn满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则

a2=__________. b2（11）在极坐标系中，点A在圆2cos4sin40，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为 .

（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin21，cos()= . 3（13）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________.

（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.

①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题13分） 在△ABC中，A=60°，c=（Ⅰ）求sin C的值； （Ⅱ）若a=7,求△ABC的面积.

（16）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段

3a. 7PB上，PD//平面MAC,PA=PD=6,AB=4.

(I)求证：M为PB的中点； (II)求二面角B-PD-A的大小；

(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

（17）（本小题13分）

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“·”表示服药者，“+”表示为服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）

（18）（本小题14分）

已知抛物线C：y2=2px过点P(1,1).过点(0,

1)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过2点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点. （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

（19）（本小题13分） 已知函数f(x)=excos x−x.

（Ⅰ）求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,

（20）（本小题13分）

]上的最大值和最小值. 2设{an}和{bn}是两个等差数列，记cn=max{b1–a1n,b2–a2n,…,bn–ann}(n=1,2,3,…)， 其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数．

（Ⅰ）若an=n，bn=2n–1，求c1,c2,c3的值，并证明{cn}是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，使得cm,cm+1,cm+2,…是等差数列．

cnM；或者存在正整数m，n 参考答案：

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）【答案】A

【解析】A（2）【答案】B

【解析】z1iaia11ai，因为对应的点在第二象限，

Bx2x1，故选A.

a10 ，解得：a1，故选B. 所以1a0（3）【答案】C

【解析】k0时，03成立，第一次进入循环k1,s112，13成立，第二次1315213， k2,s，23成立，进入循环，第三次进入循环k3,s233，33222否，输出s5，故选C. 3（4）【答案】D

【解析】如图，画出可行域，

zx2y表示斜率为1的一组平行线，当过点C3,3时，目标函数取得最大值2zmax3239，故选D.

（5）【答案】A

11【解析】fx3x3xfx，所以函数是奇函数，并且3x是增函331数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.

3（6）【答案】A

【解析】若0，使mn，即两向量反向，夹角是1800， 那么mnmncos180mn0，

反过来，若mn0，那么两向量的夹角为90,180 ，并不一定反向， 即不一定存在负数，使得mn，所以是充分不必要条件，故选A. （7）【答案】B

【解析】几何体是四棱锥，如图

0xxx00

红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l22222223，故选B.

（8）【答案】D

M3361【解析】设x80 ，两边取对数，

N103361lgxlg80lg3361lg1080361lg38093.28，所以x1093.28，

10即

M最接近1093，故选D. N二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. （9）【答案】2 【解析】1m3m2. 1（10）【答案】1

3【解析】13dq8d3,q2a2131. b21(2)（11）【答案】1

【解析】C:xy2x4y40(x1)(y2)1， 所以|AP|min|AC|r211. （12）【答案】【解析】

22227 9sinsin,coscoscos()coscossinsincos2sin22sin2179（13）【答案】-1，-2，-3

【解析】123,1(2)3. （14）【答案】Q1；

p2.

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）解：（1）根据正弦定理

acC×sinA33333=sinC==sin60。== sinAsinCa77214（2）当a=7时，c=3，a=3， 7sinC=3143，c＜a

3. 14cosC=1sin2C=△ABC中

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC =33133+ 21421433 141139acsinB=733=3 22144BD=O.连接OM

=S△ABC=（16）解：（1）连接AC，BD.AC∵PD∥平面MAC且平面PBD平面MAC=MO ∴PD∥MO ∵O为BD中点 ∴M为PB中点

（2）取AD中点E，连接PE ∵PA=PD ∴PE⊥AD

又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD ∴PE⊥平面ABCD 建立如图所示坐标系，

则B(-2，4，0),P(0，0，2) ,D(2，0，0),A(-2，0，0). 易知平面PDA的法向量m0,1,0 设平面BPD的法向量n=x0,y0,z0，则

mDPx,y,z2,0,22x2z0,00000 nDBx0,y0,z04,4,04x04y00,∴n=1,1,2

∴二面角B-PD-A的平面角.



coscosm,n=mnmn11121222123

（17）

分布列如下

 p 0 1 2 1 62 31 6 E（）=0121+1+2=1，即所求数学期望为1. 636（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大. （18）解：（Ⅰ）把P（1,1）代入y2=2Px得P=

1∴C:y2=x， 2∴焦点坐标（

11，0），准线：x=-. 441y，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=2x，

x22x1y2) x2（Ⅱ）设l：y=kx+

由题知A(x1，x1)，B(x1，

111k1ykx2x2+（k-1）x+k=0，x+x=，x·x=. 21212224k4k2yx1x1kx1xy1xx2y112kx12kx112,x22x22x2由x1+x2=

1k1，xx=， 12k24k21k2k上式2kx12kx11k2x12x1∴A为线段BM中点. 12x24kx1（19）解：（Ⅰ）f(x)=ex·cos x－x∴f(0)=1， ∴f´(x)=ex（cos x－sin x）－1， f´(0)=0，

∴y=f(x)在（0，f(0)）处切线过点（0,1），k=0， ∴切线方程为y=1.

（Ⅱ）f´(x)=ex（cos x-sin x）－1，设f´(x)=g(x)，

］上单调递减， 2∴g(x)≤g(0)=0，∴f ´（x）≤0∴f(x)在［0，］上单调递减，

2∴g´(x)=－2sin x·ex≤0 ∴g(x)在［0，f(x)max=f(0)=1， ∴f(x)min=f(

)=－. 22（20）解：

c1=max{b1a1}=max{0}=0-1}=-1（Ⅰ）当n1时，c2=max{b1-2a1，b22a2}=max{-1，

c=max{b3a，b3a，b3a}=max{-2，，-3-4}=-23112233所以，对于nN*且n2，都有cnb1a1n， 只需比较b1a1n与其他项的大小比较. 当kN*且10,且2-n<0, 所以bkaknb1a1n 所以 对于nN*且n2cnb1a1n=1-n 所以 cncn-1=-1,n2 又c2c1=-1

所以{cn}是以首项c1=0d=-1为公差的等差数列.

（Ⅱ）（1）设{an}、{bn}的公差为d1,d2，对于b1a1n,b2a2n,,bnann, 其中任意项biain（iN,1*biain=b1(i1)d2a1(i1)d1n

=（b1a1n）（+i-1）(d2-d1n)

①若d20,则bi-ainb1a1n则对于给定的正整数n，Cn=b1a1n 此时Cn+1-Cn=-a1，故数列Cn为等差数列

i1d20

②若d2＞0,则biainbnannind20 则对于给定正整数n，Cn=bnann=bna1n 此时Cn+1-Cn=d2-a1，∴数列Cn为等差数列