题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
cos15°=（ ） 1. sin15°
A. B. C. D.
2. 不等式3+5x-2x2＞0的解集为（ ）
A. （-3，） C. （-，3）
B. （-∞，-3）∪（，+∞） D. （-∞，-）∪（3，+∞）
3. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 120 4. 已知
，则cos（π+α）=（ ）
，
A.
5. 若
B. C. D.
，则一定有（ ）
A. B.
C.
D.
6. 在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角 D. 等腰或直角三角形 7. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A
测得AC=60m，塔顶B的仰角α=45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（ ）
A. m B. m C. m D. m
8. 已知x，y∈（0，+），且满足
的最小值为（ ）
，那么x+4y
A.
B.
C.
D.
9. 已知{an}是等比数列，且 ，则a9=（ ）
A. 2
10. 已知
2 B. ±C. 8 D.
，则tan2α=（ ）
A. B.
C. D.
11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 2 D. 4 12. 给出以下三个结论：
①若数列{an}的前n项和为Sn=3n+1（n∈N*），则其通项公式为an=2•3n-1；
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②已知a＞b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又存在x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则
的最小值为2
；
③若正实数x，y满足x+2y+4=4xy，且不等式（x+2y）a2+2a+2xy-34≥0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[，+∞）． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
D. 3
，则b的值
13. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=3，c=1，
为______．
14. 数列{an}中，a1=1，an+1=15. 已知
，且
，则数列{an}的通项公式an=______． ，则cos2α=______．
16. 已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）
=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），an=
（n∈N*），bn=
（n∈N*），考查下列结论：
①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．
以上命题正确的是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求a，c的值； （2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围． B、C为△ABC的三个内角，b、c，18. 已知A、且其对边分别为a、若cosBcosC-sinBsinC=． （1）求角A；
（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．
19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4=24，S7=63．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=
，求数列{bn}的前n项和Tn．
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20. 已知向量=（
sin，1），=（cos，cos2）．若f（x）=•
（1）求f（x）递增区间；
（2）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
21. 设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且对任意正整数n，满足2an+1+Sn-2=0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn． {bn}满足：an+bn=1，bn+1=22. .已知数列{an}，
的零点（a1＜b1）．
（1）求a1，b1，b2； （2）设cn=
，求证：数列{cn}是等差数列，并求bn的通项公式；
b1是函数（fx）=16x2-16x+3，且a1，
（3）设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，不等式4aSn＜bn恒成立时，求实数a的取值
范围．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为sin2α=2sinαcosα， cos15°=sin30°=． 所以sin15°
故选：A．
由正弦的倍角公式变形即可解之． 本题考查正弦的倍角公式． 2.【答案】C
【解析】解：不等式3+5x-2x2＞0可化为 2x2-5x-3＜0，
即（2x+1）（x-3）＜0， 解得-＜x＜3，
所以原不等式的解集为（-，3）．
故选：C．
把不等式化为一般形式，求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式的解法问题，是基础题目． 3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列的性质与求和公式即可得出． 【解答】
解：由等差数列的性质可得：故选：C． 4.【答案】A
【解析】解：∵∴cosα=，
∴cos（π+α）=-cosα=-． 故选：A．
利用诱导公式先求出cosα=，cos（π+α）=-cosα，由此能求出结果．
本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5.【答案】D
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．
，
【解析】【分析】
本题考查不等式比较大小，特值法有效，倒数计算正确． 利用特例法，判断选项即可． 【解答】
解：不妨令a=3，b=1，c=-3，d=-1， 则
，，=-， ∴C不正确，D正确．
解法二： ∵c＜d＜0， ∴-c＞-d＞0， ∵a＞b＞0， ∴-ac＞-bd， ∴∴
．
，
，∴A、B不正确；
故选：D． 6.【答案】A
【解析】解：∵又∵cosC=∴
，
，
=，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A．
由已知及余弦定理即可解得b=c，从而得解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 7.【答案】B
-15°=30°【解析】解：由题意得，∠BAC=45°，∠ABC=α=45°，且AC=60m，
在△ABC中，由正弦定理得，
，即
，
解得BC=30（m）， 故选：B．
由图和测得的仰角求出∠BAC和∠ABC，放在△ABC中利用正弦定理求出BC的长度． 本题考查了正弦定理在测量长度中的应用，关键是将测量出的长度和角度进行几何化，转化为解三角形问题． 8.【答案】B
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【解析】【分析】
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】
解：∵x，y∈（0，+），且满足那么x+4y=（x+4y）=3+≥3+2
，
=3+2
，
时取等号．
当且仅当x=2y=1+∴最小值为3+2． 故选：B． 9.【答案】A
【解析】解：在等比数列{an}中，由得联立解得：则q2=
，又4a3+a7=2， ． ，∴
，
．
故选：A．
由已知列式求得a3，进一步求得公比，再由等比数列的通项公式求得a9． 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 10.【答案】C
【解析】解：∵∴∴
，
，
，化简得4sin2α=3cos2α，
故选：C．
将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解． 本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 11.【答案】C
【解析】解：由已知可得：a×=∴
=2sinA+2cosA=2
sin
≤2
，可得2bcsinA=a2=b2+c2-2bccosA， ，当且仅当A=时取等号．
故选：C．
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由已知可得：a×=
=2sinA+2cosA=2
sin
，可得2bcsinA=a2=b2+c2-2bccosA，
，即可得出．
本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.【答案】C
【解析】解：对于①，数列{an}的前n项和为Sn=3n+1（n∈N*）， ∴Sn-1=3n-1+1（n≥2），
∴an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2•3n-1（n≥2）， 又a1=S1=4， ∴通项公式为an=
，①错误；
对于②，a＞b时，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立， ∴
，∴a＞0，且ab≥1；
又存在x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立， 可得△=0，∴ab=1，∴a＞1； ∴
=
=
＞0；
∴===，
令a2+=t，则t＞2， ∴
=
=
=（t-2）+4+
≥2
+4=8，
当且仅当t=4时“=”成立； ∴
的最小值为8，即
的最小值为
=2
，②正确；
对于③，正实数x，y满足x+2y+4=4xy，可得x+2y=4xy-4， ∴不等式（x+2y）a2+2a+2xy≥34恒成立， 即（4xy-4）a2+2a+2xy≥34恒成立，
变形可得2xy（2a2+1）≥4a2-2a+34恒成立， 即xy≥
恒成立，
∵x＞0，y＞0，∴x+2y≥2， ∴4xy=x+2y+4≥4+2，
-•-2≥0， 即2
解不等式可得
≥
，或
≤-（舍负） 恒成立，只需2≥
恒成立，
可得xy≥2，要使xy≥化简可得2a2+a-15≥0，
即（a+3）（2a-5）≥0，解得a≤-3或a≥，
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∴实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[，+∞），③正确． 综上，正确的命题是②③． 故选：C．
①根据数列的前n项和求出通项公式，判断①错误；
②根据一元二次不等式恒成立以及特称命题求得ab的关系，再利用换元法求出
的
最小值，判断②正确；
③利用基本不等式求出xy的最小值，再转化为关于a的不等式，求出实数a的取值范围，判断③正确．
本题考查了命题真假的判断问题，也考查了基本不等式的应用，恒成立问题，以及变形并求最值的应用问题，是难题．
13.【答案】
【解析】解：a=3，c=1，
，
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB =9+1-2×3×1×=7，
可得b=． 故答案为：．
由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，代入计算即可得到所求值． 本题考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由a1=1，an+1=∴数列
，两边取倒数可得：，即，
是等差数列，首项为1，公差为．
．
∴=1+（n-1），解得故答案为：由a1=1，
．
，两边取倒数可得：，即，再利用等差数列
的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：∵sin（α-）=（sinα-cosα）=， ∴sinα-cosα=
，
∴（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα=，即2sinαcosα=＞0，
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∵，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα+cosα＞0， ∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=， ∴sinα+cosα=
，
×（-）=
．
则cos2α=cos2α-sin2α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）=故答案为：
．
将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出
sinα-cosα的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sinαcosα的值大于0，由α的范围，得到sinα大于0，cosα大于0，利用完全平方公式求出sinα+cosα的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值．
此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题． 16.【答案】②③④
【解析】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y）， ∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误， （2）令x=y=-1，得f（-1）=0；
令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1）， 代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
故f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．故②正确， （3）若则an-an-1=
-=
，
=
=
为常数，
故数列{an}为等差数列，故③正确，
④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴当x=y时，f（x2）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），
22， 则f（22）=4f（2）=8=2×
f（23）=22f（2）+2f（22）=23+2×23═3×23， …
2n， 则f（2n）=n×若
，
则====2为常数，
则数列{bn}为等比数列，故④正确，
故答案为：②③④．
利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．
本题主要考查抽象函数的应用，结合等比数列和等差数列的定义，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．
17.【答案】解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，
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∴1、3是方程ax2+x+c=0的两根，且a＜0，
所以；
解得a=-，c=-；
（2）由（1）得a=-，c=-，
所以不等式ax2+2x+4c＞0化为-x2+2x-3＞0， 解得2＜x＜6， ∴A={x|2＜x＜6}，
又3ax+cm＜0，即为x+m＞0， 解得x＞-m， ∴B={x|x＞-m}， ∵AB，
∴{x|2＜x＜6}{x|x＞-m}， ∴-m≤2，即m≥-2，
∴m的取值范围是[2，+∞）．
【解析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；
（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围．
本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题，也考查了真子集的定义与应用问题，是中档题目．
18.【答案】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC-sinBsinC=，
∴cos（B+C）=， 又∵0＜B+C＜π， ∴B+C=， ∵A+B+C=π，
∴A=； （Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA， 得（2
）2=（b+c）2-2bc-2bc•cos，
把b+c=4代入得：12=16-2bc+bc， 整理得：bc=4，
4×=则△ABC的面积S=bcsinA=×
．
【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出
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bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19.【答案】解：（1）∵{an}为等差数列，S4=24，S7=63． ∴
，
解得，
∴an=2n+1． （2）∵∴
， ．
【解析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）f（x）=•=
（3分） 由
∴f（x）的递增区间为
得：
==，…
，
…（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C）， ∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴∵0＜B＜π，∴∴又∵
，
，∴
…（12分）
，∴
， ，
， …（8分）
故函数f（A）的取值范围是
【解析】（1）求出函数的解析式，根据正弦函数的性质求出函数的递增区间即可； （2）根据正弦定理得到B的值，求出f（A）的解析式，根据三角函数的性质求出f（A）的范围即可．
本题考查了三角函数的性质，考查正弦定理以及函数的单调性问题，是一道中档题． 21.【答案】解：（1）∵2an+1+Sn-2=0， ∴当n≥2时，2an+Sn-1-2=0，
两式相减得2an+1-2an+Sn-Sn-1=0， 即2an+1-2an+an=0，∴
；
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又当n=1时，即
，
，，
∴{an}是以首项a1=1，公比∴数列{an}的通项公式为（2）由（1）知，则
Tn=+++…+①-②得
+，②
的等比数列，
； ， ，①
，
=
所以，数列{bn}的前n项和为．
【解析】本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题． （1）由n≥2时，根据an=Sn-Sn-1，将n换为n-1相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求； （2）求得
，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公
式，化简整理，即可得到所求和．
22.【答案】解：（1）由16x2-16x+3=0解得：
∴由将（2）∵即cn+1=cn-1， 又
．
代入得
．
，∴
．
．
，得
，
，
故：数列{cn}是以-4为首项，-1为公差的等差数列． 于是cn=-4+（n-1）×（-1）=-n-3， 由
得
．
．
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（3）不由题意及（2）知：
==．
∴Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 ===由
+…+
．
恒成立，
即（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可，） 设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8 ①当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立
②当a＞1时，由二次函数的性质f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0不可能恒成立． ③当a＜1时，由于
，
∴f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8在[1，+∞）上单调递减， 由f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=4a-15＜0得∴a＜1，4aSn＜bn恒成立．
综上所述：所求a的取值范围是（-∞，1]．
【解析】（1）由16x2-16x+3=0解得：
，得
（2）由
，可得
，可得a1，b1．由
，可得b2．
．即cn+1=cn-1，利用等差数列的，
通项公式可得cn，bn．
（3）利用“裂项求和”方法可得Sn，对a分类讨论，通过转化利用单调性即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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