北师大版七年级(下)数学第一章整式的乘除教案：整式乘法讲义(含解析)

案：1

把握单项式与单项式相乘的算理。

把握积的乘方、幂的乘方等单项式乘法公式。 灵活运用公式，简化运算。 1、单项式乘以单项式法则：

单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.

注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。

2、单项式乘以多项式的运算法则

单项式与多项式相乘，确实是依照乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.

3、多项式乘以多项式

法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行运算，那个地点再一次说明了整体性思想在数学中的应用。

4、幂的运算法则：

①同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

mnmnaaa即： （m、n为正整数）

②幂的乘方，底数不变，指数相乘。

mnmn（a）a即： （m、n为正整数）

③积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

nnn(ab)ab即： （n为正整数）

④同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

amanam-n（m>n，m、n为正整数） 5、乘法的运算律：

①乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c） ②乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac 1、单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.

注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。

【例1】运算：

（1）（2xy2）·（3xy）; （2）（－2a2b3）·（－3a）; （3）（4×105）·（5×104）;

解：（1）（2xy2）·（3xy） = （2×3）·（x·x）（y2·y） = 3x2 y3; （2）（－2a2b3）·（－3a） =［（－2）·（－3）］（a2a）·b3=6a3b3; （3）（4×105）·（5×104） = （4×5）·（105×104）=20×109=2×1010;

注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再运算绝对值.这时容易显现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5，而不要认为是6a6或5a5.

②相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式. ④单项式乘法法则关于三个以上的单项式相乘同样适用. ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 练1、（－3a2b3）2·（－a3b2）5; 答案：（－3a2b3）2·（－a3b2）5

=［（－3）2 · （a2）2 ·（b3）2］·［（－1）5 · （a3）5 ·（b2）5］

= （9a4b6）·（－a15b10） = －9·（a4·a15）·（b6·b10） = －9a19b16;

练2、（－3a2bc3）·（－4c5）·（3ab2c）.

2

3

1

1

1

2

1

答案：（－3 a2bc3）·（－4c5）·（3ab2c）

=［（－3）×（－4）×（4）］·（a2·a）（b·b2）（c3·c5·c） =6a3b3c9

【例2】一种电子运算机每秒可做4×109次运算，它工作5×102秒，可做多少次运算？

解： （4×109）×（5×102） = （4×5）×（109×102） = 20×1011 = 2×1012（次）

答：工作5×102秒，可做2×1012次运算. 练4、下列运算正确的是（ ） A．3a2·2a2=5a2

B．2a2·3a2=6a2

D．3a3·4a4=12a12

C．3a2·4b2=12a2b2 A．5y·4yx2＝9x3y3

B．（-2x3ynz）（-4xn+1yn-3）=8xn+4y2n-3 C．（-xn-2y2）（-xym）2=-xny2m+2 D．（-7a2b3）（5ab2c）＝-2a2b6c

练6、若（anbabm）5=a10b15则3m（n+1）的值为（ ） A．15

B．8

C．12

D．10

答案： C D C 2、单项式乘以多项式 【例3】运算：

（1） 2ab（5ab2+3a2b）; （2） （b;

（3） －6x（x－3y）; （4） = 2ab·（5ab2）+2ab·（3a2b）——乘法分配律 = 10a2b3+6a3b2——单项式与单项式相乘 （2） （3ab2－2ab）·2ab

2

1

1

2

3

3

231

练5、下列运算正确的是（ ）

231ab2－2ab）·2a

1－2a2（2ab+b2）.

解：（1） 2ab（5ab2+3a2b）

= （3ab2）·2ab+（－2ab）·2ab——乘法分配律 =3a2b3－a2b2——单项式与单项式相乘 （3） －6x（x－3y）

= （－6x）·x+（－6x）·（－3y）——乘法分配律 = －6x2+18xy——单项式与单项式相乘 （4） －2a2（2ab+b2）

= －2a2·（2ab）+（－2a2）·b2——乘法分配律 = －a3b－2a2b2——单项式与单项式相乘

2xy练7、运算：3x22x6．

622练8、运算：3ab4ab12ab

211

1

1

1

1答案：x3y2x2y2xy2 36a3b248a2b3 【例项.

14】运算：6mn2（2－312131mn4）+（－2mn3）2.

分析：在混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类

1解：原式=6mn2×2+6mn2·（－31=12mn2－2m2n6+4m2n6

7=12mn2－4m2n6

1mn4）+4m2n6

练9、运算am2+ama2+3a2m 练10、运算x23+xx2-x5

答案： am+4a2m x3

【例5】已知ab2=－6，求－ab（a2b5－ab3－b）的值.

分析：求－ab（a2b5－ab3－b）的值，依照题的已知条件需将ab2的值整体代入.因此需灵活运用幂的运算性质及单项式与多项式的乘法.

解：－ab（a2b5－ab3－b）

= （－ab）·（a2b5）+（－ab）（－ab3）+（－ab）（－b） = －a3b6+a2b4+ab2

= （－ab2）3+（ab2）2+ab2 当ab2=－6时

原式=（－ab2）3+（ab2）2+ab2

=［－（－6）］3+（－6）2+（－6） =216+36－6 =246

练11、若（am+1bn+2）·（a2n-1·b2m）＝a5·b3则m+n的值为（ ） A．1

B．2

C．3

D．-3

分析：先算等式的左边，再依照题意得m，n的方程组，将方程组整理后相加得出m+n的值．

解：由（am+1bn+2）·（a2n-1·b2m）=a5·b3得

m2n5　　　　①am+2nb2m+n+2=a5b3

因此2mn23　　　② ①+②得3m+3n=6

即m+n=2 故选B

3、多项式乘以多项式 【例6】运算：

（1）（1－x）（0.6－x） （2）（2x+y）（x－y） （3）（x－y）2

（4）（－2x+3）2 （5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）. 分析：在做题的过程中，要明白每一步算理.因此，不要求直截了当利用法则进行运算，而要利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.

解：（1）（1－x）（0.6－x） （2）（2x+y）（x－y） =（0.6－x）－x（0.6－x） = 2x（x－y）+y（x－y） =0.6－x－0.6x+x2 = 2x2－2xy+xy－y2

=0.6－1.6x+x2 = 2x2－xy－y2

或 （1－x）（0.6－x） 或 （2x+y）（x－y） =1×0.6－1×x－0.6x+x·x = 2x·x－2x·y+xy－y2

=0.6－x－0.6x+x2 = 2x2－xy－y2

=0.6－1.6x+x2 （x－y）

=x（x－y）－y（x－y） =x·x－x·y－x·y+y·y =x2－xy－xy+y2 =x2－2xy+y2

=x2－2xy+y2

（4）（－2x+3）2 （5）（x+2）（y+3）－（x+1）（y－2）

= （－2x+3）（－2x+3） = （xy+3x+2y+6）－（xy－2x+y－2）

= －2x（－2x+3）+3（－2x+3） = xy+3x+2y+6－xy+2x－y+2

= 4x2－6x－6x+9 = 5x+y+8 = 4x2－12x+9

评注：（3）（4）题利用乘方运算的意义化成多项式与多项式的乘法运算.

（5）整式的混合运算，一定要注意运算顺序.

练12、运算：（1）（m+2n）（m－2n）; （2）（2n+5）（n－3）;

（3）（x+2y）2 （4）（ax+b）（cx+d）. 解：（1）（m+2n）（m－2n） （2）（2n+5）（n－3）

=m·m－m·2n+2n·m－2n·2n = 2n·n－3·2n+5n－5×3

=m2－2mn+2mn－4n2 = 2n2－6n+5n－15 =m2－4n2 = 2n2－n－15 （3）（x+2y）2 （4）（ax+b）（cx+d）

（3）（x－y）2=（x－y）（x－y） 或（x－y）2=（x－y）

= （x+2y）（x+2y） = ax·cx+ax·d+b·cx+bd

= x2+2xy+2xy+4y2 = acx2+adx+bcx+bd

= x2+4xy+4y2

想一想：由运算得到27×23=621，发觉积的末两位上的数21=7×3，前面的数6=2×（2+1）.换两个数84×86=7224同样具有这一特点，因此我们猜想：十位数字相同，个位数字之和为10的两位数的积是否也有如此的规律？

分析：依照题意，能够发觉如此的两位数除了十位数字相同外，个位数字是补数，即个位数字的和是10.因此，我们设如此的两位数分别为10a+b和10a+c（a，b，c差不多上正整数，同时b+c=10）.依照多项式与多项式的乘法，通过对结果变形，就可说明.

解：设如此的两位数分别为10a+b和10a+c（a、b、c差不多上正整数，同时b+c=10）.依照多项式与多项式相乘的运算法则可知，这两个数的乘积为

（10a+b）（10a+c） =100a2+10a（b+c）+bc =100a2+100a+bc =100a（a+1）+bc

结论：那个式子告诉我们：求十位数相同，个位数字之和等于10的两个两位数的积，能够用十位上的数a去乘比它大1的数（a+1），然后在乘积的后面添上两位数，在这两个数位上写上个位数字的乘积，所得的结果确实是原先这两位数的乘积.

【例7】运算：（1）32×38 （2）54×56 （3）73×77 解：（1）3×（3+1）=12，2×8=16 （2）5×（5+1）=30，4×6=24

∴32×38=1216 ∴ 54×56=3024 （3）7×（7+1）=56，3×7=21 ∴ 73×77=5621

4、综合应用

【例8】规律探究题 （1）研究下列等式： ①1×3+1=4=22; ②2×4+1=9=32; ③3×5+1=16=42; ④4×6+1=25=52…

你发觉有什么规律？依照你的发觉，找出表示第n个等式的公式并证明.

（2）运算下列各式，你能发觉什么规律吗？ （x－1）（x+1）= . （x－1）（x2+x+1）= . （x－1）（x3+x2+x+1）= . （x－1）（x4+x3+x2+x+1）= . （x－1）（xn+xn－1+…+x+1）= . 答案：（1）n（n+2）+1=（n+1）2，证明略 （2）x2－1，x3－1，x4－1，x5－1，…xn+1－1

（3）已知A=987654321×123456789， B=987654322×123456788.

试比较A、B的大小.

分析：这么复杂的数字通过运算比较它们的大小，专门纷杂.我们观看就可发觉A和B的因数是有关系的，假如借助于这种关系，用字母表示数的方法，会给解决问题带来方便.

解：设a=987654321，则a+1=987654322; b=123456788， b+1=123456789，则A=a（b+1）=ab+a; B=（a+1）b=ab+b.

而依照假设可知a>b 因此A>B. 1. 下列各式运算正确的是（ ）

2ab6ab（A）3ab12232aabb2（C）

22 （B）2106101.210ab2ab （D）abab

2233225

23363m1mn2n299xyxyxy，则3m4n的值为（ ） 2. 若

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（D）2

2x3xmxkx15，则km的值为（ ） 3. 若

（A）7 （B）5 （C）2

23x2x33x2的结果是（ ） 4. 化简

（A）11x （B）11x 22（C）6x8x12 （D）x1

5.如图是长10cm，宽6cm的长方形，在四个角剪去4个边长为xcm的小正方形，按折痕做一个有底无盖的长方体盒子，那个盒子的容积是（ ）

（A）62x102x

（B）x6x10x （D）x62x10x （C）108 （D）720

（C）x62x102x （A）36

（B）72

2(axb)(3x4)bxcx72，则(ab)c的值为（ ） 6. 若

22aaa307. 已知，那么a4的值是（ ）

（A）9 （B）12 （C）15 （D）18

8. 将（1）中的梯形沿虚线剪开，拼成一个缺角的正方形，如图（2）所示.依照这两个图形的面积关系，下列式子成立的是（ ）

22222abababa2abbab（A） （B）

222222a2abbababab（C） （D）

1n13xy6xy9. 若单项式与3是同类项，那么这两个单项式的积是

2m .

2532abababb . ab310. 已知，则211. 若aa12，则5a6a .

22112121222222，12.观看下列等式：，

3323223，…… ，则第n个等式能够表示为 ．

213. 一个多项式除以2x1，商式为x2，余式为x1则那个多项式是

. .

14. 已知x2px8x23xq展开后不含x2与x3的项，则p ，q15. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对a,b进入其中时，会得到一个新的数：a1b2.现将数对m,1放入其中得到数n，再将数对n,m放入其中后，得到的数是 .

16. 已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108 km2煤所产生的能量，那么我国9.6×106km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 3 3千克. 2322x13x1 xx1x3x（2）

5ababab4c43 17. 运算：（1）

318. 先化简下面的代数式， (a2)(a2)a(4a)，其中a1. )xy(x5)(y4再求值：

19. 解方程组：3x2y1

20. 下面是小明和小红的一段对话：

小明说：“我发觉，关于代数式x13x23xx310x，当x2008和

x2009时，值难道是相等的.”

小红说：“不可能，关于不同的值，应该有不同的结果.” 在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.

2Bxxy1，且3A6B的值与x无A2x1x1x13y21. 已知，

关，求y的值.

参考答案 当堂检测 1. D A

家庭作业

462xy 9.

2. B 3. A 4. B 5. C 6. D 7. A 8.

10. 21

7173211. 29

2nn2n2n 12.

3x21 14. p3，q1 13. 2x41017. （1）9abc （2）x1 18. 4a4，4 19. y8

215. m2m

51016.1.248x15

20. 原式化简的结果是2，因此小明说的对.

9(15y6)x9 21. 3A6B3xy6x2当15y-6=0，即

y5时，其值与x无关.