人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结

数知识点总结

第二章 基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0=0。 注意：(1)(na)na

(2)当 n是奇数时，aa ，当 n是偶数时，nan|a|2．分数指数幂

正数的正分数指数幂的意义，规定：a正数的正分数指数幂的意义：a_mnnna,a0

a,a0mnnam(a0,m,nN,且n1) (a0,m,nN,且n1)

1amn0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）arasars(a0,r,sR) （2）(a)a(a0,r,sR) （3）(ab)ab(a0,b0,rR)

注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(12)]12而应=21 （二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数yax 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 图 像 定义域R , 值域（0，+∞） （1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1 01 122rrrrsrs 性质 (2)在R上是减函数 （3）当x>0时,01 (2)在R上是增函数 （3）当x>0时,y>1; 当x<0时,00时,01 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； 增函数 当x>0时,y>1; 当x<0时,0共性 01 自左向右看，图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡 注意： 指数增长模型：y=N(1+p)x 指数型函数： y=kax 3 考点：（1）ab=N, 当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的 异侧。

（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比

较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a0)进行传递或者利用（1）的知识。

（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 （4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=kax 二、对数函数 （一）对数

x1．对数的概念：一般地，如果aN ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：xlogaN

（ a— 底数， N— 真数，logaN— 对数式）

说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数, log10N记为lgN ；

（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , logeN记为lnN． 3、对数式与指数式的互化 xlogaNaxN

对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数

（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0

(3) 对数恒等式：aaN （二）对数的运算性质

如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0 有： 1、 log（logaMlogaN 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 aM•N）logNMlogaMlogaN 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 N3 、logaMnnlogaM 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n（nR）2 、loga倍 说明:

1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式

3) 真数的取值必须是(0,＋∞)

4) 特别注意：logaMNlogaMlogaN

logaMNlogaMlogaN 注意：换底公式logablogcblgba0,a1,c0,c1,b0

logcalga利用换底公式推导下面的结论 ①logabn1n ②logab•logbc•logcdlogad③logamblogab

mlogba（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：ylogax1，ylogax2 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

（2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1

2、对数函数的图像与性质：对数函数ylogax(a>0，且a≠1)

图像 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1 y y 0 (1,0) x 0 (1,0) x 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0 当x=1时，y=0 当00 当x=1时，y=0 当0重要结论：在logb中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logb>0;

aa当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logb<0.

a口诀：底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值）

a3、如图，底数 a对函数ylogax 的影响。

规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 4考点：

Ⅰ、logab, 当a,b在1的同侧时, logab >0；当a,b在1的异侧时, logab <0

Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性

比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递。

Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。

Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a>0且a ≠1) 与y=logax(a>0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法:

(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. (2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断.

(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0. 6 比较大小的方法

(1) 利用函数单调性(同底数)；(2) 利用中间值（如:0,1.）；(3) 变形后比较；(4) 作差比较

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+ ∞）上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

（3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．