数 学
注意事项：
1．本试卷共4页，30道小题，总分100分，考试时间120分钟．
2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事
项”，按照“注意事项”的规定答题．
3．做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦
干净，再选涂其它答案．
4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并收回．
一、选择题（本题共22道小题，1－10题，每题2分，11－22题，每题3分，共56分．在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线2x－y＋1＝0的斜率为 1A．
2
B．2
1C．－
2
D．－2
2．半径为3的球的体积等于 A．9π
B．12π
C．36π
D．54π
3．已知集合M＝{x|x＞－1}，下列关系式正确的是 A．{0}M
B．0M
C．{0}∈M
D．∈M
4．在等差数列{an}中，a2＝2，a5＝10，则a8＝ A．16
B．18
C．20
D．50
1
5．不等式≥2的解集是
xA．{x|0＜x≤2} 6．函数y＝2x
－1
1
B．x|x≥
2
{}C．x|x≤
{1 2
}1
D．x|0＜x≤
2
{(}的值域是
B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞)
1
D．，＋∞
2
A．(0，＋∞)
)3
7．已知sinx＝，且＜x＜π，则tanx＝
524
A．
5
4B．－
5
3C．
4
3D．－
4
8．函数f(x)＝2x＋x－2的零点所在的区间是 A．(－1，0)
B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
9．一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底
面边长分别为 1 A．1，3
B．2，1
正视图
侧视图
C．2，1
D．1，2
10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的
最小值是 俯视图
A．7 B．6
C．22
D．5
11．从装有3个红球、2个白球的口袋里随机取出一个球，得到红球的概率是 A．15
B．25
C．35
D．1
12．等边三角形ABC的边长为2，则→AB·→BC＝ A．－2
B．2
C．－23
D．23
13．若a＞b，则下列不等式一定成立的是 A．ac＞bc
B．a2＞b2
C．a＋c＞b＋c
D．11
a＜b
14．函数y＝3sin(2x＋
6)（x∈R）图象的一条对称轴方程是
开始 A．x＝0
B．x＝－
12
输入n S＝n(n＋1) n＝n＋1 C．x＝
6
D．x＝
3
S＞100? 否 15．按右图表示的算法，若输入一个小于10的整数n，则输出n的值是 输出n A．9 B．10 C．11
D．110
结束 16．函数y＝sin(x－
3
)（x∈R）的一个单调递增区间为
A．[－253，3] B．[－6，6] C．[3，43
]
D．
[5
6，116
]
17．已知数列{an}，an＝2n＋1，那么数列{an}的前10项和为 A．211＋8
B．211－1
C．210＋9
D．210－2
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝bc，则A＝ A．30
B．60
C．120
D．150
是
x≥0，
19．已知实数x，y满足y≥0，则目标函数z＝x＋y的最小值是
x＋4y≥4，
A．0
B．5
C．4
D．1
20．某单位共有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样（按男、女分层）的方法抽取一个样本，
该样本中有9名女职工，则样本容量为 A．27
B．36
C．40
D．44
A1 F A
D1 B1
C1
21．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和AA1的
点，则直线EF与平面ACC1A1所成的角等于 A．30 C．60
B．45 D．90
D E
B
C
中
22．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)＋1，则f(5)＝ A．0
B．1
1
C．
2
5D．
2
．．．．．．．．．．．．
二、填空题（本大题共4道小题，每小题3分，满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 23．sin165·cos15＝_________．
24．已知向量a＝(－2，3)，b＝(x，－6)，若a⊥b，则x＝___________． 25．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域是___________．
26．设有穷数列{an}的前n项和为Sn，定义数列{an}的期望和为Tn＝
S1＋S2＋…＋Sn
，若数列a1，
n
a2，…，a9的期望和T9＝100，则数列2，a1，a2，…，a9的期望和T10＝________． 三、解答题（本大题共4道小题，满分32分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 27．（本小题满分8分）
已知函数f(x)＝(sinx－cosx)2＋m，x∈R． （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）若f(x)的最大值为3，求m的值． 28．（本小题满分8分）
数列{an}的前n项和Sn满足3Sn＝an＋4（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{bn}的公差为3，且b2a5＝－1，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值． 29．（本小题满分8分）
是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，日均值在35微克/立方米及其以下空气质量为一级，在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级，在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天．
（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率；
3 4 7 9
日均值(微克/m3) 3
8 1 9 3 7
（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率． 30．（本小题满分8分）
1
已知动点P与两个定点E(1，0)，F(4，0)的距离之比是．
2（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx＋3与曲线C交于A，B两点，在曲线C上是否存在点M，使得四边形OAMB（O为坐标原点）为菱形，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．
答 案
一、选择题
BCABD 二、填空题
123．
4三、解答题
27．解：（Ⅰ）f(x)＝(sinx－cosx)2＋m＝m＋1－sin2x， 2
所以f(x)的最小正周期为T＝＝． ………………4分
2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当sin2x＝－1时，f(x)取最大值， 故有m＋2＝3，得m＝1．
………………8分
24．－9
25．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
26．92
ADBDC
CACCB
BACDB
AD
28．解：（Ⅰ）由3Sn＝an＋4，得3Sn－1＝an－1＋4，两式相减，得 3(Sn－Sn－1)＝(an＋4)－(an－1＋4)＝an－an－1，整理，得
an1
＝－（n≥2）．
2an－1
1
又3a1＝a1＋4，得a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以－为公比的等比数列，
2故有an＝2×－
(1)2
n－1
． ………………4分
1
（Ⅱ）由已知，得b2＝－＝－8，又等差数列{bn}的公差d＝3，
a5
故bn＝b2＋(n－2)d＝3n－14，因此当n≤4时，bn＜0，当n≥5时，bn＞0， 所以n＝4时，{bn}的前n项和Tn最小， 最小值为T4＝
4(b1＋b4)
＝－26． 2
………………8分
29．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．
记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f．则从6天中抽取2天的所有情况为： ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，基本事件数为15。…2分 （Ⅰ）记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，
可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，基本事件数为8．∴P(A)＝
8． 15
…5分
（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef， 故P(C)＝
114，∴P(B)＝1－P(C)＝． 1515
…………………8分
30．解：（Ⅰ）设点P(x，y)，由
(x－1)2＋y2
1
＝，
(x－4)2＋y22
…………………4分
化简，得轨迹C的方程是：x2＋y2＝4．
（Ⅱ）因为直线l：y＝kx＋3与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点， 所以
|3|1＋k
＜2，解得k＞2
55
或k＜－． 22
假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx
|3|1
＋3的距离为d＝|OM|＝1．所以＝1，解得k2＝8，即k＝±22，经验证满足条件． 221＋k所以存在两点M，使得四边形OAMB为菱形． …………………8分
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