《线性代数》试卷 （A）
答卷说明：1、本试卷共4页，三个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。
3、适用班级：10通信、自动化（工业）、自动化、汽电1,2班、工民、电子机械。 题 号 一 二 三 总 分 得 分 评阅人:_____________ 总分人：______________
一、填空题（本大题共10空，每空3分，共30分） 得分
骣3-2÷ç÷çç÷1÷,B=1． 设A=ç0÷ç÷ç÷ç-24÷桫骣2-11÷ç .则AB+2E= ç÷ç10-1÷桫骣1÷çç÷÷-1÷,Q=(211).令A=PQ.则A3= 2．设P=çç÷ç÷ç÷ç1÷桫133.行列式
152426003700= 48骣520÷ç÷çç÷.则A-1= 4. 设 A=ç210÷÷ç÷ç÷÷ç002桫骣12-1÷ç÷ç*-1÷÷20-1.A5.设A=ç则()= ç÷ç÷ç÷ç-211÷桫6.将矩阵A4´3中的第3列乘上5后加到第1列得到B.令AQ=B.则初等矩阵Q= 7.假设方阵A已知，且满足A+3A+E=0.则A+3E3(2)-1=
ìï(k-1)x1-3x3=0ïï8.方程组ïíx1+2x2+x3=0 有非零解。则参数k=
ïïïïîx1-3x2+x3=0鼢9.二阶实对称阵的两个特征值l1,l2不相等。它们对应的特征向量是a1=珑,a2珑?鼢骣2珑-3鼢桫骣k .则k= 2桫《线性代数》试卷 （A） 第 1 页 共4页
10.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)+(x2+x3)的矩阵A= 得分 二、选择题 （本大题共10小题。每小题3分，共30分.每小题中的四个选项只有一个符合要求,请把该选项的编号填入括号内）
221.设A、B、C是同阶可逆方阵，下面各等式中正确的是 （ ）
（A）ABC=CBA. （B）ABC=ABC.
TTT （C）(ABC)=ABC. （D）(ABC)T-1=A-1B-1C-1.
骣31-2÷ç÷ç÷÷042.则a21的代数余子式A21的值为 （ ） 2.设 A=çç÷ç÷ç÷ç-1-11÷桫 (A) 1. (B) -1. (C) 2.. (D) -2.
骣111÷ç÷ç*÷÷A022.A3. 已知A=ç则的伴随矩阵的行列式是 ( ) ç÷ç÷ç÷ç002÷桫 (A) 4.. (B) 8.. (C) 16. (D) 32.
4. 设A为三阶方阵，B为二阶方阵，且A=2,B=-2.则行列式BA的值应为( ) (A) -4. (B) 4. (C) -16. (D) 16. 5.已知A是一个3´4的矩阵，则下列命题正确的是( ) (A) 若A中所有三阶子式都为零，则R(A)=2. （B）若R(A)=2.则A中所有三阶子式都为零. （C）若A中所有二阶子式都不为零，则R(A)=2.
（D）若R(A)=2.则A中所有二阶子式都不为零. 6.设A是4´3的矩阵，且方程组Ax=O只有零解，则R(A)必定( ) (A)小于 4. (B) 小于3. (C)等于4. (D) 等于3.
7.已知向量组a1、a2、a3线性无关，但a1、a2、a3、a4线性相关。则下列结论正确的是( ) (A) a1一定能由a2、a3、a4线性表示。 a3、a4线性表示。. （B）a2一定能由a1、 （C）a3一定能由a1、a2、a4线性表示。 （D）a4一定能由a1、a2、a3线性表示。 8.设A是三阶方阵，其特征值分别为-2,-1,1.则 A+2E的值是 ( ) (A) -2. (B) -1. (C) 0. (D) 1.
骣22÷是正定的矩阵.则参数a必须满足 （ ） ÷÷ça-3桫 （A）a<-3. （B）a>-3. （C）a=-3. (D) a=3.
9. .设矩阵A=çç《线性代数》试卷 （A） 第 2 页 共4页
骣1-11÷ç÷çç÷10..设 A=ç-42-1÷的三个特征值分别是l1、l2、l3.则l1+l2+l3的值等于（ ） ÷ç÷ç÷ç-11-1÷桫 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
三、解答题（本大题共5小题。 每小题8分, 共40分） 得分
骣30-23÷ç÷ç÷ç÷01-10ç÷÷1.己知方阵A=ç. 求 A11-A12+2M13-2M14 的值。 ç÷ç1-221÷÷ç÷çç÷ç0010÷桫
骣-123鼢珑鼢珑珑鼢1-11鼢,B=2.设 A=珑鼢珑鼢珑鼢珑0-11鼢桫
骣2-150. 且 AX-B=X. 求未知矩阵X. 1-3桫骣12-11鼢珑鼢珑珑鼢0-45-2鼢,b=3.已知 A=珑鼢珑鼢珑鼢珑2030鼢桫骣x1÷ç÷ç÷ç÷xç2÷ç0,x=ç÷. ÷ç÷x3÷ç÷çt桫ç÷çx4÷桫骣1 （1）设 Ax=b 有解，求 t 的值。
（2）在所确定的t值下，求 Ax=b 中一个满足x3=x4=0的特解。
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骣1鼢珑鼢珑鼢珑鼢1珑鼢鼢4.设有向量组A:a1=珑,a2=珑鼢珑鼢1鼢珑鼢珑珑鼢珑1鼢桫骣21,a3=31桫骣骣1鼢0珑鼢珑鼢珑鼢22珑鼢珑鼢,a4=. 求该向量组的一个最大线性无关组。并将珑鼢珑0鼢-2鼢珑鼢珑珑鼢珑1鼢1桫桫其余向量用该最大无关组线性表示。
骣200÷ç÷çç÷5. 求矩阵 A=ç032÷ 的特征值和对应的特征向量。 ÷ç÷ç÷ç023÷桫《线性代数》 （A）
参考解答及评分标准
一. 填空题(部分正确，酌情给分)
骣çç骣骣6-358441-2ç÷÷ççç÷÷ççç÷çç÷÷12-1÷-8-4-48-251.ç. 2.. 3. . 4. ççç÷÷çç÷÷çççç÷÷çç02-4÷844÷ç桫桫ç00çç桫÷÷0÷÷÷÷0÷. ÷÷÷1÷÷÷2÷骣-1-21÷ç÷çç÷1÷5. -A即ç-20. 6. ÷ç÷ç÷ç2-1-1÷桫骣100÷ç÷çç÷010÷. 7. -A. 8. -2. ç÷ç÷ç÷ç501÷桫《线性代数》试卷 （A） 第 4 页 共4页
骣1-10÷ç÷çç÷ 9. 3. 10. ç-121÷. ÷ç÷ç÷ç011÷桫二. 选择题
1. B 2. A. 3. C. 4. C. 5. B.
6. D. 7. D 8. C. 9. A. 10. C. 三. 解答题
1. 因为 A11-A12+2M13-2M14=A11-A12+2A13+2A14……………（2分）
根据行列式的展开定理知：在A中将第一行换成 1,-1,2,2.便得：
1-1201-1A11-A12+2M13-2M14=1-220011-12 =(-1)4+320 ……………（3分） 1012010=-=1. ……………（3分） 111-21
2.解：由AX-B=X?AXX=B?(AE)X=B.
骣-2232-1鼢骣1-2150珑鼢珑鼢1-2150鼢:010-13 ………(2分) (A-E,B)=珑珑鼢珑鼢珑鼢桫珑0-101-3鼢0-2512-1桫骣10136鼢骣10136骣10015 珑 鼢 珑 鼢 鼢 010-13:010-13:010-13 :珑. ………(4分) 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢桫 珑 00121 005105鼢00121桫桫骣15÷ç÷çç÷ \\ X=ç-13÷. ……………(2分) ÷ç÷ç÷ç21÷桫骣12-111鼢骣12-111珑鼢珑鼢鼢0-45-20:0-45-20 3.解：（1） (A,b)=珑珑鼢珑鼢珑鼢桫珑2030t鼢0-45-2t-2桫《线性代数》试卷 （A） 第 5 页 共4页
骣12-111÷ç÷çç÷0÷ :ç0-45-2 ………………（2分） ÷ç÷ç÷ç0000t-2÷桫 要 Ax=b 有解，必须 R(A)=R(A,b)，所以 t=2. ……………（2分）
骣12-1ç骣12-111ç÷çç÷ç5÷ççç （2） 当t=2时.(A,b):ç0-45-20÷:01-÷çç÷4çç÷ç00000÷ç桫çç000桫骣3ç10çç2ççç501-ç :çç4ççç000çççç桫011÷÷÷1÷ 0÷÷÷2÷÷÷00÷1÷÷÷÷÷÷÷1÷. ……………（2分） 0÷÷2÷÷÷00÷÷÷÷÷骣x1÷ì3ïç÷çïx1=-x3+1çï÷x2÷çï2÷÷= 即有í. 满足x3=x4=0时，其特解为çç÷ç÷ïx3÷51çï÷x2=x3-x4çïçï÷ç42ïx4÷î桫
骣1÷ç÷çç÷0÷ç÷ç÷. ……（2分） ç÷ç÷0÷ç÷ç÷çç0桫÷骣1珑珑珑1珑4解：A=珑珑珑1珑珑珑珑1桫2131骣10鼢骣12101 鼢 鼢22鼢0-1120 鼢 鼢:: 鼢0-2鼢01-1-20鼢 鼢 鼢桫 011鼢0-101桫210010 骣1ç çç 0-1 0ç ç :çç 11 0 ç ç çç00 0桫010001÷÷÷0-1÷÷÷ ÷÷11÷÷÷00÷ ………………（4分） 因为 R(A)=3，可取 a1,a2,a3为最大线性无关组。 ………………（2分） 此时由A的行最简形知 a4=a1-a2+a3. ………………（2分）
25.解：lE-A=(l-2)(l-6l+5)=(l-2)(l-1)(l-5).
\\ A的特征值为 l1=1,l2=2,l3=5. ………………（3分） 将l的值代入方程(lE-A)x=0中，可求得特征向量x.
骣骣-100鼢骣1000÷珑çì鼢÷x=0ï珑ç1鼢ï珑ç鼢÷0-2-2鼢:011.即í对于l1=1.由(E-A)=珑可取p1=k1ç1÷ ÷珑çï鼢÷x=-x3珑çïî2鼢桫÷珑ç0-2-2鼢000-1÷桫桫《线性代数》试卷 （A） 第 6 页 共4页
ìx1任意骣骣000鼢骣0001÷ï珑çï鼢÷珑çï鼢ï珑ç÷0-1-2鼢:010.即íx2=0，可取p2=k2ç0÷对l2=2.由(2E-A)=珑. 鼢÷珑çï鼢÷珑çï鼢桫÷珑ç0-2-1鼢001x=00÷ï桫桫ïî3骣骣300鼢骣1000÷珑çì鼢÷x=0ï珑ç1鼢÷ïç鼢÷02-2:01-1p=k1对l3=5.由(5E-A)=珑.即，可取. í珑ç33鼢÷珑çï鼢÷珑çïîx2=x3鼢桫÷珑ç0-22鼢0001÷桫桫 ………………………（5分）
注：（1）三个特征向量中，作对一个得2分，作对两个得4分. （2）非零常数k1,k2,k3不写不扣分.
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（
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