2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛

一．选择题（满分36分，每小题6分）

1．函数f(x)是偶函数且f(3)2，则f(3)5f(3)2的值为（ ）

A．12 B．16 C．17 D．8

2．若图中给出的函数yxaxa的图像与x轴只有一个公共点，则a为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

3．函数f(x)log1x(16221x)的零点个数为（ ） 16A．0 B．1 C．2 D．3

4．定义在实数集R上的函数f，对于每一个xR和常数a0，都满足方程

f(xa)A．

12f(x)(f(x))2，若函数f的值域记为M，则（ ）

22M C．M D．M 3237M B．

5．P为正方形ABCD内一点，PA = 1厘米，PB = 2厘米，PC = 3厘米，则PBC的面积（单

位：平方厘米）为（ ）

A．222 B．22 C．2 D．22 226．函数f(x)是R上的奇函数，已知f(2)g(2)6g(x)是R上的周期为4的周期函数，

且

f(f(2)g(2))g(f(2)g(2))1，则g(0)的值为（ ） 2g(20f(2))2A．2 B．1 C．0 D．1

二．填空题（满分分，每小题8分） 1．求tan22.5的值.

2．设函数yf(x)定义域为R，且对任意xR都有

2f(x2x)f(x23x2)9x23x6，求f(60)的值.

3．若x表示不超过x的最大整数，求在平面直角坐标系xOy中满足xy2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.

4．如图，两同心圆的半径分别为6和10，矩形ABCD的边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形面积取最大值时，试确定它的周长.

AD

CB

5．已知f(x)1，求 21x111f(1)f(2)f(3)f(2011)f()f()f()的值.

232011

6．已知直角三角形的两条直角边的长为二次方程axbxc0的两个根，试确定这个直角三角形外接圆的面积（结果用含a,b,c和圆周率的式子表示）.

7．若二次函数f(x)ax2xa满足f(2)f(1)f(3)f(0)，试确定实数a的取值范围.

8．如图，使得BADBCD，且BDC90，已知AB5，BC6，D为ABC内点，

22M为AC中点，求DM.

AMDBC