八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
种类一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的地址即可求出球半径）
P
P
P
P
A
c
c
O2
c C
B
b
C
c
C
b
a
B
A
b B
A
b
a
B
a A
C
a
图1
图2 图3 图 4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式
(2R)2
． 24
a2 b2 c2 ，即 2R a2 b2 c2 ，求出 R
C
例 1 （1）已知各极点都在同一球面上的正四棱柱的高为
A． 16
B
． 20
C
4 ，体积为 16，则这个球的表面积是（
． 32 D
3 ，则其外接球的表面积是 h2
4 4
）
（ 2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 解：（ 1） V （ 2） 4R2
9
a2 h 16 ， a 2， 4R2 a2 a2
9
16 24 ， S 24 ，选 C；
3 3 3 9， S 4 R 2
（ 3）在正三棱锥 S 正三棱锥 S
ABC 中， M 、 N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM MN , 若侧棱 SA
2 3 , 则
ABC 外接球的表面积是
。 36
解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明以下：
如图（ 3）-1 ，取 AB , BC 的中点 D , E ，连接 AE, CD ， AE ,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角
A
形 ABC 的中心， SH 平面 ABC ， SH AB ，
S
AC BC ， AD BD ， CD
AB， AB 平面 SCD ，
AB SC ，同理： BC SA， AC
本题图如图（ 3） -2 ，
SB，即正三棱锥的对棱互垂直，
AM MN ， SB// MN ，
AM SB， AC SB ， SB 平面 SAC ，
SB SA SB SC SB SA BC SA
D
C
H
B
E
，
，
，
，
(3) 题-1
SA 平面 SBC，
故三棱锥 S
SA SC，
S
ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，
( 2
3)2 ( 2 3)2
M
(2R) 2
( 2 3)2 36 ，即 4R2
36 ，
A
C
正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是 36
N
B
(3) 题-2
1
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
（ 4）在周围体 S
ABC 中， SA
D ） A.11
平面 ABC ，
BAC 120 , SA AC
2, AB 40 3
1, 则该周围体的外接
球的表面积为（
B.7
C.
10 3
D .
（ 5）若是三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 （ 6）已知某几何体的三视图以下列图，三视图是腰长为
何体外接球的体积为 解析：（ 4）在
6 、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面积是
1
1
的等腰直角三角形和边长为
的正方形，则该几
ABC 中， BC 2 AC2 AB 2 2AB
BC cos120 7 ，
BC
7 ， ABC 的外接球直径为 2r
BC
7
2 7 ，
3
sin
BAC
3
2
(2R) 2 ( 2r ) 2
SA2 ( 2 7 )2 4 3
40 ， S 40 ，选 D
3 3
a, b, c（ a, b, c
（ 5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
R ），则
ab 12 ac 6
bc 8 ， abc 24 ， a 3 ， b 4 ， c 2 ， ( 2R) 2
a2 b2 c2
29 ， S 4 R2 29 ，
2
（ 6） (2 )
R
a 2 b
2
c 2
3 ， R
2
3 4
， R
3 2
P
A
V
4 R3 3
4 3 3 3 3 8 2
，
C
种类二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
B
1．题设：如图 5， PA 解题步骤：
平面 ABC
第一步：将 ABC 画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径
P
AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心 O ；
第二步： O1 为
O
ABC 的外心，所以 OO1 平面 ABC ，算出小圆 O1 的半
C
O1 B
径 O1D
r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
A
D
图 5
a sin A b sin B c sin C
2r ）， OO1
1
PA ； (2R)2
2
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ② R2
PA 2 (2r )2
2R
PA2 (2r )2 ；
r 2 OO12 Rr 2 OO12
2
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P
P
P
P
2．题设： 如图 6，7，8， P 的射影是 三棱锥 P
ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等
ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点 P 点也是圆锥的极点
O
C
O C
A
O C
A
O1
O C
A
B
A
D
B
O1
O1
B
O1
B
图 6
图 7-1
图 7-2
图 8
P P
P
A O2
B
C
B
A
A
C
O2
D
O2
D
O
B
O
O
图8-1
图8-2
图8-3
解题步骤：
第一步：确定球心 第二步：先算出小圆 第三步：勾股定理：
O 的地址，取
ABC 的外心 O1 ，则 P,O, O1 三点共线；
r ，再算出棱锥的高 PO1
R2
O1 的半径 AO1 OA2
h （也是圆锥的高） ；
O1 A2 O1O 2
( h R) 2 r 2 ，解出 R
方法二： 小圆直径参加构造大圆。
例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 A． 3
B．
2
C． 16( )C
D
．以上都不对
3
解：选 C， ( 3
R) 2
2
1 R2 , 3 2 3R
R2 1 R2 , 4
2 3R 0 ,
R
2
, S 4 R
16
33
3
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种类三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
P
P
P
O
O
P
O
A
C
B
A O1
C
A
O1
B
C
A
O1 B
C
B
图 9-1
图 9-2 图 9-3 图9-4
PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径）
第一步：易知球心 O 必是 PAC 的外心，即 PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径
1．题设：如图 9-1 ，平面 第二步：在
AC 2r ；
PAC 中，可依照正弦定理
a sin A
b sin B
c sin C
2R ，求出 R
2．如图 9-2 ，平面 PAC
平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径） AC 2 R2 O1O2
OC 2 O1C 2 O1O 2
R2 r 2 O1O 2
平面 ABC ，且 AB
3．如图 9-3 ，平面 PAC 心
三棱锥 P 锥的极点 解题步骤：
第一步：确定球心 第二步：先算出小圆 第三步：勾股定理：
ABC 的三条侧棱相等
BC （即 AC 为小圆的直径） ，且 P 的射影是
三棱 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，极点
ABC 的外
P 点也是圆
O 的地址，取
ABC 的外心 O1 ，则 P,O, O1 三点共线；
PO1
O1 的半径 AO1 r ，再算出棱锥的高 OA2
O1 A2 O1O 2
R2
h （也是圆锥的高） ；
( h R) 2 r 2 ，解出 R
4．如图 9-3 ，平面 PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径） ，且 PA AC ，则
PA 2
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ② R2
(2R)2
(2r )2
2R
PA2
( 2r ) 2 ；
r 2 OO12 Rr 2 OO12
例 3 （1）正四棱锥的极点都在同一球面上， 若该棱锥的高为 2 （ ）正四棱锥
1，底面边长为 2 3 ，则该球的表面积为
。
S ABCD
的底面边长和各侧棱长都为
2 ，各极点都在同一个球面上，则此球的体积为
49 ，
解：（ 1）由正弦定理或找球心都可得 （ 2）方法一：找球心的地址， 易知 r
2R
7 ， S 4 R2
1 ，h 1，h r ，故球心在正方形的中心
ABCD 处，R 1，V
4
3
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
SAC 的外接圆，此处特别，
Rt SAC 的斜边是球半径，
2R 2 ， R
1 ， V
4
3
4
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
（ 3）在三棱锥 P
ABC 中， PA PB
PC
3 , 侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60 ，则该三棱锥外
接球的体积为（ A．
）
B.
C. 4 D.
4
3
3
解：选 D，圆锥 A, B, C 在以 r
3 2
的圆上， R
1
ABC 是边长为 1的正三角形 , SC为球 O 的
（ 4）已知三棱锥
径 , 且 SC A．
S ABC 的所有极点都在球
O 的求面上 , 直
2 ，则此棱锥的体积为（
） A ．
2 6
B．
3 6
C
2 3
D．
2 2
解： OO1
R
2
r
2
1 ( )
3
3
2
6
， h 2 6 ， V
1
3
3
Sh 1 3 2 6 3 3 4 3
2
6
种类四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
A 1
C1
O 2
A 1
C1
O2
O
C1
A1
B
1
B 1 O
O2
B 1
O C
A
C
O1
A
C
O1
B
A
O1
B
B
图 10-1 图 10-2
图 10-3
题设：如图 10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心 第二步：算出小圆
O 的地址， O1 是 ABC 的外心，则 OO1
O1的半径 AO1 r ， OO1
平面 ABC ；
1 AA1
1 h （ AA1
h 也是圆柱的高） ；
2 2
第三步：勾股定理：
OA2
O1 A2 O1O 2
R2 ( )2 r 2
2
h
R
r 2 ( ) ，解出 R
2
h2例 4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上， 且该六棱柱的体积为
9
8
，底面周长为 3 ，则这个球的体积为
解：设正六边形边长为
a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的关径为 r ，则 a
1 2
，
底面积为 S 6
3 ( 1 )2 4 2
4 3
3 3 ， V柱 8
Sh
3 3 h 8
9
8
， h
3 ， R
2
( 3) 2
2
( )2 1，
2
1
R 1，球的体积为 V
5
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
（ 2）直三棱柱 ABC
A1B1C1 的各极点都在同一球面上，若
。
AB AC AA1 2 ,
BAC 120 ，则此
球的表面积等于
解： BC 2 3 ， 2r
2 3 sin 120
4 ， r 2 ， R
5 ， S 20
E
（ 3）已知
EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，
EA EB 3, AD 2,
球的表面积为
AEB 60 ，则多面体 E
ABCD 的外接
A
D
O1
O
。 16
M
O2
解析：折叠型，法一：
EAB 的外接圆半径为
r1
3 ， OO1 1，
B
C
R
1
3 2 ；法二： O1M
3 ， r2 O2 D
2
13 ， R2 3 13 4 ， R 2 ， S
4 4 2
, AA1 4 则直三棱柱 ABC
3
16
（ 4）在直三棱柱 ABC
A1B1C1 中， AB
4, AC 6, A
A1B1C1 的外接球
的表面积为
。 160
3 2 4 6
解析： BC
2
16 36
1 2
1
28 ， BC
2 7 ， 2r
2
R2 r 2
( AA
2 7 4 7 ， r
3 3 2
2 7 ，
3
)2
28 3
4 40 ， S
3
160 3
种类五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 ( 如图 11)
A'
A
H 2
D
O
E B
H 1
C
图 11
第一步：先画出以下列图的图形，将
BCD 画在小圆上，找出
BCD 和 A BD 的外心 H 1 和 H 2 ；
O ，连接 OE,OC ；
第二步：过 H 1 和 H 2 分别作平面 BCD 和平面 A BD 的垂线，两垂线的交点即为球心 第三步：解
OEH 1 ，算出 OH 1 ，在 Rt OCH 1 中，勾股定理： OH 12 CH 12 OC 2
平面 ABC ，△ PAC 和 △ ABC 均为边长为 2 的正三角形，则三棱
.
例 5 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC
锥 P
ABC 外接球的半径为
6
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
解析： 2r1
2
2r2
2
4 3
， r1
r2
2 3
， O2H
1
，
P
sin 60
2 r1
3
R
O2 H
2
1 4
5 3
3 3
1 ， O1 H
， R
15 3
；
法二： O2 H
1
，
O2 A
O
O1
3
3
AH 1
H
B
R2 AO2
AH 2 O1H 2 O1O2
5
3
C
， R
15 3
种类六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即周围体） 中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 （ AB 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步： 设出长方体的长宽高分别为
CD ， AD BC ，AC BD ）
a,b, c ， AD BC
2
2
2
x ， AB CD
，
y ， AC BD
A
x
z ，列方程组，
a 2 b 2 b 2 c 2
x2 y 2
(2R) 2 a 2
b 2 c 2
x
y
z
c
2
a
2
z
2
2
D
y
z
x
B
a
z
y
c C
补充： VA BCD
abc 1 abc 4 1 abc
6 3
b
第三步：依照墙角模型，
2R
a2
b2 c2
x 2 y 2
2
z2 ，
图12
R2
x2
y 2 z2 ， R
8
x2
y2 z2 ，求出 R ，
8
比方，正周围体的外接球半径可用此法。
例 6（ 1）棱长为 2 的正周围体的四个极点都在同一个球面上，若过该球球心的一
个截面如图，则图中三角形 ( 正周围体的截面 ) 的面积是
.
（ 2）一个正三棱锥的四个极点都在半径为
1 的球面上，其中底面的三个极点
(1) 题
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（
A． ）
3 34
B
．
3 3
C
． 3
D
． 3P
O2
C
4
12
P
O
解：（ 1）截面为 （ 2）高 h 设底面边长为
PCO1 ，面积是 2 ；
B
A
O1
B
R 1，底面外接圆的半径为
a ，则 2R
R
1，直径为 2R
3 ， S
2 ，
a
sin 60
3 4
2 ， a
3 a2 4
3 3 ， 4
(1)题解答图
三棱锥的体积为 V
1 3
Sh
7
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
（ 3）在三棱锥 面积为
A BCD 中， AB
。 29
CD
2, AD
BC 3, AC
BD
4, 则三棱锥 A BCD 外接球的表
2
解析：如图 12，设补形为长方体， 三个长度为三对面的对角线长，
设长宽高分别为 a, b, c ，则 a2 b2
9 ，
b2 a2
c2 4 ， c2 a 2 16 b2 c2
2( a2 b2 c2 ) 9 4 16 29 ， 2( a2 29 ， S 2
b2
c2 ) 9 4 16 29 ，
29 ， 4R2 2
（ 4）以下列图三棱锥 A 表面积为
29
2
BCD ，其中 AB
CD 5, AC BD 6, AD BC 7, 则该三棱锥外接球的
.
解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
a,b,c ，
2(a2 b2 c2 )
【 55
25 36 49
110 ， a2
b2 c2 55 ， 4R2 55 ， S
55
；对称几何体；放到长方体中】
（ 5）正周围体的各条棱长都为
2 ，则该正面体外接球的体积为
解析：这是特别情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，
2R
3 ，
R
3 2
， V
4 3
3 3
3 2
，
8
种类七、两直角三角形拼接在一起 ( 斜边相同 , 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥
P
) 模型
B
C
O
A
图 13
题设：
APB ACB 90 ，求三棱锥 P ABC 外接球半径（解析：取公共的斜边的中点 O ，连接
OP,OC ，则 OA
OB OC OP
1
2
AB ， O 为三棱锥 P ABC 外接球球心，尔后在 OCP 中求出
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小没关，只要不是平角球半径都为定值。
例 7（ 1）在矩形 ABCD 中， AB 4， BC
则周围体 ABCD 的外接球的体积为（
3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D ，
） ． 125
A． 125
12
解：（ 1） 2R
B
． 125
C
D
． 125
9 6 3
5 ， V 4 R3 4 125 125 ，选 C 2 3 3 8 6
（ 2）在矩形 ABCD 中， AB 2 ， BC 3，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A BCD
AC 5 ， R
的外接球的表面积为
．
解析：（ 2） BD 的中点是球心 O ， 2R
BD
13 ， S 4 R2
8
13 ；
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
种类八、锥体的内切球问题
P
1．题设：如图 14，三棱锥 P
ABC 上正三棱锥，求其外接球的半径。
E, H 分别是两个三角形的外心；
第一步：先现出内切球的截面图，
第二步：求 DH
1
3
E
O
A
BD ， PO PH
r ， PD 是侧面 ABP 的高；
C
D
B
图14
第三步：由
POE 相似于 PDH ，建立等式：
OE
DH
POPD
H
，解出 r
2．题设：如图 15，四棱锥 P ABC 上正四棱锥，求其外接球的半径
P, O, H 三点共线；
P
第一步：先现出内切球的截面图， 第二步：求 FH
1
BC ， PO PH
r ， PF 是侧面 PCD 的高；
2
G
O
A E
H
F
D
第三步：由
POG 相似于 PFH ，建立等式：
OG
HF
PO
PF
，解出
3．题设：三棱锥
P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径
B
C
图 15
方法：等体积法， 即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为
V
P ABC
1 S ABC r
1r ，建立等式： VP
VABC
SPAB r
1
3 3
SPAC r 3
ABC
1 SPBC r
3
VO ABCO
13
V
PAB
(S ABC
S
O PAC
V
PAB
SO PBC
PAC
S PBC
)
r
第三步：解出 r
3VP SO
PAB
PAC
SO
ABC
SO SO PBC
习题：
1．若三棱锥
S ABC
的三条侧棱两两垂直， 且
SA 2 SB SC
，
4
，则该三棱锥的外接球半径为 （
）
A. 3 B.
解：【 A】 (2 ) 2
6
C.
36
D. 9
， R 3 R
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】 2． 三棱锥 S
4 16 16 6
【共两种】
ABC 中，侧棱 SA 平面 ABC ，底面 ABC 是边长为
.
3 的正三角形， SA
2 3 ，则该三
棱锥的外接球体积等于
32 3 4 12
解析： 2r
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
3 sin 60
2 ， (2R)2
16 ， R2
4 ， R 2 ，外接球体积
4 3
8
32 3
3．正三棱锥 S 于. 解析：
ABC 中，底面 ABC 是边长为
3 的正三角形，侧棱长为 2 ，则该三棱锥的外接球体积等
ABC 外接圆的半径为
，三棱锥 S ABC 的直径为 2R
2 4
，外接球半径 R
2 3
，
sin 60 3
9
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(完满word版)高中数学的八个幽默模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
或 R2
(R
3)2
1， R
2 ，外接球体积 V 4 R3
3 3
4．三棱锥 P ABC 中，平面 PAC
.
8 32 3 ， 3 3 27
平面 ABC ，△ PAC 边长为 2 的正三角形， AB
2 sin 60
4
4 3
BC ，则三棱锥
P ABC 外接球的半径为
解析：
PAC 的外接圆是大圆， 2R
， R
2
，
3
3
5． 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC
平面 ABC ， AC .
2 ， PA PC
3 ， AB
BC ，则三棱锥
P ABC 外接球的半径为
解析： cos P
PA2 PC 2 AC 2 9 9 4
7 ， sin 2 P
1 ( 7 )2
16 2 ， sin P
4 2 ，
92PA PC 2 2 3 3 9 2R2
9 9 2
， R
4 2 2 2 4 8 9 6． 三棱锥 P ABC 中，平面 PAC 平面 ABC ， AC 2 ，外接球的半径为
.
解： AC 是公共的斜边， AC 的中点是球心 O ，球半径为 R10
10 / 10
9
PC ， 1
81
BC ，则三棱锥
9
ABC
PA
AB P
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