【考研数学三】历年考研真题完整版【2008-2018】

2008年考研数学（三）真题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数f(x)在区间[1,1]上连续，则x0是函数g(x)

A跳跃间断点.C无穷间断点.B可去间断点.D振荡间断点.x

0f(t)dtx的（）（2）曲线段方程为yf(x)，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分

a

0

aft(x)dx等于（）A曲边梯形ABCD面积.C曲边三角形ACD面积.（3）已知f(x,y)ex2y4B梯形ABCD面积.D三角形ACD面积.，则（B）fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在（D）fx(0,0)，fy(0,0)都不存在（A）fx(0,0)，fy(0,0)都存在（C）fx(0,0)不存在，fy(0,0)不存在（4）设函数f连续，若f(u,v)（A）vf(u)

2

Duv



f(x2y2)xy22dxdy，其中Duv为图中阴影部分，则（D）F

（u）（B）v

f(u2)u（C）vf(u)

3

v

f(u)u）（5）设A为阶非0矩阵E为阶单位矩阵若A0，则（AEA不可逆，EA不可逆.CEA可逆，EA可逆.（6）设A

BEA不可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.）12

则在实数域上域与A合同矩阵为（2121

.12

A

B

21

.12

21

C.1212

D.21

）（7）随机变量X,Y同分布且X分布函数为Fx，则ZmaxX,Y分布函数为（-1-学府考研

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B2

ACF2x.11Fx.FxFy.1Fx1Fy.

）D（8）随机变量X~N0,1，Y~N1,4且相关系数XY1，则（APY2X11.BPY2X11.DPY2X11.CPY2X11.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.x21,xc



在(,)内连续，则c（9）设函数f(x)2

,xcx

21xx3

，则（10）设f(x)

2x1x42

2

2.f(x)dx______.2

(xy)dxdy.D

（11）设D{(x,y)xy1}，则（12）微分方程xyy0满足条件y(1)1的解y.（13）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则4AE_____.（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PXEX

1

2

.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限lim

x0

1sinxln.2xx

(16)（本题满分10分）22

设zz(x,y)是由方程xyzxyz所确定的函数，其中具有2阶导数且1时.（1）求dz（2）记ux,y

1zzu

，求.

xyxyx(17)（本题满分11分）计算max(xy,1)dxdy,其中D{(x,y)0x2,0y2}.D

(18)（本题满分10分）设fx是周期为2的连续函数，-2-学府考研

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t2

2

（1）证明对任意实数t，有（2）证明Gx



t

fxdxfxdx；0



x

0

2ftt2fsdsdt是周期为2的周期函数．t

(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？(20)（本题满分12分）2a1

2

2aa，现矩阵A满足方程AXB，其中Xx,,xT，设矩阵An1

12

a2annB1,0,,0，（1）求证An1a;n

（2）a为何值，方程组有唯一解;（3）a为何值，方程组有无穷多解.（21）（本题满分10分）设A为3阶矩阵，a1,a2为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量a3满足Aa3a2a3，证明（1）a1,a2,a3线性无关；（2）令Pa1,a2,a3，求PAP.1

（22）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互，X的概率分布为PXi

1

i1,0,1，Y的概率密度为310y1

，记ZXYfYy

0其它

（1）求PZ





1

X0；2

（2）求Z的概率密度．（23）（本题满分11分）1n1n2

(XiX)2，X1,X2,,Xn是总体为N(,)的简单随机样本.记XXi，Sni1n1i1

2

1

TXS2.n2（1）证T是的无偏估计量.-3-2

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-4-（2）当0,1时，求DT.学府考研

2008年考研数学（三）真题解析

一、选择题(1)【答案】B【详解】x

limg(x)lim

x0

x0

0f(t)dtxlimfxf0，x0

所以x0是函数g(x)的可去间断点．(2)【答案】C【详解】

a

0

a

f(x)dxaf(a)f(x)dxxf(x)dxxdf(x)xf(x)0

0

0

0

aaa

其中af(a)是矩形ABOC面积，积．(3)【答案】B



a

0

f(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以xf(x)dx为曲边三角形的面0

a

f(x,0)f(0,0)e(0,0)limlimf【详解】x

x0x0x0

x

x

x2041

x

e1

limx0x

x

e1ex1e1ex1

limlim1，limlim1

000x0xxxxxxx故fx(0,0)不存在．f(0,y)f(0,0)elimfy(0,0)lim

y0y0y0

所以fy(0,0)存在．故选B.(4)【答案】A【详解】用极坐标得02y41

ye1y2

limlim0

yy00yyy2Fu,v

D

fu2v2vu

dudvdv2201

uvf(r2)rrdrvf(r2)dr

1

u

所以F

vfu2.u

(5)【答案】C

2

3

2

3

【详解】(EA)(EAA)EAE，(EA)(EAA)EAE.故EA,EA均可逆．(6)【答案】D

12122

4，ED1【详解】记D，则

1221

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又EA

1221

12

4，

所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.

又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A

【详解】FZzPZzPmaxX,YzPXzPYzFZzFZzFZ2z.(8)【答案】D

【详解】用排除法.设YaXb，由XY1，知道X,Y正相关，得a0，排除A、C由X~N(0,1),Y~N(1,4)，得EX0,EY1,所以E(Y)E(aXb)aEXba0b1,所以b1.排除B.故选择D.二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知c|x|0，所以f(x)2x,

xcx2

1,cxc



2x,xc

因为limfxlim(x2

1)c2xc

1，limfxlim2

xc

xc

xc

x2

c又因为f(x)在(,)内连续，f(x)必在xc处连续所以limfx，即c212

xc

limxc



fxf(c)c

c1.(10)【答案】1

2

ln31【详解】fx1x1xx1xx

，令t1x，得fttx2x21

2xt22xx

2所以

2222

fxdx

22x22

x22

dx12lnx2

22

12ln6ln21

2

ln3.(11)【答案】4【详解】(x2y)dxdy利用函数奇偶性x2

dxdy1D

D

2x2y2

dxdyD



12212

0d0rrdr4.学府考研

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1x(12)【答案】y【详解】由dyy11

，两端积分得lnylnxC1，所以xC，又y(1)1，所以y.xdxxy

(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2，所以A的特征值为1,12,12，所以4AE的特征值为4113，41211，41211所以4B

11

1

E3113.11

e2

2

2

2

2

(14)【答案】【详解】由DXEX(EX)，得EXDX(EX)，又因为X服从参数为1的泊松分布，所以12111

DXEX1，所以EX112，所以PX2ee.22！

2

三、解答题(15)【详解】方法一：lim

x0

1sinx1sinxlnlimln11220xxxxx

sinxxcosx1sinx1

limlim

x06xx0x0x363x21sinxxcosxsinxxcosxsinx

洛必达法则limlim方法二：lim2ln

x0x0x0xx2x32x2sinxxsinx1

洛必达法则lim

x06x26lim

(16)【详解】(I)2xdx2ydydzxyzdxdydz1dz2xdx2ydy2xdx2ydydz

1

1(II)由上一问可知z2xz2y

，,

1y1x所以ux,y

1zz12x2y12y2x2

()()xyxyxy1xy111

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2xz2(1)2(1)2(12x)2(12x)u1x.2233x1111所以(17)【详解】曲线xy1将区域分成两个区域D1和D2D3，为了便于计算继续对区域分割，最后为maxxy,1dxdy

D

D1D3

xydxdydxdydxdy

D1

D2

dx1dy1dx1dy1dx1xydy

0

22x120

22

1x0

22

D3D212ln219

ln2415

ln24

O0.52x(18)【详解】方法一：(I)由积分的性质知对任意的实数t，

t2

t

fxdxfxdxfxdx

t

0

02t22

fxdx

t

0

0

t

令x2u，则所以

t2

2

fxdxf2udufudufxdx

0

0

2

0

2

t

0

t

0

t



t2

t

fxdxfxdxfxdxfxdxfxdx

(II)由(1)知，对任意的t有x



t2

2

fxdxfxdx，记afxdx，则0

0

22

G(x)2fuduax.所以，对任意的x，0

G(x2)G(x)22

x2x

x2

0

fudua(x2)2fuduax

0

20

x

fudu2a2fudu2a0

所以Gx是周期为2的周期函数.(I)设F(t)方法二：而F(0)



2

t2

t

由于F(t)f(t2)f(t)0，所以F(t)为常数，从而有F(t)F(0).f(x)dx，2

t2



0

f(x)dx，所以F(t)f(x)dx，即

0

t

f(x)dxf(x)dx.020

2

(II)由(I)知，对任意的t有

t2

2

fxdxfxdx，记afxdx，则0

2

-4-学府考研

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G(x)2x

0fuduax，G(x2)2

x2

0

fudua(x2)

由于对任意x，G(x2)2f(x2)a2f(x)a，G(x)2f(x)a所以G(x2)G(x)0，从而G(x2)G(x)是常数即有G(x2)G(x)G(2)G(0)0

所以Gx是周期为2的周期函数.(19)【详解】方法一：设An为用于第n年提取(109n)万元的贴现值，则An(1r)n(109n)

A



故A109nnn1n1(1r)n101n1(1r)n9n2009n1(1r)n

n

n1(1r)n(x)

设Snxnx(1,1)

n1

因为S(x)

x(xn)x(

x1x)x

(1x)

2x(1,1)n1

所以S(11

1r)S(1.05

)420(万元)故A20094203980(万元)，即至少应存入3980万元.方法二：设第t年取款后的余款是yt，由题意知yt满足方程yt(10.05)yt1(109t)，即yt1.05yt1(109t)

(1)(1)对应的齐次方程yt1.05yt10的通解为ytC(1.05)t

设(1)的通解为yt*

atb，代入(1)解得a180，b3980

所以(1)的通解为ytC(1.05)t180t3980

由y0A，yt0得AC3980

C0

故A至少为3980万元．(20)【详解】(I)证法一：学府考研

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2a

12a1a2

2a10

3a

1A

a2

2a

r1222ar1

a2

2a





1

a

2

2a



1a22a

2a10

3a21rn10

4a

nnarn1

3

2a

3a

24a3(n1)an(n1)an

10

(n1)an证法二：记Dn|A|，下面用数学归纳法证明Dn(n1)an

．当n1时，D12a，结论成立．当n2时，D2a12

a2

2a

3a2，结论成立．假设结论对小于n的情况成立．将Dn按第1行展开得a210

2a1D2a

1n2aDa2

n1





1a2

2a

2aDn1a2Dn22anan1a2(n1)an2(n1)an

故|A|(n1)an

证法三：记Dn|A|，将其按第一列展开得Dn2aDn1a2Dn2，所以DnaDn1aDn1a2Dn2a(Dn1aDn2)a2(Dn2aDn3)an2(D2aD1)an

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即DnanaDn1ana(an1aDn2)2ana2Dn2(n2)anan2D2(n1)anan1D1(n1)anan12a(n1)an

(II)因为方程组有唯一解，所以由AxB知A0，又A(n1)a，故a0．由克莱姆法则，将Dn的第1列换成b，得行列式为n

11

12a



a2

12ann



a2

2a1

12a



a2

12a

(n1)(n1)

02aa22a

a2

Dn1nan1

所以x1

Dn1n



(n1)aDn

(III)方程组有无穷多解，由A0，有a0，则方程组为01x11

x

0120



x01n10

0xn0

此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为k10000100,k为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设1,2,3线性相关．因为1,2分别属于不同特征值的特征向量，故1,2线性无关，则3

可由1,2线性表出，不妨设3l11l22，其中l1,l2不全为零(若l1,l2同时为0，则3为0，由A323可知20，而特征向量都是非0向量，矛盾)T

T

A11,A22

A3232l11l22，又A3A(l11l22)l11l22l11l222l11l22，整理得：2l1120

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则1,2线性相关，矛盾.所以，1,2,3线性无关.证法二：设存在数k1,k2,k3，使得k11k22k330

用A左乘(1)的两边并由A11,A22得(1)k11(k2k3)2k330

(1)—(2)得(2)(3)2k11k320

因为1,2是A的属于不同特征值的特征向量，所以1,2线性无关，从而k1k30，代入(1)得k220，又由于20，所以k20，故1,2,3线性无关.(II)记P(1,2,3)，则P可逆，APA(1,2,3)(A1,A2,A3)(1,2,23)

100100



(1,2,3)011P011

001

001

所以100



P1AP011.001

1

P(X0,Y)1

11112P(ZX0)P(XYX0)P(Y)21dy

02222P(X0)FZ(z)P{Zz}P{XYz}

P{XYz,X1}P{XYz,X0}P{XYz,X1}P{Yz1,X1}P{Yz,X0}P{Yz1,X1}P{Yz1}P{X1}P{Yz}P{X0}P{Yz1}P{X1}1

P{Yz1}P{Yz}P{Yz1}31

FY(z1)FY(z)FY(z1)3

(22)【详解】(I)(II)-8-学府考研

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1

所以f13f,1z2

Z(z)Y(z1)fY(z)fY(z1)30,其它

(23)【详解】(I)因为XN(,2

)，所以XN(,2n)，从而EX,DX

2

n．因为E(T)E(X2

1221

nS)EXE(S2)

DX(EX)21nE(S2)1n1

n22n

22

所以，T是2

的无偏估计(II)方法一：D(T)ET2

(ET)2

，E(T)0，E(S2

)2

1

D(T)ET2

E(X4

222S4

所以nXSn

2)E(X4

)

2n

E(X2)E(S2)1

n2E(S4)

因为XN(0,1)，所以XN(0,1

n)，有EX0,DX1221

n，EXDXEX

n所以E(X4

)D(X2)E2(X22

)D1nnXD(X)E2

(X)2

2

1

n2DnX2

D(X)2

113

n22nn2ES4ES22



DS2(ES2)2DS21

因为W

(n1)S2

2(n1)S2

2(n1)，所以DW2(n1)，又因为DW(n1)2

DS2

，所以DS2



2n1(n1)

,所以ES4

2(n1)1

n1所以ET2

3211n12

n2nn1n2n1n(n1).方法二：当0,1时学府考研

-9-学府考研

(注意X和S2

)nX2



11

n2(n1)2D(n1)S2学府考研

-10-1

D(T)D(X2S2)

n11

DX2DS22D

nn2

学府考研

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.xx3

的可去间断点的个数为（1）函数f(x)

sinx(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.2

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则11

（B）a1，b..6611

(C)a1，b.（D）a1，b.66

xsint

dtlnx成立的x的范围是（3）使不等式1t(A)a1，b(A)(0,1).(B)(1,

).2

(C)(

,).2

(D)(,).（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为f(x)

1-2O-1x

123x

则函数Fx

ftdt的图形为0

f(x)

1-2(A)-1O123f(x)

1x

(B)-2-1O123x

-1-学府考研

学府考研

f(x)

1-1(C)

*

f(x)

1O123x

(D)-2-1O123x

（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3，则分块矩OA阵的伴随矩阵为BOO(A)*

2AO(C)*

B2

3B*

.O3A*

.O

O(B)*

3AO(D)*

3B

2B*

.O2A*

.O

100TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010，002

若P(1,2,3),Q(12,2,3)，则QAQ为T

210

(A)110.002200(C)010.002

(A)P(AB)0.(C)P(A)1P(B).110

(B)120.002100(D)020.002

(B)P(AB)P(A)P(B).(D)P(AB)1.（7）设事件A与事件B互不相容，则（8）设随机变量X与Y相互，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y0}P{Y1}

1，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)2

-2-学府考研

学府考研

的间断点个数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）limeecosx1x12x03

z

x(1,0)

.（10）设z(xe)，则yx

.en(1)nn

（11）幂级数x的收敛半径为2nn1



.（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元..300

TTT

（13）设(1,1,1),(1,0,k)，若矩阵相似于000，则k

000

2

(14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET

2

.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数f(x,y)x

2

2yylny的极值.2

（本题满分10分）（16）计算不定积分ln(1



1x)dx(x0).x（本题满分10分）（17）计算二重积分22

，其中2,yx}.Dxyxy{(,)(1)(1)()xydxdyD

（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,

b上连续，在a,b上可导，则a,b，得证f(b)f(a)f'()ba.（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,,(0)内可导，且limf(x)A，

'

x0

则f(0)存在，且f(0)A.''

-3-学府考研

学府考研

（本题满分10分）（19）设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11分）1111

,11.设A=111

0422



（Ⅰ）求满足A21，A31的所有向量2，3.2

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关.（21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax2(a1)x32x1x32x2x3.（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1y1，求a的值.（22）（本题满分11分）2

2

2

2

2

ex

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)；（Ⅱ）求条件概率PX1Y1.（本题满分11分）（23）0yx其他

袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.（Ⅰ）求PX1Z0；（Ⅱ）求二维随机变量(X,Y)的概率分布.-4-学府考研

学府考研

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.xx3

（1）函数f(x)的可去间断点的个数为sinx(A)1.【答案】C.【解析】(B)2.(C)3.(D)无穷多个.xx3

fx

sinx则当x取任何整数时，fx均无意义故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xx0的解3

x1,2,30,1

xx313x21limlim

x0cosxx0sinxxx313x22

limlim

x1cosxx1sinxxx313x22

limlim

x1cosxx1sinx故可去间断点为3个，即0,1

（2）当x0时，f(x)xsinax与g(x)xln(1bx)是等价无穷小，则(A)a1，b

2

1

.61

(C)a1，b.6

2

（B）a1，b

1.61

（D）a1，b.6

【答案】A.【解析】f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)为等价无穷小，则f(x)xsinaxxsinaxa2sinax1acosax

lim2lim2洛lim洛limlim2x0x0x0x(bx)x0xln(1bx)x0g(x)3bx6bx-1-学府考研

学府考研

a2sinaxa3

lim1x06b6bax

a另外lim

a36b

故排除(B)、(C).1acosax

存在，蕴含了1acosax0x0故a1.排除(D).2x03bx

sint

dtlnx成立的x的范围是t(B)(1,

所以本题选(A).x

（3）使不等式(A)(0,1).

1

).2(C)(

,).2(D)(,).【答案】A.【解析】原问题可转化为求x1xsint11sintxsint1sint

f(x)dtlnxdtdtdtdt0成立时x的111tx1tttt

1sint

0，t0,1时，知当x0,1时，f(x)0.故应选(A).取值范围，由tx

（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为f(x)

1-2O-1x

123x

则函数Fx

ftdt的图形为0

f(x)

1-2(A)-1O123f(x)

1x

(B)-2-1O123x

-2-学府考研

学府考研

f(x)

1-1(C)【答案】D.O123f(x)

1x

(D)-2-1O123x

【解析】此题为定积分的应用知识考核，由yf(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、xx0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征：①x0,1时，F(x)0，且单调递减.②x1,2时，F(x)单调递增.③x2,3时，F(x)为常函数.④x1,0时，F(x)0为线性函数，单调递增.⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若|A|2,|B|3，则分块矩

*

阵

OA

的伴随矩阵为BO

3B*

.O3A*

.O

O(B)*

3AO(D)*

3B

2B*

.O2A*

.O

1

CCO(A)*

2AO(C)*

2B

【答案】B.【解析】根据CCCE，若CCC,C





11



分块矩阵

OAOA22

（1）AB236，即分块矩阵可逆的行列式

BOBO

-3-学府考研

学府考研

1BBO



OAOAOOA

61

BOBOBOA

1

B

3O



3AO



1

O1

B6

1O

AA



O61A2

故答案为(B).2B

O

100TT

（6）设A,P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP010，002

若P(1,2,3),Q(12,2,3)，则QAQ为T

210

(A)110.002200(C)010.002

【答案】A.110

(B)120.002100(D)020.002

100

【解析】Q(12,2,3)(1,2,3)110(1,2,3)E12(1)，即：001

QPE12(1)

T

(1)[PTAP]E12(1)QTAQ[PE12(1)]TA[PE12(1)]E12

10

01E21(1)001101

0010

0010

(A)P(AB)0.0

E(1)0122

00100210

1101101000100202

(B)P(AB)P(A)P(B).(D)P(AB)1.-4-（7）设事件A与事件B互不相容，则(C)P(A)1P(B).学府考研

学府考研

【答案】D.【解析】因为A,B互不相容，所以P(AB)0

(A)P(AB)P(AB)1P(AB)，因为P(AB)不一定等于1，所以(A)不正确.(B)当P(A),P(B)不为0时，(B)不成立，故排除.(C)只有当A,B互为对立事件的时候才成立，故排除.(D)P(AB)P(AB)1P(AB)1，故(D)正确.（8）设随机变量X与Y相互，且X服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为P{Y0}P{Y1}

的间断点个数为（(A)0.(B)1.【答案】B.1，记Fz(Z)为随机变量ZXY的分布函数，则函数Fz(Z)2

(D)3.）(C)2.【解析】FZ(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1)

1

[P(XYzY0)P(XYzY1)]21

[P(X0zY0)P(XzY1)]2

X,Y1

FZ(z)[P(x0z)P(xz)]

21

（1）若z0，则FZ(z)(z)

21

（2）当z0，则FZ(z)(1(z))

2

z0为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）limeecosx1x12x03.【答案】3e.2

-5-学府考研

学府考研

1ex2

)eee(1e3e(1cosx)

【解析】limlimlim2e.lim

x03x012x01221x21x031x21xx

33

cosx

cosx1

（10）设z(xe)，则【答案】2ln21.【解析】由zxe

yx

z

x(1,0)

.yx

，故zx,0x1x

dzx'xln(1x)'xln(1x)

x1eedx

代入x1得，x

xln(1)1x

z

x1,01

eln2ln22ln21.2

en(1)nn

（11）幂级数x的收敛半径为2nn1



.【答案】1

.een1n2n

【解析】由题意知，an

0

1n1e12nee(n)2nn1en11



e

n1

n1

an1e12ann1n1



n2en11

en所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为QQ(P),其对应价格P的弹性p0.2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加【答案】8000.【解析】所求即为QPQPQ因为p

元.QP

0.2，所以QP0.2QQ-6-学府考研

学府考研

所以QP0.2QQ0.8Q将Q10000代入有QP8000.300TTT

（13）设(1,1,1),(1,0,k)，若矩阵相似于000，则k

000

【答案】2..300

TT

【解析】相似于000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为000

3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，1k300，k2.T

T

(14)设X1，X2,…,Xn为来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量TXS，则ET【答案】np

2

2

2

.【解析】由ETE(XS)EXESnpnp(1p)np.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（本题满分9分）（15）求二元函数f(x,y)x

2

222

2yylny的极值.22

2

【解析】fx(x,y)2x(2y)0，fy(x,y)2xylny10，故x0,y

1

.e2(2y2),fyy2x2fxx则fxx

2(2

1

)，fxy

e21

4xy.,fxyy1(0,)e1(0,)e0，fyy

1(0,)ee.0而(fxy)2fxxfyy0fxx

11二元函数存在极小值f(0,).ee-7-学府考研

学府考研

（本题满分10分）（16）计算不定积分ln(1



1x)dx(x0).x【解析】令2tdt11xt得x2,dx2t1(t1)2x11x)dxln(1t)d2xt1ln(1t)11

dt22t1t1t1ln(1

而111112

(dtt21t14t1t1(t1)2)dt

111

Cln(t1)ln(t1)2t144

所以ln(1

xln(1

1xln(1t)1t11

)dx2lnCxt14t12(t1)1x11x)ln(1xx)C.221xxx（17）（本题满分10分）计算二重积分22，其中2,yx}.Dxyxy{(,)(1)(1)()xydxdyD

2

2

【解析】由(x1)(y1)2得r2(sincos)，(xy)dxdy

D

342(sincos)d(rcosrsin)rdr

04

34132(sincos)r(cossin)d

03

4348

(cossin)(sincos)(sincos)2d34

-8-学府考研

学府考研

348

(cossin)(sincos)3d34

38184(sincos)3d(sincos)(sincos)4334

4

（18）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a,

3

448.3

b上连续，在a,b上可导，则a,b，得证f(b)f(a)f'()ba.（Ⅱ）证明：若函数f(x)在x0处连续，在0,,(0)内可导，且limf(x)A，

'

x0

则f(0)存在，且f(0)A.【解析】（Ⅰ）作辅助函数(x)f(x)f(a)

''

f(b)f(a)

(xa)，易验证(x)满足：ba(a)(b)；(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且'(x)f'(x)

f(b)f(a)

.ba

'

根据罗尔定理，可得在a,b内至少有一点，使()0，即f'()

f(b)f(a)

0,f(b)f(a)f'()(ba)

ba（Ⅱ）任取x0(0,)，则函数f(x)满足：在闭区间0,x0上连续，开区间0,x0内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在x00,x00,，使得f'x0

又由于limf

x0

'

'

f(x0)f(0)

……*x00xA，对上式（*式）两边取x00时的极限可得：f(x0)f0x00

'

f0lim

x00

'

limf'(x0)limf'(x0)A

x00

x00

故f(0)存在，且f(0)A.-9-学府考研

学府考研

（19）（本题满分10分）设曲线yf(x)，其中f(x)是可导函数，且f(x)0.已知曲线yf(x)与直线y0,x1及xt(t1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为V

t22

fdx1(x)1f(x)dxt

dx，则由题可知曲边梯形的面积为：s

1f

t

(x)

tttt

Vtsf(x)2dxtf(x)dxf(x)2dxtf(x)dx

1111

两边对t求导可得f(t)

'2

t2

fdxtfftf(t)(t)(t)1(x)1f(x)dxt

'

继续求导可得2f(t)f(t)f(t)tf(t)f(t)，化简可得1

dt12

t1，解之得tcy2y(2f(t)t)f(t)2f(t)

dy2y3'

1

2在式中令t1，则f(1)f(1)0,f(t)0,f(1)1，代入tcy

2





2

y得31112y).c,t(33y所以该曲线方程为：2y

1y3x0.（20）（本题满分11分）1111

,11.设A=111

0422



（Ⅰ）求满足A21，A31的所有向量2，3.2

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关.【解析】（Ⅰ）解方程A21

-10-学府考研

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111111111111



111100000211A,1042202110000r(A)2故有一个自由变量，令x32，由Ax0解得，x21,x11

求特解，令x1x20，得x31

10

故2k110，其中k1为任意常数21

解方程A31

2

220A2220

440

1

110

22012

2

,22010000A1



44020000



故有两个自由变量，令x21,x30，由Ax0得x11

令x20,x31，由Ax0得x10

22

1

2

求得特解20

0

1



102



故3k21k300

010



（Ⅱ）证明：由于，其中k2,k3为任意常数-11-学府考研

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11

k1k1

k2

22k11

111

k22k1k2(2k11)(k2)2k1(k2)k2(2k11)0

2220

12

故1,2,3线性无关.（21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)ax1ax2(a1)x32x1x32x2x3.（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1y1，求a的值.2

2

2

2

2

【解析】（Ⅰ）1a0



1A0a

11a1



1a0

a10a

(a)a1|EA|0

a1111

1a11(a)[(a)(a1)1][0(a)](a)[(a)(a1)2](a)[22aa2a2]19

(a){[a(12a)]2}24(a)(a2)(a1)1a,2a2,3a1.（Ⅱ）若规范形为y1y2，说明有两个特征值为正，一个为0.则1)2)3)若1a0，则220，31，不符题意若20，即a2，则120，330，符合若30，即a1，则110，230，不符题意2

2

综上所述，故a2

（22）（本题满分11分）-12-学府考研

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ex

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0

（Ⅰ）求条件概率密度fYX(yx)（Ⅱ）求条件概率PX1Y1【解析】0yx其他

ex0yx（Ⅰ）由f(x,y)得其边缘密度函数其它0

fx(x)exdyxexx0

0x

故fy|x(y|x)

f(x,y)1

0yxfx(x)x

即1

yx

fy|x(y|x)x0其它

P[X1,Y1]

P[Y1]

1

x

1

0

0

0

（Ⅱ）P[X1|Y1]而P[X1,Y1]

xx1

(,)12fxydxdydxedyxedxex1y1

fY(y)exdxex|

y



y

ey,y0

11

P[Y1]eydyey|e111e1

00

12e1e2

.P[X1|Y1]1e11e（本题满分11分）（23）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.①求PX1Z0.②求二维随机变量(X,Y)的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个-13-学府考研

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红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球1

24C2P(X1Z0)11.C3C39

（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故1111

C3C3C2C311

PX0,Y011,PX1,Y011

C6C66C6C111

C2C3C2111

PX2,Y011,PX0,Y111C6C6C6C636311

C2C21

PX1,Y111,PX2,Y10

C6C6911C2C21

PX0,Y211

C6C69

PX1,Y20,PX2,Y20

0XY0121/41/31/91/61/901/360012-14-学府考研

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2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合指定位置上.)题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．(1)若lim

11

aex1,则a等于(x0xx

(B)1.)(C)2.(D)3.(A)0.(2)设y1,y2是一阶非齐次微分方程ypxyqx的两个特解,若常数，使y1y2是该方程的解,y1y2是该方程对应的齐次方程的解,则()11

,.2221

(C),.33

(A)

11

,.2222

(D),.33

(B)

【答案解析】见真题理论验证强化指导部分数二试题一(2).(3)设函数fx,gx具有二阶导数,且gx0,若gx0a是gx的极值,则fgx在x0取极大值的一个充分条件是()(A)fa0.10

(B)fa0.x

10(C)fa0.)(D)fa0.(4)设fxlnx,gxx,hxe

(A)gxhxfx.(C)fxgxhx.,则当x充分大时有((B)hxgxfx.(D)gxfxhx.(5)设向量组I:1,2,r可由向量组II:1,2,s线性表示,下列命题正确的是((A)(B)(C)(D))若向量组I线性无关,则rs.若向量组I线性相关,则rs.若向量组II线性无关,则rs.若向量组II线性相关,则rs.2

(6)设A为4阶实对称矩阵,且AAO,若A的秩为3,则A相似于()数学(三)试题第1页(共4页)学府考研

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(A)1

1.1

0

1



1(B).1



0

(C)1



1.1

0

1



1.(D)1

0

0,

1

,(7)设随机变量X的分布函数F(x)2x1,e

()(A)0.(B)x0

0x1,则PX1=x1

1

.2

(C)11e.2

(D)1e.1

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为1,3上均匀分布的概率密度,若af(x)x0f(x)1(a0,b0)

bf2(x)x0

为概率密度,则a,b应满足()(A)2a3b4.(B)3a2b4.(C)ab1.(D)ab2.二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)．．．(9)设可导函数yy(x)由方程

xy

0

etdtxsint2dt确定,则0

2

x

dy

dx

.x0

(10)设位于曲线y

1x(1lnx)2(ex)下方,x轴上方的无界区域为G,则G绕x

轴旋转一周所得空间区域的体积是.(11)设某商品的收益函数为R(p),收益弹性为1p,其中p为价格,且R(1)1,则R(p)=3

.(12)若曲线yxaxbx1有拐点(1,0),则b.(13)设A,B为3阶矩阵,且A3,B2,AB2,则AB

1

1

3

2

.数学(三)试题第2页(共4页)学府考研

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1

(14)设X1,X2,,Xn是来自总体N(,)(0)的简单随机样本,统计量T

n2

X

i1

n

2i

,则ET.指定位置上.解答应写出文字说明、三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限lim(x1)

x

1x1lnx.(16)(本题满分10分)计算二重积分23

D,其中由曲线与直线x2y0及1xy()xydxdyD

x2y0围成.(17)(本题满分10分)求函数uxy2yz在约束条件xyz10下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I)比较2

2

2



1

0

lntln1tdt与tnlntdtn1,2,的大小,说明理由．0

n1

(II)记un



1

0

un．lntln1tdtn1,2,,求极限limn

n

(19)(本题满分10分)设函数2

f(x)在0,3上连续,在0,3内存在二阶导数,且2f(0)f(x)dxf(2)f(3),0

(I)证明存在(0,2),使f()f(0);(II)证明存在(0,3),使f()0．(20)(本题满分11分);11a

设A01，b1

1

已知线性方程组Axb存在2个不同的解．(I)求,a;(II)求方程组Axb的通解.(21)(本题满分11分)数学(三)试题第3页(共4页)学府考研

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014T

设A13a,正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵,若Q的第1列为4a016(1,2,1)T,求a,Q．(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)Ae2x

2

2xyy2

,x,y,求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)．(23)(本题满分11分)箱中装有6个球,其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个,现从箱中随机取出2个球,记X为取出的红球个数,Y为取出的白球个数.(I)求随机变量(X,Y)的概率分布；(II)求Cov(X,Y).数学(三)试题第4页(共4页)学府考研

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2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题参

一、选择题(1)【答案】(C).【解析】1exaxex1111xxxx

limaelim1e1axlim1eaxelimx0xxxx000xxxxx

axex1ex

limlim1a1

xx00xx所以a2.(2)【答案】(A)．【解析】因y1y2是yPxy0的解,故y1y2Pxy1y20,所以y1Pxy1y2p(x)y20,

而由已知y1Pxy1qx,y2Pxy2qx,所以qx0,①又由于一阶次微分方程ypxyqx是非齐的,由此可知qx0,所以0．由于y1y2是非齐次微分方程yPxyqx的解,所以y1y2Pxy1y2qx,整理得即由①②求解得(3)【答案】(B).【解析】fg(x)fg(x)g(x),y1Pxy1y2Pxy2qx,

qxqx,由qx0可知1,1

,故应选(A)．2

②fg(x)fg(x)g(x)fg(x)g(x)fg(x)g(x)

2

由于g(x0)a是g(x)的极值,所以g(x0)0.所以数学(三)试题第1页(共4页)学府考研

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fg(x)fg(x)g(x)fag(x)

0

0

0

0

由于g(x0)0,要使fg(x)0,必须有f(a)0,故答案为B.(4)【答案】(C).x1h(x)e

【解析】因为limlimlime10,所以,当x充分大时,h(x)g(x).xg(x)xxx10

x

10

又因为lim

x

f(x)lnx

limlim10

xg(x)xx

ln8x

10

ln9x

1

9

x10limlnx

xx1

109lim

x

1

x1092limlnx10!lim10.xxxx1所以当x充分大时,f(x)g(x),故当x充分大,f(x)g(x)h(x).(5)【答案】(A)．【解析】由于向量组I能由向量组II线性表示,所以r(I)r(II),即r(1,,r)r(1,,s)s

若向量组I线性无关,则r(1,,r)r,所以rr(1,,r)r(1,,s)s,即rs,选(A).(6)【答案】(D).【解析】设为A的特征值,由于AAO,所以0,即(1)0,这样A的2

2

特征值只能为-1或0.由于A为实对称矩阵,故A可相似对角化,即A

1



1,即A,r(A)r()3,因此,1

01



1.1

0

(7)【答案】(C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中F(x)的形式,得到随机变量X既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即PX1PX1PX1F1F101e1

(C).(8)【答案】(A).数学(三)试题第2页(共4页)111

e,故本题选22学府考研

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【解析】根据题意知,f1x

1x2

12,1x3e(x),f2x420,其它fxdx1,故0

31aa3

bf2xdxf1xdxbdxb1

04242

利用概率密度的性质:











fxdxaf1xdx



0

所以整理得到2a3b4,故本题应选(A).二、填空题(9)【答案】1.【解析】

xy

0

etdtxsint2dt,令x0,得y0,等式两端对x求导：0

2

x

e

(xy)2

xdy

(1)sint2dtxsinx2．0dx

将x0,y0代入上式,得1

dydx

0.所以x0

dydx

1.x0

2

(10)【答案】.4【解析】根据绕x轴旋转公式,有



Vy2dxe

e



dxx1ln2x2

.

244



e

dlnx

xarctanlne1ln2x13

P13(11)【答案】pe

.【解析】由弹性的定义,得dR11dRp

1p3,所以p2dp,即lnRlnpp2C,Rp3dpR

13

p11113又R11,所以C.故lnRlnpp,因此Rpe.333

(12)【答案】b3.【解析】函数为yxaxbx1,它的一阶导数为y3x2axb;二阶导数为3

2

2

y6x2a,又因为1,0是拐点,所以yx10,得

过点1,0,所以将x1,y0代入曲线方程,得b3.a

1,所以a3,又因为曲线3数学(三)试题第3页(共4页)学府考研

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(13)【答案】3.【解析】由于A(AB)B

1

1

(EAB)B1B1A,所以AB1A(A1B)B1AA1BB1

因为B2,所以B

1

B

1



1

,因此2AB1AA1BB132

(14)【答案】.2

2

1

3.2

1n21n212222

【解析】ETEXiEXinEXEX.ni1ni1n三、解答题1

lnxx1lnx1lnxx1

lim

xlnx1

(15)【解析】limxx1

x



其中lnxxlnxx1lnxlime

x

ee

lnxlnex1

lim

xlnxln(e1)(e

limxxlnxlim

故原式e.1

1)e

1x1

lnxx

lnx1lnx1e1lnxxlimlim(e1)1.2xxlnxxlnxxxlnxx(16)【解析】积分区域DD1D2,其中D1

D2

D

x,y1y0,3

D

2yx

x,y0y1,1y22

3

2yx1y2xy3x

D

2

dxdyx33x2y3xy2y3dxdy

因为区域D关于x轴对称,被积函数3xyy是y的奇函数,所以yy3dxdy0．3

3

2

3

2

1y2132

xydxdyxxydxdyxxydxdydyxxydx323232y0

DDD11132x4x2y20421y22y19114

dy2y42y2dy.041542

2

(17)【解析】令Fx,y,z,xy2yzxyz10,用拉格朗日乘数法得2

数学(三)试题第4页(共4页)学府考研

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Fxy2x0,

Fyx2z2y0,

Fz2y2z0,

Fx2y2z2100,求解得六个点：A1,5,2,B1,5,2,

C1,5,2,D1,5,2,

E22,0,2,F22,0,2.

由于在点A与B点处,u55；在点C与D处,u55；在点E与F处,u0．又因为该问题必存在最值,并且不可能在其它点处,所以umax55,umin55．(18)【解析】(I)当0x1时0ln(1x)x,故ln(1t)t,所以n

n

lntln(1t)lnttn,则(II)n





1

1

0

0

1

0

lntln(1t)dtlnttndtn1,2,.0

n

1

lnttndtlnttndt

111n1

tdtln,故由20n1n11

0unlnttndt

0

1

n12,根据夹逼定理得0limunlim

n

1

n

n120,所以limun0.n

(19)【解析】(I)因为2f(0)



2

0

f(x)dx,又因为fx在0,2上连续,所以由积分中值定理得,至少有一点0,2,使得fxdxf200

2

即2f02f,所以存在0,2,使得ff0.(Ⅱ)因为f2f32f0,即f2f32

f0,又因为fx在2,3上连续,由介值定理知,至少存在一点12,3使得f1f0.因为fx在0,2上连续,在0,2上可导,且f0f2,所以由罗尔中值定数学(三)试题第5页(共4页)学府考研

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理知,Ｃ存在10,2,有f10.又因为fx在2,1上连续,在2,1上可导,且f2f0f1,所以由罗尔中值定理知,存在22,1,有f20.又因为fx在1,2上二阶可导,且f1f20,所以由罗尔中值定理,至少有一点Axb0,3,使得f0.(20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：(I)已知Axb有2个不同的解,故r(A)r(A)3,对增广矩阵进行初等行变换,得111a11A01010101

11111a

11



010

2

011111

10100012a



1

a11

11111111



当1时,A00010001,此时,r(A)r(A),故Axb无解(舍去)．000a00001111

当1时,A0201,由于r(A)r(A)3,所以a2,故1,a2.

000a2



方法2：已知Axb有2个不同的解,故r(A)r(A)3,因此A0,即11

A010(1)2(1)0,11

知1或-1.当1时,r(A)1r(A)2,此时,Axb无解,因此1.由r(A)r(A),得a2.(II)对增广矩阵做初等行变换数学(三)试题第6页(共4页)学府考研

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3

101211121112

1A02010201010

2111100000000

3

231x1x1x312

可知原方程组等价为,写成向量的形式,即x2x30.

x1x12

3202

3

21

1

因此Axb的通解为xk0,其中k为任意常数.120



014

T

(21)【解析】由于A13a,存在正交矩阵Q,使得QAQ为对角阵,且Q的第一4a0

列为16(1,2,1)T,故A对应于1的特征向量为1

162161616(1,2,1)T.根据特征值和特征向量的定义,有A162,即616

01411014

1,2a,由此可得.故131a1322A11.

4a011410

14

由EA131(4)(2)(5)0,41

可得A的特征值为12,24,35.数学(三)试题第7页(共4页)学府考研

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414x1

由(2EA)x0,即171x20,可解得对应于24的线性无关的

414x3

特征向量为2(1,0,1).T

514x1

由(3EA)x0,即121x20,可解得对应于35的特征向量为

415x3

3(1,1,1)T.由于A为实对称矩阵,1,2,3为对应于不同特征值的特征向量,所以1,2,3相互正交,只需单位化：1

1111(1,1,1)T,(1,0,1)T,33(1,2,1)T,22

321326162616120121321,则QTAQ3

13取Q,,123

4.5

(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度fx,y后,要求条件概率密度fY|X(y|x),可以根据条件概率公式fY|X(y|x)

数,A要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.f(x,y)

来进行计算.本题中还有待定参fX(x)

2

fXx





fx,ydyAe2x



2



2

2xyy2

dyAe(yx)



x2

dyAex

2







e(yx)dy

2

Aex,x.根据概率密度性质有

1

故fXx



fXxdxAexdxA,即A1,



2

1ex2

,x.当x时,有条件概率密度fYXyx

fx,yfXxAe2x2xyyAex222

1ex2xyy22

1e(xy),x,y.2

数学(三)试题第8页(共4页)学府考研

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(23)【解析】(I)X的所有可能取值为0,1,Y的所有可能取值为0,1,2．C3231

PX0,Y02,其中X0,Y0表示取到的两个球都是黑球；C6155

11C2C362

PX0,Y1,其中X0,Y1表示取到的一个是白球,一个是C62155黑球；2C21

PX0,Y22,其中X0,Y2表示取到的两个球都是白球；C61511C1C331

PX1,Y0,其中X1,Y0表示取到的一个是红球,一个是155C62

黑球；11

C1C22

PX1,Y1,其中X1,Y1表示取到的一个是红球,一个是白球；2C615

PX1,Y2

0

0,2C6

因此二维离散型随机变量X,Y的概率分布为XY012(II)CovX,YEXYEXEY,012125211502115EXY11,,EX15153332812EY10112205151515352124CovX,YEXYEXEY.153345281515152313数学(三)试题第9页(共4页)学府考研

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2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)．．．k

(1)已知当x0时，f(x)3sinxsin3x与cx是等价无穷小，则()(A)k1,c4.(C)k3,c4.(B)k1,c4.(D)k3,c4.(2)已知函数f(x)在x0处可导，且f(0)0，则lim

x0

x2fx2fx3x3=()(A)2f0.(C)f0.(3)设un是数列，则下列命题正确的是((A)若(B)f0.(D)0.)



u

n1



n

收敛，则(u

n1



2n1

u2n)收敛.(B)若(u2n1u2n)收敛，则un收敛.n1

n1

(C)若u

n1

n

收敛，则(u

n1

2n1

u2n)收敛.(D)若(u2n1u2n)收敛，则un收敛.n1

n1

(4)设I系是()

40lnsinxdx，Jlncotxdx，Klncosxdx，则I,J,K的大小关4040(A)IJK．(B)IKJ．(D)KJI．(C)JIK．(5)设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得100100P110001单位矩阵，记P，12，则A(001010(A)PP12．1

(B)P1P2．)(C)P2P1．1

(D)P2P1．(6)设A为43矩阵，1,2,3是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，k1,k2为1学府考研

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任意常数，则Ax的通解为((A))(B)23k1(21)．23(C)2k1(21)k2(31)．223k1(21)．23(D)2k1(21)k2(31)．2(7)设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)，f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是()(B)2f2(x)F1(x)．(D)f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)．(A)f1(x)f2(x)．(C)f1(x)F2(x)．(8)设总体X服从参数为(0)的泊松分布，X1,X2,,Xn(n2)为来自总体X的简1n

单随机样本，则对应的统计量T1Xi,

ni1

(A)E(T1)E(T2)，D(T1)D(T2)．(C)E(T1)E(T2)，D(T1)D(T2)．1n11

T2XXn(i

n1i1n

)(B)E(T1)E(T2)，D(T1)D(T2)．(D)E(T1)E(T2)，D(T1)D(T2)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．)．．．(9)设f

x13txlimt0

x

yxt，则fx

.(10)设函数z1



x

，则dzy

1,1

.(11)曲线tanxy(12)曲线y积为.(13)设二次型f



y

在点0,0处的切线方程为e

4

.x21，直线x2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体x,x,xx

1

2

3

T

Ax的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换xQy下的标准形为．(14)设二维随机变量X,Y服从正态分布N,;2,2;0，则EXY2=．学府考研

2学府考研

指定位置上，解答应写出文字说三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)求极限limx0

12sinxx1．xln1x(16)(本题满分10分)已知函数fu,v具有连续的二阶偏导数，f1,12是fu,v的极值，2zzf，求xy,fx,y

xy(17)(本题满分10分)求1,1.arcsinxlnxxdx.(18)(本题满分10分)证明4arctanxx

430恰有2实根.3

(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,1有连续导数，f(0)1，且f(xy)dxdyf(t)dxdy,Dt

Dt

Dt(x,y)0ytx,0xt(0t1)，求f(x)的表达式.(20)(本题满分11分)设向量组1(1,0,1)T,2(0,1,1)T,3(1,3,5)T，不能由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,a)T线性表示．(I)求a的值；(II)将1,2,3由1,2,3线性表示．(21)(本题满分11分)1111

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即rA2，且A0000．1111

(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A．(22)(本题满分11分)设随机变量X与Y的概率分布分别为3学府考研

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XPYP且PX2Y21．(Ｉ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II)求ZXY的概率分布；(III)求X与Y的相关系数XY．(23)(本题满分11分)其中G是由xy0,xy2与y0设二维随机变量(X,Y)服从区域G上的均匀分布，所围成的区域．(I)求边缘概率密度fX(x)；(II)求条件密度函数fX|Y(x|y)．01/312/3

111/301/31/3学府考研

4学府考研

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．)．．．(1)【答案】(C)．【解析】因为lim

3sinxsin3x3sinxsinxcos2xcosxsin2x

lim

x0x0cxkcxksinx3cos2x2cos2xcxk32cos2x12cos2x

cxk13cos2x2cos2x

limx0cxk144cos2x4sin2x

limlimk1x0x0cxk1cxlim

x0

lim

x0

lim

4

1．x0cxk3所以c4,k3，故答案选(C).(2)【答案】(B)．【解析】lim

x0

x2fx2fx3x3lim

x0

x2fxx2f02fx32f0x3

fxf0fx3f0lim23x0xxf02f0f0．故答案选(B).(3)【答案】(A).【解析】方法1：数项级数的性质：收敛级数任意添加括号后仍收敛，故(A)正确.方法2：排除法，举反例．选项(B)取un(1)，这时(B)错误；

(1)n1(1)n11

选项(C)取un，这时un收敛，但(u2n1u2n)发散，故nnn1n1nn1n1n

(u

n1



2n1

u2n)0收敛，但un(1)n发散，故选项n1

n1

n1



选项(C)错误；学府考研

1学府考研

选项(D)取un1，这时正确答案为(A).(4)【答案】(B)．【解析】因为0x

(u

n1



2n1

但un1发散，故选项(D)错误．故u2n)0收敛，n1

n1

n1



时，0sinxcosx1cotx，4

又因lnx是单调递增的函数，所以lnsinxlncosxlncotx．故正确答案为(B)．(5)【答案】(D)．【解析】由于将A的第2列加到第1列得矩阵B，故100

A110B，001

即AP1．1B，ABP

由于交换B的第2行和第3行得单位矩阵，故1

100001BE，010

即P2BE,故BP2P2．因此，AP2P1，故选(D)．(6)【答案】(C)．【解析】由于1,2,3是Ax的3个线性无关的解，所以31,21是Ax0的两个线性无关的解，即Ax0的基础解系中至少有2个线性无关的解，所以可排除(A)、(B)选项．又因为A因此选(C)．事实上，由于1,2,3是Ax的三个线性无关的解，所以21,31是Ax0的两个线性无关的解，即Ax0的基础解系中至少有2个线性无关的解，亦即3r(A)2，故1

1

230，所以23是Ax0的解，不是Ax的解，故排除(D)选项，22r(A)1．由于AO，所以r(A)1，故r(A)1．这样，Ax0的基础解系中正好有2个线性无关的解，由此知21,31是Ax0的一个基础解系．2,A3，因此A因为1,2,3是Ax的解，所以A233，所以222学府考研

2学府考研

是Ax的一个特解．由非齐次线性方程组解的结构，可知Ax的通解为23k1(21)k2(31)．2(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)



dxf1(x)F2(x)f2(x)F1(x)F2(x)dF1(x)F1(x)dF2(x)







F1(x)F2(x)F1(x)F2(x)|d1．所以f1F2(x)f2F1(x)为概率密度.(8)【答案】(D)．【解析】因为X1,X2,,XnP()

，所以E(Xi)，D(Xi)，从而有n

111n

ET1E(Xi)E(Xi)nEXEXni1ni1nn1

1111n1

ET2EXXEXE(Xn)()ini

nnn1i1n1i1

EX

因为11

11

EX1．nn

1

，所以ET1ET2．n1n11

又因为DT1D(Xi)2nD(X)DX．ni1nnn

n1

1n1111

DT2D(XiXn)DXD(Xn)()i22n1i1nn(n1)i1



1111

2．D(X)2D(X)

nn1n1n

1112，所以DT1DT2．nn1n

由于当n2时，学府考研

3学府考研

指定位置上．)二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．(9)【答案】e

3x13x.xt【解析】因为fxlimx13txlim13tt0t0所以，fxe

3x13t3txtxe3x，13x.(10)【答案】12ln2dxdy.ln(1)xyyy【解析】z(1)e,yx

x

x

1x

x

dzx1xxxyxxxydzy2(1)ln(1)(1)2ln(1),，dxyyyy1xdyyyyy1x

yy

xy所以，dzdz

2ln21，12ln2，dx(1,1)dx(1,1)

从而dz1,112ln2dx12ln2dy或dz1,112ln2dxdy.(11)【答案】y2x.【解析】方程tanxy





y

e的两端对x求导，有4



sec2xy1yeyy，4

将x0,

y0代入上式，有1

cos2

41yy，解得y0,02，故切线方程为：y2x.(12)【答案】4.3yyx21【解析】如图２所示：Vy2dx

1

2

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4学府考研



21

x

2

4

1dx．3

图２(13)【答案】3y1．2

11【解析】因为A的各行元素之和为3，所以A131，故3为矩阵A的特征值．11由r(A)1知矩阵A有两个特征值为零，从而13,230．由于二次型在正交变换下标准形前面的系数即为二次型所对应矩阵的特征值，所以二次型在正交变换下的标准形为3y1．(14)【答案】22．【解析】根据题意，二维随机变量X,Y服从N,;2,2;0．因为xy0，所以由二维正态分布的性质知随机变量X,Y，所以X,Y．从而有2

2

22．DYE2YEXY2EXEY2

指定位置上，解答应写出文字说三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．明、证明过程或演算步骤．)(15)(本题满分10分)【解析】limx012sinxx112sinxx1limx0xln1xx212cosx1lim212sinxx02xlimx0

cosx12sinx2x12sinx学府考研

5学府考研

cosx12sinxx02xcosxsinx12sinxlimx02cosxlimx0

212sinx1.

2lim

(16)(本题满分10分)【解析】z

f1[(xy),f(x,y)]f2[(xy),f(x,y)]f1(x,y)x2z

f11xy,fxy1xyf12f2(x,y)xy,fxy

f21f2(x,y)f1(x,y)f22xy,fxyxy,fxyf2f12x,yxy,fxy

由于f1,12为fu,v的极值，故f11,1f21,10，2z

所以，f112,2f22,2f121,1.

xy(17)(本题满分10分)【解析】令t

x，则xt2,dx2tdt，所以arcsintlnt2

2tdt2arcsintlnt2dtdx

t2tarcsint22tarcsint

t1t2dt2tlnt22t2tlnt24t

2tdt2tarcsinxlnxxd(1t2)1t22tarcsint21t22tlnt24tC

6学府考研

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2xarcsinx2xlnx21x4xC.

(18)(本题满分10分)【解析】设f(x)4arctanxx

43，3则f(x)

4(3x)(3x)

，1221x1x

令f(x)0，解得驻点x13,x23.所以，当x3时，f(x)0，故f(x)单调递减；当3x故f(x)单调递增；当x

3时，f(x)0，3时，f(x)0，故f(x)单调递减.又当x(,3)(3,3)时f(x)0，且f(3)0，故x(,3)时只有一个零点；又f(3)

84230，limfxlim4arctanxx30，由零xx33点定理可知，存在x0

3,，使fx00；430恰有两实根.3

所以，方程4arctanxx(19)(本题满分10分)【解析】

Dt

1

f(t)dxdyt2f(t)，2t

tx0

0



Dt

f(xy)dxdydx

t0

f(xy)dy

(f(t)f(x))dxtf(t)f(x)dx

0t

由题设有t1

tf(t)f(x)dxt2f(t)，02上式两端求导，整理得(2t)f(t)2f(t)，学府考研

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为变量可分离微分方程，解得f(t)

C

，2(t2)4

,0x1.(x2)2带入f(0)1，得C4.所以，f(x)

(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于1,2,3不能由1,2,3线性表示，对(1,2,3,1,2,3)进行初等行变换：113101



(1,2,3,1,2,3)124013

13a115

310131011111



11201112．0111

02a3014

00a5210

当a5时，r(1,2,3)2r(1,2,3,1)3，此时，1不能由1,2,3线性表示，故1,2,3不能由1,2,3线性表示．(II)对(1,2,3,1,2,3)进行初等行变换：101113

(1,2,3,1,2,3)013124

115135



101113101113

013124013124



014022001102100215



0104210，001102

故121423，2122，35110223．(21)(本题满分11分)8学府考研

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1111

TT

【解析】(I)由于A0000，设11,0,1,21,0,1，则1111

A1,21,2，即A11,A22，而10,20，知A的特征值为11,21，对应的特征向量分别为k11k10，k22k20．由于rA2，故A0，所以30．由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为3x1,x2,x3，则T

1T30,x1x30,

即T

230,x1x30．

解此方程组，得30,1,0，故30对应的特征向量为k33k30．T

(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：1

111TTT

1,0,1,221,0,1,330,1,0．123221

T

1令Q1,2,3，则QAQ，0

AQQT220

22

22022



011100



20

2

22022010

22

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22022

(22)(本题满分11分)【解析】(I)因为PX2Y21，所以PX

22022

000

22220

20220

210



001000．100

2

Y21PX2Y20．即PX0,Y1PX0,Y1PX1,Y00．利用边缘概率和联合概率的关系得到1

PX0,Y0PX0PX0,Y1PX0,Y1；31

PX1,Y1PY1PX0,Y1；31

PX1,Y1PY1PX0,Y1．3即X,Y的概率分布为XY01-101/301/30101/3(II)Z的所有可能取值为1,0,1．1

PZ01PZ1PZ1．3ZXY的概率分布为ZP-11/301/311/31

PZ1PX1,Y1．31

PZ1PX1,Y1．3学府考研

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(III)因为XY其中CovXYD(X)D(Y)

EXYEXEYD(X)D(Y)，111111

EXYEZ1010，EY1010．333333所以EXYEXEY0，即X，Y的相关系数XY0．(23)(本题满分11分)【解析】二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)(Ｉ)当0x1时，fX(x)当1x2时，fX(x)

1,0y1,yx2y,

0,其它.







f(x,y)dy1dyx．02x0

x







f(x,y)dy

1dy2x．x, 0x1,X的边缘概率密度为fX(x)2x, 1x2,0, 其它.(II)当0y1时，Y的边缘概率密度为fY(y)当0y1时，fX|Y(x|y)有意义，条件概率密度





f(x,y)dx

2yy

1dx22y．1

, yx2y,f(x,y)22yfX|Y(x|y)

fY(y)

0, 其它.

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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1）曲线yx2（x

x21

渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数f(x)(ex

1)(e2x

2)(enxn)，其中n为正整数，则f'(0)

（A）(1)

n1

(n1)!

（B）(1)n

(n1)!（C）(1)

n1

n!

（D）(1)n

n!

（3）设函数f(t)连续，则二次积分

20d

22cosf(r2)rdr=（）（A）24x20dx2xx2x2y2f(x2y2)dy（B）2dx4x2202xx2f(x2y)dy

（C）

2dx

4x2012xx2x2y2f(x2y2)dy（D）

24x20dx

12xx2f(x2y2)dy

（4）已知级数(1)

nnsin1

(1)ni1n绝对收敛，i1n

2条件收敛，则范围为（（A）01（B）1

2

2

1（C）1

3

21学府考研

）学府考研

（D）3

22

0011

（5）设10,21,31,41其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关cccc1234

的是（）（B）1,2,4（D）2,3,4

（A）1,2,3（C）1,3,4

1

1

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP1，P1,2,3，2Q12,2,3则Q1AQ（1

（A）2

12（C）1

2

）1

（B）1

22（D）2

1

（7）设随机变量X与Y相互，且都服从区间0,1上的均匀分布，则PXY1（2

2

）（A）1

4

（B）12

（C）8

（D）4

X1X2的分布X3X42（8）设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,（）（B）t12

0的简单随机样本，则统计量2

（A）N0,1（C）1（D）F1,1指定位置上.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．（9）limtanxx

41cosxsinx________。（10）设函数f(x)

dylnx,x1

,yff(x)，求dx2x1,x1

________。x0

2学府考研

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（11）函数zf(x,y)满足limx0y1

f(x,y)2xy2x(y1)220，则dz

(0,1)



（12）由曲线y

4

和直线yx及y4x在第一象限中所围图形的面积为？x*

（13）设A为3阶矩阵，A3,A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则BA*________。11

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB),P(C),则P(ABC)________。23指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．演算步骤.（15）（本题满分10分）exe22cosx计算lim

x0x4（16）（本题满分10分）计算二重积分x

exydxdy，其中D为由曲线yx与yD

2

1x所围区域。（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企，且固定两种产品的边际成本分别为20业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件）/件）与6y（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。（18）（本题满分10分）x

（万元2

x21x

证明：xlncosx1,1x1

1x2

（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2e1）求表达式f(x)2）求曲线的拐点yf(x)（20）（本题满分10分）2''''x

x0f(t2)dt

3学府考研

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10

设A

0a

（Ⅰ）求A

a001



11a0

，b

001a



0010

（Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。101

TT

（21）（本题满分10分）三阶矩阵A011，A为矩阵A的转置，已知r(AA)2，且二次型10afxTATAx。1）求a

2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（本题满分10分）（22）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示，XPYPXYP07/1201/201/311/311/311/32021/621/341/12求：（1）PX2Y；（2）covXY,Y与XY.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互，且均服从参数为1的指数分布，VminX,Y,UmaxX,Y.求（1）随机变量V的概率密度；（2）EUV.4学府考研

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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．x2x

渐近线的条数为（）（1）曲线y2x1

（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：C

x2x

，所以x1为垂直的【解析】：lim2

x1x1

x2x

1，所以y1为水平的，没有斜渐近线故两条选Clim2xx1（2）设函数f(x)(e1)(e（A）(1)

n1

x

2x

2)(enxn)，其中n为正整数，则f'(0)

(n1)!

（B）(1)(n1)!（C）(1)

n1

n

n!

（D）(1)n!【答案】：C

【解析】：f(x)e(e所以f(0)(1)

''

x

2x

n

2)(enxn)(ex1)(2e2x2)(enxn)(ex1)(e2x2)(nenxn)

n1

n!

（3）设函数f(t)连续，则二次积分（A）（B）（C）

20d

22cosf(r2)rdr=（）

202dxdxdx

4x22xx24x22xx2x2y2f(x2y2)dyf(x2y2)dy

2024x2012xxx2y2f(x2y2)dy

1学府考研

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（D）

20dx

4x2212xxf(x2y2)dy

（B）【答案】：【解析】：由x

x2y2解得y的下界为2xx2，由x2y22解得y的上界为4x2.故排22除答案（C）（D）.将极坐标系下的二重积分化为X型区域的二重积分得到被积函数为f(xy)，故选（B）.（4）已知级数（A）0（B）(1)

i1n(1)n1

nsin绝对收敛，2条件收敛，则范围为（ni1n

）1

123

（C）1

23

（D）2

2

【答案】：（D）【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论.(1)n3

绝对收敛可知；2条件收敛可知2，故答案为（D）2i1n

12(1)nnsin

i11n0011

（5）设10,21,31,41其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关cccc1234

的是（）（B）1,2,4（D）2,3,4

（A）1,2,3（C）1,3,4（C）【答案】：0

【解析】：由于1,3,40

11c3

11c1c4

11

11

0，可知1,3,4线性相关。故选（C）c1

1

1

（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且PAP1，P1,2,3，2

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Q12,2,3则Q1AQ（1（A）2

12（C）1

2

【答案】：（B））1

（B）1

22（D）2

1

100100

11

【解析】：QP110，则Q110P，

001001



10010010011001

11

故QAQ110PAP11011011101

00100100120012

。故选（B）（7）设随机变量X与Y相互，且都服从区间0,1上的均匀分布，则PXY1（2

2

）（A）14

（B）12

（C）8

（D）4

【答案】：（D）1,0x1,0y1,【解析】：由题意得，fx,yfXxfYy

其它.0,

PX2Y21=fx,ydxdy，其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积D

分的几何意义，知PXY1=

22

，故选（D）.4

（8）设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,（）2

0的简单随机样本，则统计量X1X2的分布X3X42（A）N0,1（B）t1（C）2

1（D）F1,13学府考研

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【答案】：（B）【解析】：从形式上，该统计量只能服从t分布。故选B。具体证明如下：XX42XX2X1X2

，由正态分布的性质可知，1与3均

2X3X4222X3X422X1X22X3X4222X1X22服从标准正态分布且相互，可知t1。指定位置上.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．（9）limtanxx

41cosxsinx________。【答案】：e

-21

limtanx1cosxsinxx

4【解析】：limtanxx

41cosxsinxe

14lim=limtanx1cosxsinxxcosxsinxx44tanxtan



tanx1tanxtan

44=lim

x4-2sinx

4

1tantanxx

44=lim

x4-2x

4=2-2=-2所以limtanxx

1

cosxsinx4e

1

limtanx1cosxsinxx

4=e

-24学府考研

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（10）设函数f(x)【答案】：4【解析】：dylnx,x1

,yff(x)，求dx2x1,x1

________。x0

dy

dxx0

f'f(x)f'(x)x0f'f(0)f'(0)f'1f'(0)

dydx

4

x0

由f(x)的表达式可知f'0f'(1)2，可知（11）函数zf(x,y)满足limx0y1

f(x,y)2xy2x(y1)220，则dz

(0,1)



【答案】：2dxdy

【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即f(x,y)2xy2o(x(y1))，所以22z

x(0,1)

2，zy(0,1)

1，故dz

(0,1)

2dxdy

（12）由曲线y

4

和直线yx及y4x在第一象限中所围图形的面积为？x

【答案】：4ln2【解析】：被积函数为1的二重积分来求，所以Sdyydxdydx

0

42

*

2y4

4

yy433

4ln24ln222

（13）设A为3阶矩阵，A3,A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则BA*________。【答案】：-27【解析】：由于BE12A，故BAE12AA|A|E123E12，所以，|BA||3E12|3|E12|27*(1)27.11

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB),P(C),则P(ABC)________。233

【答案】：4*

3

*

*

【解析】：由条件概率的定义，PABC

PABCPC，5学府考研

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其中PC1PC1

12，33

1

PABCPABPABCPABC，由于A,C互不相容，即AC，PAC0，又2

13

ABCAC，得PABC0，代入得PABC，故PABC.24指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．演算步骤.（15）（本题满分10分）exe22cosx计算lim

x0x4【解析】：lim

2

ee

x0x4x2

22cosx

lime22cosxlim

x0

x0

e

x222cosx

1

x4x222cosx

limx0x4

x2x42

x221ox2

24!(泰勒公式)lim

x0x4

x4

+ox2=lim124x0x1=12（本题满分10分）（16）计算二重积分【解析x

exydxdy，其中D为由曲线yx与yD

1x域所围区域。】：由题意知，区1

D(x,y)|0x1,xy，如图所示所以x

yexydxdylimdxD

x0

0

x

1

1xxexxydy

O1x6学府考研

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1limexxy2x00

211

1xxdx

1x

limexxdxx00

2x2

111

limexdxexx2dx

02x00

11x21

lime1ex2exxdx

002x0

11

lim12xdex

02x0

11x1

lim12exexdx

002x0

11lim12e(e1)

22x0

（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x（件）和（y件），且固定两种产品的边际成本分别为20/件）与6y（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。【解析】：1）设成本函数为C(x,y)，由题意有：Cx(x,y)20

x

（万元2

x，2

x2

D(y)，对x积分得，C(x,y)20x4

再对y求导有，Cy(x,y)D(y)6y，再对y积分有，D(y)6y

12

yc2

x21

6yy2c所以，C(x,y)20x42

x21

6yy210000又C(0,0)10000，故c10000，所以C(x,y)20x42

2）若xy50，则y50x(0x50)，代入到成本函数中，有7学府考研

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1x2

C(x)20x6(50x)(50x)210000

423

x236x115504所以，令C(x)

3

x360，得x24,y26，这时总成本最小C(24,26)111182

3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为Cx(24,26)32，表示在要求总产量为50件时，在甲产品为24件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。（本题满分10分）（18）1xx2

cosx1,1x1证明：xln1x2x21x

cosx1【解析】：令fxxln，可得1x2f'xln

ln

1x1x2

sinxxx21x1x1x1x2xsinxx21x1x1x1x2lnxsinx

1x1x21x21x21x

xsinx0，1，所以0，当0x1时，有ln22

1x1x1xx21x

cosx10故fx0，而f00，即得xln1x2'

x21x

cosx1。所以xln1x21x21x21x

1，所以xsinx0，0，当1x0，有ln

1x21x21xx21x

cosx10故fx0，即得xln

21x'

x21x

cosx1,1x1可知，xln1x2

8学府考研

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（19）（本题满分10分）已知函数f(x)满足方程f(x)f(x)2f(x)0及f(x)f(x)2e1）求表达式f(x)2）求曲线的拐点yf(x)【解析】：2''''x

x0f(t2)dt

21）特征方程为rr20，特征根为r11,r22，齐次微分方程f(x)f(x)2f(x)0的通解为f(x)C1eC2e故f(x)e

x

x2x.再由f(x)f(x)2e得2C1eC2e

'xx2x

2ex，可知C11,C20。2）曲线方程为ye

x2



x

0

edt，则y'12xe

t2x2



x

0

edt，y''2x212xe

t2

2

x2



x

0

etdt

2

令y''0得x0。为了说明x0是y''0唯一的解，我们来讨论y''在x0和x0时的符号。当x0

时，2

x2

2x0,212x2ex

2



x

0

etdt0

2

，可知y''0；当x0

时，2x0,212xe



x

0

etdt0，可知y''0。可知x0是y''0唯一的解。22

同时，由上述讨论可知曲线yf(x)



x0f(t2)dt在x0左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线yf(x2)f(t2)dt唯一的拐点。0x（20）（本题满分10分）1

0

设A

0a

（Ⅰ）求A

a001



1a01

，b

001a



0010

（Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。1a00

【解析】：（Ⅰ）01a0001

a

a001

1a0101

001

a00a01a4

a

01

aa(1)4119学府考研

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（Ⅱ）100a

a00100

1

01a0

001a40001a

11

a010



1a00



0100

01a0

a10

00a01

a

a201

11

10

00a0

a10

0a1

00a

0a31

10

aa2

1

10

aa2

4

2

可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有1a0及aa0，可知a1。110011001101，进一步化为行最简形得01此时，原线性方程组增广矩阵为

001100000000001010

1111可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为k

10101010

线性方程组Axb存在2个不同的解，有|A|0.0



011110



000

01

即：11A010(1)2(1)0，得1或-1.11111x1x

当1时,000x20，显然不符，故1.111x13

101

TT

（21）（本题满分10分）三阶矩阵A011，A为矩阵A的转置，已知r(AA)2，且二次型10afxTATAx。1）求a

2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】：1）由r(AA)r(A)2可得，T

10学府考研

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10

01

11a10a1

10a

202x1

fxTATAxx1,x2,x3022x22）224x

3

2x122x224x324x1x24x2x3202

则矩阵B022

224

202

EB022260

224

解得B矩阵的特征值为：10;22;36

1



对于10,解1EBX0得对应的特征向量为：11

11

对于22,解2EBX0得对应的特征向量为：21

01

对于36,解3EBX0得对应的特征向量为：31

2

将1,2,3单位化可得：111111

1，311，21236

012Q1,2,3（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示，11学府考研

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XPYPXYP07/1201/201/311/311/311/32021/621/341/12求：（1）PX2Y；（2）covXY,Y与XY.【解析】：XPYPXYP07/1201/201/311/311/311/32021/621/341/12（1）PX2YPX0,Y0PX2,Y1（2）covXY,YcovX,YcovY,Y

11044

2

52

covX,YEXYEXEY，其中EX,EX21,EY1,EY2,DXEX2EX

335222

DYEY2EY1,EXY

33322

所以，covX,Y0，covY,YDY，covXY,Y,XY0.33

（23）（本题满分10分）1

45

99设随机变量X和Y相互，且均服从参数为1的指数分布，VminX,Y,UmaxX,Y.求（1）随机变量V的概率密度；（2）EUV.【解析】：ex,x0,1ex,x0,（1）X概率密度为fx分布函数为FxX和Y同分布.其它.0,其它.0,

由VminX,Y，FVvPVvPminX,Yv1PXv,Yv，12学府考研

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1e2v,v0,

而X,Y，故上式等于1PXvPYv11Fv0,其它.

2

2e2v,v0,故fVvFVv

其它.0,

uu

21ee,u0,

（2）同理，U的概率密度为：fUu

0,其它.

31

EUu21eueudu，EVv2e2vdv，002231

所以EUVEUEV2.2213学府考研

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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（（A）xo(x)o(x)（B）o(x)o(x)o(x)（C）o(x)o(x)o(x)（D）o(x)o(x)o(x)

2

2

2

2

2

2

3

2

3

）|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（x(x1)ln|x|（A）0（B）1（C）2（D）3）（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记Ik则（）22

(yx)dxdyk1,2,3,4，Dk

（A）I10（B）I20（C）I30（D）I40

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（（A）若anan1,则



）(1)

n1



n1

an收敛（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1

1学府考研

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（C）若

a

n1



n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在n



P

（D）若存在常数P1，使limnan存在，则n

P

a

n1

n

收敛（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价1a1200

（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为1a1000

（A）a0,b2（B）a0,b为任意常数（C）a2,b0（D）a2,b为任意常数

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,2），X3~N(5,3),2

2

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P1P2（D）P1P3P2

）（8）设随机变量X和Y相互，则X和Y的概率分布分别为，则P{XY2}()2学府考研

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1121（B）81（C）61（D）2（A）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.．．．（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则limnf

n2n

________。2n

（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则（11）求xz

x(1,2)________。

1lnx

dx________。(1x)21

y0通解为y________。4（12）微分方程yy

（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aijAij0(i,j1,2,3),则A____

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe

2X

)=________。指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．演算步骤.（15）（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。（16）（本题满分10分）设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。（17）（本题满分10分）设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算（18）（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。313n

xdxdy。D

2

Q

，（P是单价，单位：1000学府考研

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（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。（本题满分10分）（19）设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明x

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()（本题满分11分）（20）设A

1

.a1a01

,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。101b

（本题满分11分）（21）a1b1

22

设二次型fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3，记a2,b2。ab33

（I）证明二次型f对应的矩阵为2；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1y2。（22）（本题满分11分）2

2

T

T

3x2,0x1,

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXxXx0x1的，在给定其他.0,

条件下，Y的条件概率密度fYX

3y2

3,0yx,yxx0,其他.

（1）求X,Y的概率密度fx,y；（2）Y的边缘概率密度fYy.（本题满分11分）（23）23ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，X1,X2，XN为来自总体其它.0,X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.4学府考研

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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（（A）xo(x)o(x)（B）o(x)o(x)o(x)（C）o(x)o(x)o(x)（D）o(x)o(x)o(x)【答案】D【解析】o(x)o(x)o(x)，故D错误。22

2

2

2

2

2

3

2

3

）|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（x(x1)ln|x|

（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又）xlnxexlnx1xx1

1limlimlimf(x)lim

x0x0x(x1)lnxx0x(x1)lnxx0x(x1)lnxxln(x)exln(x)1(x)x1

limlim1limf(x)lim

x0x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)xx1exlnx1xlnx1

limlimlimf(x)lim

x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx12

xln(x)exln(x)1(x)x1

limf(x)limlimlim

x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1

故f(x)的可去间断点有2个。1学府考研

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（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记Ik则（）22

(yx)dxdyk1,2,3,4，Dk

（A）I10（B）I20（C）I30（D）I40【答案】B【解析】令xrcos,yrsin，则有1

Ik(yx)dxdyrdr(rsinrcos)d(cossin)

03Dk

1

故当k2时，

2

,，此时有I20.故正确答案选B。23

）（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（（A）若anan1,则



(1)

n1



n1

an收敛（B）若

(1)

n1

n1

an收敛，则anan1

P

（C）若

a

n1

n

收敛，则存在常数P1,使limnan存在n



（D）若存在常数P1，使limnan存在，则n

P

a

n1

n

收敛【答案】D

11P

【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，p收敛，且limnan存在，则an与p同n

n1n1nn1n



敛散，故a

n1

n

收敛.）（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价2学府考研

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（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有ACB，从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。11a1200（6）矩阵aba



1a1与0b0相似的充分必要条件为

000

（A）a0,b2（B）a0,b为任意常数（C）a2,b0（D）a2,b为任意常数【答案】(B)1a11a1【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而aba与201a11a101a1充分必要条件为

aba

的特征值为2,b,0。1a1

1a1

又EAaba[(b)(2)2a2

]，从而a0,b为任意常数。1a1

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22

），X3~N(5,32

),PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（）（A）P1P2P3（B）P2P1P3（C）P3P1P2（D）P1P3P2

3学府考研

00

b0

相似的00

学府考研

【答案】（A）【解析】由X1

N0,1,X2

N0,22,X3N5,32知，p1P2X12PX12221，p2P2X22PX22211，故p1p2.由根据X3

N5,32及概率密度的对称性知，p1p2p3，故选（A）（8）设随机变量X和Y相互，则X和Y的概率分布分别为，则P{XY2}()1

121（B）81（C）61（D）2（A）【答案】（C）又根据题意X,Y，【解析】PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，故PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY1

指定位置上.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则limnf

n21

，选（C）.6n

________。n2

【答案】2

【解析】yxx在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0，2

limnf(

n

n

)limn2n

f(1

2

)f(1)

2nn2f'(1)(2)22n2

n2

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z（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定，则x

(1,2)________。【答案】22ln2【解析】原式为e

xln(zy)

xy,左右两边求导得：xy[ln(zy)x

zx

zy]y,令x1,y2得z0,zx2(1ln2)（11）求

lnx

1(1x)2dx________。【答案】ln2【解析】lnx1lnx1lnxx

(1x)2dxlnxd(1x)1x+x(1x)dx1x+ln1x



lnxlnx

x(1x)2dxxlim

1x+ln1xlnxx1

1x+ln1xln2x1（12）微分方程yy1

4y0通解为y________。1【答案】e

2xC1xC2【解析】特征方程为2

11140,2

(二重根)，所以通解为ye2xC1xC2（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，aijAij0(i,j1,2,3),则A____

【答案】1

【解析】由aijAij0可知，

ATA*Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3j

3

3

aij

2

2

1

aiij0

j1

从而有AATA*A2

,故A=-1.

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X

)=________。【答案】2e

2

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若学府考研

【解析】由X

N0,1及随机变量函数的期望公式知

EXe

2X





xe

2x

1e2

x22dx

12



xe

1x224

2

dx2e2.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.（15）（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小所以lim

n

n

1cosxcos2xcos3x

1nx0ax又因为：1cosxcos2xcos3x

1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)limx0x0axnaxn1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)

lim()x0axnaxnaxn1211xo(x2)(2x)2o(x2)(3x)2o(x2)

22lim(2)nnnx0axaxax

1491a7所以n2且2a2a2a即lim

（16）（本题满分10分）设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。【解析】由题意可得：13Vx

a

0

35

(x)dxa35

a

132

Vy2

0

67

xxdxa37

135

673

因为：Vy10Vx所以a310a3a7775（17）（本题满分10分）6学府考研

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设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算【解析】2

222xdxdyxdxdyxdxdyD

D1

D2

3x

6

8x

2

xdxdy。D

x2dxxdyx2dxxdy

0

32

3

416

3

Q

，（P是单价，单位：1000

（本题满分10分）（18）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价P。Q2

6000【解析】（I）设利润为l，则lPQ(20Q6000)40Q

1000边际利润l'40

Q500Q

401000（II）当P50时，边际利润为20，经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20(III)令l'0,得Q20000，此时P60（19）（本题满分10分）设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明x

（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()

1

.a

【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)

x

3

，2f(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，f(a)f(0)f'()a1,(0,a)，故(0,a)，使得f'()（20）（本题满分11分）71

a学府考研

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设A

1a01

,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。101b

x2

，则由ACCAB可得线性方程组：x4

【解析】x1

由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C

x3

x2ax30

ax1x2ax41

x1x3x41x2ax3b

（1）01a001011



101aaa10a1011101a0010ab01a0

11011

0101aa

00001a



00001ba

110111



101a01a01a000b01a0b

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有01a0



a10a1011

01a0

从而有C

011010b00111x1k1k21

xk110021

,其中k1、k2任意.，故有

xk000031

0000x4k2

k1k21k1



k1k2

（本题满分11分）（21）a1b1

22

设二次型fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3，记a2,b2。ab33

（I）证明二次型f对应的矩阵为2；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1y2。【答案】(1)2

2

T

T

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2222

f(2a12b12)x12(2a2b22)x2(2a3b32)x3(4a1a22b1b2)x1x2

(4a1a3b1b3)x1x3(4a2a32b2b3)x2x32a12b12



则f的矩阵为2a1a2b1b2

2aabb13132TT

（2）令A=2,则A22,A2，则1,2均为A的特T

T

T

T

T

T

2a1a2b1b22a22b222a2a3b2b3

a122a1a3b1b3

2a2a3b2b32a1a2

aa2a32b3213

a1a2a22a2a3

a1a3b12

a2a3b1b2

a32b1b3

b1b2b22b2b3

b1b3

b2b3b32

征值，又由于r(A)r(2)r()r()2，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特T

T

T

T

征值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y1y2（本题满分11分）（22）22

3x2,0x1,

设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXxXx0x1的，在给定其他.0,

条件下，Y的条件概率密度fYX

3y2

,0yx,

yxx30,其他.

（1）求X,Y的概率密度fx,y；（2）Y的边缘概率密度fYy.9y2

,0x1,0yx,

yxfxXx0,其他.

【答案】（1）fx,yfYX

（2）fYy







9y2lny,0y1,

fx,ydx

其他.0,

（23）（本题满分11分）23ex,x0,

设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，X1,X2，XN为来自总体其它.0,X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.【答案】(1)EX







xf(x)dx



0

2xx3edxexd()，令EXX，故矩估计量为X.0xx9学府考研

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n2xn

3ei

(2)L()f(xi;)i1xi

i1

0

当xi0时，2nn1xi03exi

i1xi

其他0

xi0其他

lnL()2nln3lnxi

i1

i1

nn

1xi

dlnL()2nn1令0，di1xi

2n2n

，所以得极大似然估计量=n.得n11i1xii1xi

10学府考研

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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）设limana,且a0,则当n充分大时有（（A）an

）a2a2（B）an

1

n1

（D）ana

n

（C）ana

（2）下列曲线有渐近线的是（（A）yxsinx（B）yxsinx

2

）1x12

（D）yxsin

x（C）yxsin

（3）设P(x)abxcxdx则下列试题中错误的是（A）a0（B）b1（C）c0（D）d

2

3

，当x0时，若P(x)tanx是比x高阶的无穷小，3

16）（4）设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在区间[0,1]上（（A）当f'(x)0时，f(x)g(x)（B）当f'(x)0时，f(x)g(x)（C）当f'(x)0时，f(x)g(x)（D）当f'(x)0时，f(x)g(x)

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0a

（5）行列式b0d

0b0

a00cc0

2

0d

（A）(adbc)

（B）(adbc)（D）bcad

22

2

2

（C）a2d2b2c2

2

（6）设a1,a2,a3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组1k3,2l3线性无关是向量组1,2,3线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A与B相互，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（（A）0.1（B）0.2（C）0.3（D）0.4（8）设X1,X2,X3为来自正态总体N(0,)的简单随机样本，则统计量2

）X1X22X3服从的分布为（A）F（1,1）（B）F（2,1）（C）t(1）（D）t(2)指定位置上.二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．（9）设某商品的需求函数为Q402P（P为商品价格），则该商品的边际收益为_________。(10)设D是由曲线xy10与直线yx0及y=2围成的有界区域，则D的面积为_________。(11)设a



0

xe2xdx

1

1

，则a_____.4

1

2

2ex

(12)二次积分dy(ey)dx________.

y0x学府考研

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2

（13）设二次型f(x1,x2,x3)x12x22ax1x34x2x3的负惯性指数为1，则a的取值范围是_________2x



（14）设总体X的概率密度为f(x;)320

X1,X2,...,Xn,为来自总体X的简单样本，若c

x2其它

，其中是未知参数,x

i1

n

i

2

是的无偏估计，则c=_________2

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求极限lim



x

1

x

21t1tetdt

1x2ln(1)

x（16）（本题满分10分）xsin(x2y2)dxdy.设平面区域D{(x,y)|1xy4,x0,y0}，计算

xyD

2

2

（17）（本题满分10分）2z2zx2x设函数f(u)具有2阶连续导数，zf(ecosy)满足224(zecosy)e，若xyx

f(0)0,f'(0)0，求f(u)的表达式。（18）（本题满分10分）求幂级数

(n1)(n3)x

n0

n

的收敛域及和函数。（19）（本题满分10分）设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1，证明：（I）0（II）

xab

g(t)dtxa,x[a,b];

a



a

a

ag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx.



1234

（20）（本题满分11分）设A0111，E为3阶单位矩阵。1203

①求方程组Ax0的一个基础解系；②求满足ABE的所有矩阵B

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11

（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵

1

（22）（本题满分11分）11001



11002

与相似。

1100n

1

，在给定Xi的条件下，随机变量Y服从2设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}=均匀分布U(0,i)(i1,2)（1）求Y的分布函数FY(y)（2）求EY（23）（本题满分11分）设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为P{X0}的相关系数XY

12

,P{X1},且X与Y33

1

2

（1）求（X，Y）的概率分布（2）求P{X+Y1}学府考研

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2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．（1）A（2）C（3）D（4）C（5）B（6）A（7）（B）（8）（C）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.．．．（9）dR

404pdp3

ln22

1

（11）a

21

（12）(e1)

2（10）（13）[-2,2]（14）25n

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.（15）【答案】资料来源：中国教育在线http://www.eol.cn/学府考研

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1xx®+¥limò

x1[t(e-1)-t]dtx2ln(1+1xx21)x2x1=lim(e-1)蝌tdt-12tdtx=limx(e-1)-xx®+¥x®+¥1,x则limx2(e-1)-x令u=x®+¥eu-1-u=limu®0+u2eu-11=lim=u®0+2u2（16）【答案】

20d

2021cossindcossin2cosdsind1cossin21cos2ddcos0cossin111cos22d(cos10cossin1cos2d(21)

0cossin312d203

4



21cosd)

（17）【答案】E

f(excosy)excosyx2E

f(excosy)e2xcos2yf(excosy)excosy2xE

f(excosy)ex(siny)y2E

f(excosy)e2xsin2yf(excosy)ex(cosy)2y资料来源：中国教育在线http://www.eol.cn/学府考研

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2E2Ex2x2xxf(ecosy)e(Eecosy)e4

x2y2f(excosy)4f(excosy)excosy

令ecosyu，则f(u)4f(u)u，故f(u)C1e

2uxC2e2u

u

,(C1,C2为任意常数)4由f(0)0,f(0)0,得e2ue2uu

f(u)

161

（18）【答案】由lim

(n2)(n4)

1，得R1

n(n1)(n3)

当x1时，(n1)(n3)发散，当x1时，(1)(n1)(n3)发散，nn0n0故收敛域为(1,1)。x0时，(n1)(n3)x

n0n((n3)(n1)xndx)

n00x((n3)x

n0n11)((n3)xn2)

xn0。1n31xn2(((n3)xdx))((x))

xn0xn003x3x2x21x3)))(((s(x)

(1x)3(1x)2x1x

x0时，s(x)3，故和函数s(x)

（19）【答案】3x

，x(1,1)3(1x)

x

x

x

证明：1）因为0g(x)1，所以有定积分比较定理可知，

a

0dtg(t)dt1dt，即a

a

0g(t)dtxa。ax2）令资料来源：中国教育在线http://www.eol.cn/学府考研

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F(x)f(t)g(t)dt

axxxag(t)dtaf(t)dt

F(a)0

F(x)f(x)g(x)f[aag(t)dt]g(x)g(x){f(x)f[aag(t)dt]}

由1）可知所以a

xx

x

a

g(t)dtxa，

x

a

g(t)dtx。由f(x)是单调递增，可知f(x)f[aag(t)dt]0

由因为0g(x)1，所以F(x)0，F(x)单调递增，所以F(b)F(a)0，得证。x

（20）【答案】①1,2,3,1T

k12k26k31



kkk212321321k,k,kR②B

3k113k243k31123

kkk123

（21）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。0,y0,

3

y,0y1,4

（22）【答案】（1）FYy

111y,1y2,22



1,y2.

（2）34

X01（23）【答案】（1）Y012

919

491959

（2）资料来源：中国教育在线http://www.eol.cn/学府考研

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项指定位置上.符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．(1)设xn是数列,下列命题中不正确的是((A)若limxna,则limx2nlimx2n1a

n

n

n

)(B)若limx2nlimx2n1a,则limxna

n

n

n

(C)若limxna,则limx3nlimx3n1a

n

n

n

(D)若limx3nlimx3n1a,则limxna

n

n

n

(2)设函数fx在,内连续,其2阶导函数fx的图形如右图所示,则曲线yfx的拐点个数为((A)0(3)设D

(B)1

(C)2

2

)(D)3

x,yx

()2cosy22x,x2y22y,函数fx,y在D上连续,则fx,ydxdy

D(A)



40

dd

1

0

frcos,rsinrdrdfrcos,rsinrdrdfx,ydy

24

24

2sin0

frcos,rsinrdrfrcos,rsinrdr

(B)

40

2sin2cos0x

0

(C)2dx

0



1011x2(D)2dx



2xx2xfx,ydy

)(B)(4)下列级数中发散的是((A)nnn13



n1



11ln(1)

nn(1)n1

(C)lnnn2

(D)n!

nn1n

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1

111

(5)设矩阵A12a,bd.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷2214a

d

多解的充分必要条件为((A)a,d(C)a,d

)(B)a,d(D)a,d

2

2

2

(6)设二次型fx1,x2,x3在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3，其中P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为()(A)2y1y2y3

2

2

2

2

22

(B)2y1y2y3

2

2

2222

(C)2y1y2y3(D)2y1y2y3

()(7)若A,B为任意两个随机事件,则:(A)PABPAPB(C)PAB

(B)PABPAPB(D)PAB

PAPB2PAPB2(8)设总体X~Bm,,X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均n值,则EXiXi1



2

()(B)mn11(D)mn1(A)m1n1(C)m1n11二、填空题：9(9)lim

14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．ln(cosx)

__________.2x0x(10)设函数f(x)连续，(x)(11)若函数zz(x,y)由方程e



x2

0

xf(t)dt,若(1)1,(1)5,则f(1)________.xyz1确定，则dz

(0,0)

x2y3z

_________.

(12)设函数yy(x)是微分方程yy2y0的解，且在x0处取得极值3，则学府考研

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y(x)________.

(13)设3阶矩阵A的特征值为2,2,1，BAAE,其中E为3阶单位矩阵，则行列式B________.

(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则2

P{XYY0}_________.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说．．．明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数f(x)xaln(1x)bxsinx,g(x)ckx.若f(x)与g(x)在x0时是3

等价无穷小，求a,b,k的值.(16)(本题满分10分)计算二重积分222

()ddxxyxy，其中Dxyxyyx{(,)2,}.

D(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求弹性(0).(I)证明定价模型为P

MC

；11

(II)若该商品的成本函数为C(Q)1600Q，需求函数为Q40P，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18)(本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点且f(0)2，求f(x)表(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4，达式.(19)(本题满分10分)（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x);（II）设函数u1(x),u2(x),,un(x)可导，f(x)u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求导公式.2

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(20)(本题满分11分)a10设矩阵A=1a1，且A3O.01a(I)求a的值；(II)若矩阵X满足XXAAXAXAE，其中E为3阶单位矩阵，求X.(21)(本题满分11分)2

2

120023



设矩阵A133相似于矩阵B=0b0.

03112a



(I)求a,b的值；1

（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.(22)(本题满分11分)x

2ln2,x0

,对X进行重复的观测,直到设随机变量X的概率密度为fx

x00,

第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数(I)求Y的概率分布；(II)求E(Y).(23)(本题满分11分)1

,x1,

设总体X的概率密度为f(x,)1其中为未知参数，其他,0,X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量.学府考研

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项指定位置上.符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．(1)设xn是数列,下列命题中不正确的是((A)若limxna,则limx2nlimx2n1a

n

n

n

)(B)若limx2nlimx2n1a,则limxna

n

n

n

(C)若limxna,则limx3nlimx3n1a

n

n

n

(D)若limx3nlimx3n1a,则limxna

n

n

n

【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系.数列xnan对任意的子列xnk均有xnkak,所以A、B、C正确；D错(D选项缺少x3n2的敛散性),故选D(2)设函数fx在,内连续,其2阶导函数fx的图形如右图所示,则曲线yfx的拐点个数为((A)0【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是f(x)不存在的点或(B)1

(C)2

)(D)3

f(x)0的点处产生.所以yf(x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数f(x)符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3)设D

x,yx

()2cos2

y22x,x2y22y,函数fx,y在D上连续,则fx,ydxdy

D(A)



40

dd

0

frcos,rsinrdrdfrcos,rsinrdrd

24

24

2sin0

frcos,rsinrdrfrcos,rsinrdr

(B)

40

2sin2cos00

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(C)2dx

0



101x

11x2fx,ydy

(D)2dx

2xx2xfx,ydy

【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域D1(r,)0,0r2sinD2(r,),0r2cos

442

所以

D

f(x,y)dxdyd

故选B.40

2sin0

f(rcos,rsin)rdrd

242cos0

f(rcos,rsin)rdr，(4)下列级数中发散的是((A))(B)nnn13



n1



11ln(1)

nn(1)n1

(C)lnnn2

【答案】(C)(D)n!

nn1n

n1n1n113lim1，所以根据正项级数的比值【解析】A为正项级数，因为limnn3nn3

3n判别法11n

ln(1)收敛；B为正项级数，因为nnn3n1



1n

32，根据P级数收敛准则，知n1



11(1)n1(1)n1ln(1)收敛；C，，根据莱布尼茨判别法知nlnlnlnnnnnn1n1n11(1)n1发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D为正项级lnnn1lnnn1

(1)n收敛，n1lnn(n1)!

n

(n1)!nn(n1)n1n1

数，因为limlimlim1，所以根据正项级数n1nnnn!n!(n1)n1enn的比值判别法n!n收敛，所以选C.n1n

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1

111

(5)设矩阵A12a,bd.若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷2214a

d

多解的充分必要条件为((A)a,d(C)a,d【答案】(D))(B)a,d(D)a,d

111【解析】(A,b)12a14a211111d1a1d012d00(a1)(a2)(d1)(d2)，由r(A)r(A,b)3，故a1或a2，同时d1或d2.故选（D）(6)设二次型fx1,x2,x3在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3，其中2

2

2

P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为()(A)2y1y2y3

2

2

2

2

22

(B)2y1y2y3

2

2

2222

(C)2y1y2y3【答案】(A)(D)2y1y2y3

22

【解析】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y12y2.y3

200

T

且PAP010.001100又因为QP001PC010200TTT故有QAQC(PAP)C01000122

所以fxTAxyT(QTAQ)y2y12y2.选（A）y3

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(7)若A,B为任意两个随机事件,则:(A)PABPAPB(C)PAB【答案】(C)【解析】由于ABA,ABB，按概率的基本性质，我们有P(AB)P(A)且()(B)PABPAPB(D)PAB

PAPB2

PAPB2

P(AB)P(B)，从而P(AB)P(A)P(B)

P(A)P(B)

，选(C).2

(8)设总体X~Bm,,X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本,X为样本均n值,则EXiXi1



2

()(B)mn11(D)mn1(A)m1n1(C)m1n11【答案】(B)1n【解析】根据样本方差S(XiX)2的性质E(S2)D(X)，而n1i1

2

D(X)m(1)，从而E[(XiX)2](n1)E(S2)m(n1)(1)，选(B).i1

n

二、填空题：9(9)lim

14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．ln(cosx)

__________.2x0x1

【答案】

2ln(1cosx1)cosx11

lim【解析】原极限lim

x0x02x2x2(10)设函数f(x)连续，(x)【答案】2

【解析】因为f(x)连续，所以(x)可导，所以(x)因为(1)1，所以(1)

x20



x2

0

xf(t)dt,若(1)1,(1)5,则f(1)________.

f(t)dt2x2f(x2)；

1

0

f(t)dt1

又因为(1)5，所以(1)



1

0

f(t)dt2f(1)5

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故f(1)2

(11)若函数zz(x,y)由方程e【答案】dx

x2y3z

xyz1确定，则dz

(0,0)

_________.

132dy3

【解析】当x0，y0时带入ex2y3zxyz1，得z0.对ex2y3zxyz1求微分，得d(ex2y3zxyz)ex2y3zd(x2y3z)d(xyz)ex2y3z(dx2dy3dz)yzdxxzdyxydz0

把x0，y0，z0代入上式，得dx2dy3dz0所以dz(0,0)dx

132dy3

(12)设函数yy(x)是微分方程yy2y0的解，且在x0处取得极值3，则y(x)________.

【答案】y(x)e2x2ex

【解析】yy2y0的特征方程为220，特征根为2，1，所以该齐次微分方程的通解为y(x)C1e

2x

C2ex，因为y(x)可导，所以x0为驻点，即y(0)3，y(0)0，所以C11，C22，故y(x)e2x2ex

(13)设3阶矩阵A的特征值为2,2,1，BAAE,其中E为3阶单位矩阵，则行列式B________.

【答案】21

【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.所以|B|37121.(14)设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;1,1;0)，则2

P{XYY0}_________.

【答案】12学府考研

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【解析】由题设知，X~N(1,1),Y~N(0,1)，而且X、Y相互，从而P{XYY0}P{(X1)Y0}P{X10,Y0}P{X10,Y0}

11111

P{X1}P{Y0}P{X1}P{Y0}.22222

指定位置上.解答应写出文字说三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数f(x)xaln(1x)bxsinx,g(x)ckx.若f(x)与g(x)在x0时是3

等价无穷小，求a,b,k的值.【答案】a1,b【解析】法一：11

,k23

x2x3x33

o(x)，sinxxo(x3)，因为ln(1x)x

233!则有，aa(1a)x(b)x2x3o(x3)f(x)xaln(1x)bxsinx23limlim1lim，33x0g(x)x0x0kxkx

a11a0



1a

可得：b0，所以，b．22

1a

1k33k

法二：由已知可得得1lim

x0xaln(1x)bxsinxf(x)

limlim

x0kx3g(x)x02

x0

x01

a

bsinxbxcosx1x3kx2由分母lim3kx0，得分子lim(1c；a

bsinxbxcosx)lim(1a)0，求得x01x

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1

bsinxbxcosx1x3kx2于是1lim

x0f(x)

limg(x)x01

lim

xb(1x)sinxbx(1x)cosx

2x03kx（1x）

xb(1x)sinxbx(1x)cosxlimx03kx21bsinxb(1x)cosxb(1x)cosxbxcosxbx(1x)sinxlimx06kxx0由分母lim6kx0，得分子求lim[1bsinx2b(1x)cosxbxcosxbx(1x)sinx]lim(12bcosx)0，x0x0得b

1；2

进一步，b值代入原式111

1sinx(1x)cosxxcosxx(1x)sinx

f(x)2221limlimx0g(x)x06kx111111

cosxcosx(1x)sinxcosxxsinx(1x)sinxxsinxx(1x)cosx

22222lim2x06k1

1

2，求得k.6k3(16)(本题满分10分)计算二重积分【答案】x(xy)dxdy，其中D{(x,y)x

D2

y22,yx2}.

2

45

2【解析】x(xy)dxdyxdxdy

DD2dx20x1012x2x2dy

2x2(2x2x2)dx

2x

01

222x2sint242sin2t2cos2tdt2xdx

05522

2

40

2u2t22

sin2tdt2sin2udu.055

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(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为价格，MC为边际成本，为需求弹性(0).(I)证明定价模型为P

MC

；11

(II)若该商品的成本函数为C(Q)1600Q，需求函数为Q40P，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II)P30.【解析】(I)由于利润函数L(Q)R(Q)C(Q)PQC(Q),两边对Q求导，得2

dLdPdPPQC(Q)PQMC.dQdQdQ

当且仅当dPdLPdQ1P

,所以,0时，利润L(Q)最大，又由于

dQdQQdPQMC

时，利润最大.11

故当P

(II)由于MCC(Q)2Q2(40P),则型，得P

PdQP

代入(I)中的定价模

QdP40P

2(40P)

,从而解得P30.40P1

P(18)(本题满分10分)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线xx0及x轴所围成区域的面积恒为4，求f(x)表且f(0)2，达式.【答案】fx

8

4x【解析】曲线的切线方程为yfx0fx0xx0，切线与x轴的交点为fx0x,00fx

0

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21fx04.故面积为：S2fx0故fx满足的方程为f解得fx

2x8fx,此为可分离变量的微分方程,88

，又由于f0=2，带入可得C4，从而fx

4xxC(19)(本题满分10分)（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x);（II）设函数u1(x),u2(x),,un(x)可导，f(x)u1(x)u2(x)un(x)，写出f(x)的求导公式.【答案】f(x)[u1(x)u2(x)un(x)]

u1(x)u2(x)un(x)u1(x)u2(x)un(x)u1(x)u2(x)un(x)

【解析】（I）[u(x)v(x)]lim

u(xh)v(xh)u(x)v(x)

h0hu(xh)v(xh)u(xh)v(x)u(xh)v(x)u(x)v(x)limh0hv(xh)v(x)u(xh)u(x)

limu(xh)limv(x)

h0h0hhu(x)v(x)u(x)v(x)

（II）由题意得f(x)[u1(x)u2(x)un(x)]

u1(x)u2(x)un(x)u1(x)u2(x)un(x)u1(x)u2(x)un(x)

(20)(本题满分11分)a103

设矩阵A=1a1，且AO.01a(I)求a的值；(II)若矩阵X满足XXAAXAXAE，其中E为3阶单位矩阵，求X.2

2

312【答案】a0,X111211学府考研

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a1

【解析】(I)AOA01

30a

0a

11

0a

a11a2a1a30a0

01

(II)由题意知XXA2AXAXA2EXEA2AXEA2EEAXEAEXEA2

1

EA2

1

EA2EA

1

XEAA2

1

011



EA2A111，112

011M100111M010111010011100MM112M001112M001111M010111M010011M100011M100021M011001M211110M201100M312010M111010M111001M211001M211312X111

211

(21)(本题满分11分)023120

设矩阵A133相似于矩阵B=0b0.

03112a



(I)求a,b的值；1

（II）求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵.231【答案】a4,b5,P101011【解析】(1)A~Btr(A)tr(B)3a1b1

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0

AB1

1

232

3a

120

b3

01

0

30

ab1a4

ab23b5

023100123A133010123EC1230011231231

C12311231231

C的特征值120,34

0时(0EC)x0的基础解系为1(2,1,0)T;2(3,0,1)T5时(4EC)x0的基础解系为3(1,1,1)T

A的特征值A1C:1,1,5

231



令P(1,2,3)101，0111



P1AP1

5

(22)(本题满分11分)x

2ln2,x0

设随机变量X的概率密度为fx,对X进行重复的观测,直到x00,

第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数(I)求Y的概率分布；(II)求E(Y).【答案】(I)P{Yn}Cn1p(1p)(II)E(Y)16.1

n2

17

p(n1)()2()n2，n2,3,；88

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【解析】(I)记p为观测值大于3的概率，则pP(X3)从而P{Yn}Cn1p(1p)(II)法一:分解法:将随机变量Y分解成Y=MN两个过程,其中M表示从1到n(nk)次试验观测值大于3首次发生，N表示从n1次到第k试验观测值大于3首次发生.则M~Ge(n,p)，N

1

n2





3

17

p(n1)()2()n2，n2,3,为Y的概率分布；88

1

2xln2dx，8Ge(kn,p)(注：Ge表示几何分布)所以E(Y)E(MN)E(M)E(N)

1122

16

.ppp18法二:直接计算127n2777

E(Y)nP{Yn}n(n1)()()n(n1)[()n22()n1()n]

88888n2n2n2





记S1(x)



n2

nnx()1n2



1x1，则



S1(x)n(n1)x

n2



n2

(nx

n2n1

n1

)(xn)

n2

2

，3(1x)2x

，(1x)3S2(x)n(n1)x

n2

xn(n1)xn2xS1(x)

n2



S3(x)n(n1)xx

nn22n(n1)x

n2n22x2xS1(x)，3(1x)224x2x22

，所以S(x)S1(x)2S2(x)S3(x)

1x(1x)3从而E(Y)S()16.(23)(本题满分11分)7

81

,x1,

设总体X的概率密度为f(x,)1其中为未知参数，其他,0,X1,X2,,Xn为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量.学府考研

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2X1,【答案】(I)1n

XXi；ni1

min{X,X,,X}.(II)12n

【解析】(I)E(X)







xf(x;)dxx

1

11，dx

121n

XXi为的矩估计量；ni1

12X1,令E(X)X，即X，解得2

(II)似然函数L()



i1

n

1n,xi1，f(xi;)1

其他0,

11n

()，则lnL()nln(1).1i11n

当xi1时，L()

从而dlnL()n

，关于单调增加，1dmin{X,X,,X}为的最大似然估计量.所以n12

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2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.设函数f(x)在(，)内连续，其导函数的图形如图所示，则(A.函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有2个拐点.B.函数f(x)有2个极值点，曲线yf(x)有3个拐点.C.函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有1个拐点.D.函数f(x)有3个极值点，曲线yf(x)有2个拐点.)ex2.已知函数f(x,y)=，则(x-y-fy=0A.fxⅱ3

3.设J k= x - ydxdy i =(Di

)C.fxⅱ-fy=f+fy=fD.fxⅱ+fy=0B.fxⅱ1,2,3),其中D1={(x,y)0＃x1}则(1,0＃y1},D2=(x,y)0＃x{1,0＃yx,}D3={(x,y)0＃x1,x2＃y)C.J2T

)-1

B.A-1

与B-1

相似C.A+AT

与B+BT

相似D.A+A与B+B-1

相似x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则(6.设二次型f(x1,x2,x3)=a()A.a>1B.a<-2C.-2学府考研

3x20x，其中(0，，)为未知参数，设总体的概率密度为f(x，)3X1，X2，X3为来自总体X的简单其他，0，随机样本，令T=max(X1，X2，X3).(1)求T的概率密度；(2)确定a，使得aT为θ的无偏估计.解析：考察一维随机变量函数的分布；无偏估计。(1)F(t)PTtPmax(X1，X2，X3)tPX1t，X2t，X3t=PX1tPX2tPX3tPXt=FXt339t820t，，所以f(t)3FXtfXt90，其他.(2)即求使得E(aT)=θ成立的a。E(aT)aE(T)at09t8dt9109aa.(较易)910学府考研

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2016年考研数学（三）真题

一、填空题：1－6小题，每小题（1）lim

n

4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

n1n

1

n

______.

2的某邻域内可导,且f

0

12

,则z

（2）设函数f(x)在x

x

2

e

y

2

fx

，

f21，则f2

1,2

____.

_____.

（3）设函数f(u)可微,且f

f4x

在点(1,2)处的全微分dz

（4）设矩阵

A

21

12

，

E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA

B

2E，则B

.

（5）设随机变量X与Y相互，且均服从区间（6）设总体

0,3上的均匀分布，则

x

,X1,X2,

PmaxX,Y1

_______.

X的概率密度为

2

fx

12

e

x

,Xn为总体X的简单随机样本，其

样本方差为S，则ES

2

____.

4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把.

二、选择题：7－14小题，每小题所选项前的字母填在题后的括号内（7）设函数y分别为f(x)在点

(A)(C)

f(x)具有二阶导数，且f(x)

x

(B)(D)

0,f(x)0，则0dy

2

0，x为自变量x在点x0处的增量，

y与dy

x0处对应的增量与微分，若

y. 0.

0y

dydy

yy

dy.0.

[

]

（8）设函数

fx在x

0且f0且f

0处连续，且lim

h

fhh

2

0

1，则

(B)(D)f

(A)(C)

f0f0

0存在0存在

f00

1且f1且f

0存在0存在

[

]

（9）若级数

n1

an收敛，则级数

(A)

n1

an收敛.

（B）

n1

(1)an收敛.

n

(C)

n1

anan1收敛.

(D)

n1

anan2

1

收敛. [ ]

-1 -

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（10）设非齐次线性微分方程

通解是（Ａ）（Ｃ）

（11）设

yP(x)yQ(x)有两个不同的解

y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的

Cy1(x)Cy1(x)

y2(x). y2(x).

（Ｂ）（Ｄ）

y1(x)Cy1(x)y2(x). y2(x)

[

]

y1(x)Cy1(x)

y

f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且(x,y)

0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件

(x,y)0

下的一个极值点，下列选项正确的是

(A)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.(B)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0.(C)

若fx(x0,y0)

0，则fy(x0,y0)0.(D)若fx(x0,y0)0，则fy(x0,y0)

0.

[

]

（12）设

1

,

2

,

,s均为

n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是

(A)若1

,2

,,s线性相关，则

A1,A2

,,As

线性相关.(B)若1,

2

,,s线性相关，则

A1,A

2,

,As

线性无关.(C)

若

1

,

2

,,

s线性无关，则

A1,A2,,As

线性相关.

(D)若

1

,2

,

,

s

线性无关，则

A1,A

2

,

,A

s

线性无关.

[

]

（13）设

A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第110P

010，则0

0

1

（Ａ）CP1

AP. （Ｂ）CPAP1

. （Ｃ）C

PTAP.

（Ｄ）C

PAPT

.

［］

（14）设随机变量

X服从正态分布N(

1

,

2

1

)，Y服从正态分布

N(

2

,

22

)，且

PX

1

1PY2

1

则必有(A)

1

2

(B)

12

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2列得C，记

-2 -

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(C)

12

(D)

12

[ ]

.

三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（本题满分7分）

设fx,y

y1

y

1ysin

xy,x

0,y

0,求

xyarctanx

(Ⅰ) gx

limfx,y；

(Ⅱ) limgx.

x

0

（16）（本题满分7分）

计算二重积分

D

y

2

xydxdy，其中D是由直线yx,y1,x0所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0

ab时，

bsinb2cosb

basina2cosaa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线斜率之差等于

其上任意点Px,yL过点M1,0，

x0处的切线斜率与直线OP的

ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当

L与直线yax所围成平面图形的面积为

83

时，确定

a的值.

（19）（本题满分10分）

求幂级数

n1

1

n1

x

2n1

n2n1

的收敛域及和函数

s(x).

（20）（本题满分13分）

设4维向量组问

1

1a,1,1,1,

3

T

2

2,2

1

a,2,2

3

T

,

3

3,3,3a,3

T

,

4

4,4,4,4a

T

，

a为何值时

1

,

2

,,

4线性相关

?当

,

2

,,

4

线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量

用该极大线性无关组线性表出（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵

.

T

T

A的各行元素之和均为

3,向量

1

1,2,1,

2

0,1,1

是线性方程组

Ax0的两个解.

(Ⅰ)求

A的特征值与特征向量；

,使得

(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵

QAQ

T

；

3（Ⅲ）求A及AE

2

6

，其中

E为3阶单位矩阵.

-3 -

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（22）（本题满分13分）

设随机变量

X的概率密度为

1

2,1x0f1

Xx

4

,0x2，0,　其他

令YX2

,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

(Ⅰ)求Y的概率密度fYy；

(Ⅱ)Cov(X,Y)；

(Ⅲ)F

12

,4.

（23）（本题满分13分）

设总体

X的概率密度为

,

0x1,fx;

1,1

x

2,

0,

其他,

其中是未知参数

0

1，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记

小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求

的最大似然估计

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N为样本值x1,x2...,xn中

-4 -

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2016年考研数学（三）真题解析

二、 填空题 ：1－6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上

.

1

n

（1）lim

n1n

n

1.

【分析】将其对数恒等化N

e

lnN

求解.

n

11

ln

n1(1)

n

lim(1)nln

n1【详解】lim

nn

n

n

n

n

limn

e

e

，

而数列

(1)

n

有界，limn1n

1n

ln

n

0，所以lim(1)ln

nn

n

0.

1

n

故lim

n1n

n

e

0

1.

（2）设函数f(x)在x

2的某邻域内可导,且f

xe

fx

，

f21，则f22e3

.

【分析】利用复合函数求导即可.

【详解】由题设知，

fxe

fx

，两边对

x求导得

f

x

e

fx

f(x)e

2fx

，

两边再对x求导得

f(x)2e

2fx

f(x)

2e

3fx

，又

f21，

故

f(2)

2e

3f2

2e3

.

（3）设函数f(u)可微,且f

0

12

,则zf4x

2

y

2

在点(1,2)处的全微分dz

1,2

4dx2dy.

【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.

【详解】方法一：因为

z2

x(1,2)

f(4x

2

y)8x

(1,2)

4，

zy

(1,2)f(4x

2

y2

)2y

(1,2)

2，

所以

dz

z1,2

x

1,2

dx

zy

1,2

dy4dx2dy.

方法二：对z

f4x

2

y

2

微分得

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-5 -

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dz

故dz

1,2

f(4x

2

y)d(4x

22

y)

4dx

2

f(4x

2dy.

2

y)8xdx2ydy，

2

f(0)8dx2dy

（4）设矩阵

A

21

12

，

E为2阶单位矩阵，矩阵

AX

B或XA

B满足BA

B

2E，则B

2 .

【分析】将矩阵方程改写为B或AXBC的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行

计算即可.

【详解】

由题设，有

B(AE)2E

于是有

BAE4，而AE

11

11

2，所以B2.

（5）设随机变量X与Y相互，且均服从区间

0,3上的均匀分布，则

PmaxX,Y1

19

.

【分析】利用X与Y的性及分布计算.

【详解】

由题设知，X与Y具有相同的概率密度

1

f(x)

3

,

0

x3

.

0,　　　其他则

PmaxX,Y1

PX

1,Y1

PX

1PY

1

PX1

2

112

10

3dx9

. 【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：

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-6 -

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则PmaxX,Y1PX12

x

1,Y1

S阴Sx

19

.

（6）设总体

X的概率密度为

2

fxe

,X1,X2,,Xn为总体X的简单随机样本，其

样本方差为S，则

ES

2

2.

ESx2

2

2

【分析】利用样本方差的性质【详解】因为

DX即可.

EXxf(x)dx

2

edx

x

x

0，

2

x

2

x

2

x0

x

EXxf(x)dx

2

x

edx

0

xedxxe2

0

xedx

2xe

所以DX所以

x02

2

2

0

edx

0

2e

x0

2，

EX

2

2

EX2.

2，又因S是DX的无偏估计量，

2

ESDX

二、选择题：7－14小题，每小题所选项前的字母填在题后的括号内（7）设函数y分别为f(x)在点

(A)(C)

[ Ａ

]

4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把.

f(x)具有二阶导数，且f(x)

x

(B)

0,f(x)0，则0

(D)

0，x为自变量x在点x0处的增量，

y与dy

x0处对应的增量与微分，若

y. dy

0.

0dyy

ydy.dy

y

0

.

【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解【详解】

由f(x)

.

0,f(x)0知，函数f(x)单调增加，曲线

x

0时，

yf(x)凹向，作函数yf(x)的图形如右图所示，显然当

ydy

f(x0)dxf(x0)x

0，故应选(Ａ).

fhh

22

（8）设函数

fx在x

0且f

0处连续，且lim

h

0

1，则

(B)

(A)

f00存在f01且f0存在

-7 -

学府考研

学府考研

(C)

f00且f0存在

2

(D)f01且f0存在

[ C ]

【分析】从

limh0

fhh

2

1入手计算f(0)，利用导数的左右导数定义判定

f(0),f(0)的存在性.

【详解】由

limh0

fhh

2

2

1知，limfh

h0

limf(x)

x

0

2

0.又因为fx在x

2

0处连续，则

f(0)limfh

h

0

0.

令th，则1lim

h

2

fhh

2

2

0

t

lim

0

ft

t

f(0)

f(0).

所以f(0)存在，故本题选（

C）.

（9）若级数

n1

an收敛，则级数

(A)

n1

an收敛.

（B）

n1

(1)an收敛.

n

(C)

n1

anan1收敛.

(D)

n1

anan2

1

收敛. [ Ｄ]

【分析】【详解】

可以通过举反例及级数的性质来判定由

n1

.

an收敛知

n1

an

1

收敛，所以级数

n1

anan2

1

收敛，故应选(Ｄ).

或利用排除法：取an

(1)

n

n

1n1

，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；

取an(1)

n

，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确.

（10）设非齐次线性微分方程

通解是（Ａ）（Ｃ）

yP(x)yQ(x)有两个不同的解

y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的

Cy1(x)Cy1(x)

y2(x). y2(x).

（Ｂ）（Ｄ）

y1(x)Cy1(x)y1(x)

Cy1(x)

.

y2(x). y2(x)

[ Ｂ

]

【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可【详解】由于

y1(x)y2(x)是对应齐次线性微分方程

yP(x)y0的非零解，所以它的通解是

-8 -

学府考研

学府考研

Y

Cy1(x)y2(x)，故原方程的通解为y

y1(x)

Y

y1(x)Cy1(x)

y2(x)，故应选(Ｂ).

【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

yy*Y.

其中y*是所给一阶线性微分方程的特解，（11）设

Y是对应齐次微分方程的通解

y

.

f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且(x,y)

0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件

(x,y)0

下的一个极值点，下列选项正确的是

(A)(B)(C)

若fx(x0,y0)若fx(x0,y0)若fx(x0,y0)

0，则fy(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0，则fy(x0,y0)0，则fy(x0,y0)

F(x,y,)

.

0.0.0.0.f(x,y)

(x,y)在(x0,y0,

0

(D)若fx(x0,y0)

[ Ｄ]

【分析】利用拉格朗日函数的值）取到极值的必要条件即可

【详解】作拉格朗日函数

)（

0

是对应

x0,y0的参数

F(x,y,)f(x,y)

(x,y)，并记对应x0,y0的参数(x0,y0)(x0,y0)

00

的值为

0

，则

Fx(x0,y0,Fy(x0,y0,

消去

，得

0

))

，即

0

fx(x0,y0)fy(x0,y0)

0x

.

0

0

0y

0

fx(x0,y0)

整理得

y

(x0,y0)

1

y

fy(x0,y0)fy(x0,y0)

x

(x0,y0)

0,

(x,y)

0），

fx(x0,y0)

(x0,y0)

x

(x0,y0).（因为

y

若fx(x0,y0)（12）设

(A)(B)

1

0，则fy(x0,y0)

2

0.故选（Ｄ）.

,

若若

,

1

,,,

2

s均为

n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是

s线性相关，则

,,

,,

A1,AA1,A

2

,,

,A,A

s

线性相关.线性无关.

12

s线性相关，则

2s

-9 -

学府考研

学府考研

(C)若

1

,

2

2

,,

,

s

s线性无关，则

A1,A2,A1,A

2

,A,A

s

s

线性相关.

[ .

A ]

(D)若

1

,,

线性无关，则

,

线性无关.

【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定【详解】记所以，若向量组B

1

(

2

1

,,

2

,,

s

)，则(A1,A

则r(B)

2

,

,As)

AB.

r(B)

s，向量组A1,A

2

,,

s线性相关，

s，从而r(AB),,A

s

也

线性相关，故应选(Ａ).

（13）设

A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第110P

010，则0

0

1

（Ａ）CP1

AP. （Ｂ）CPAP1

. （Ｃ）C

PTAP.

（Ｄ）C

PAPT

.

［Ｂ］

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.

【详解】由题设可得

11011011011B

010A　,C

B010010A01，000

10

0

1

0

0

1

0

0

1

1

10

而P

1

010，则有CPAP1

.故应选（Ｂ）.

0

0

1

（14）设随机变量

X服从正态分布N(

1

,

2

1

)，Y服从正态分布N(

2

,

22

)，且

PX

1

1PY

2

1

则必有(A)1

2

(B)12

(C)

12(D)

12

[

A ]

【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.

【详解】由题设可得

P

X

1

1

P

Y

2

1

，

1

1

2

2

学府考研

2列得C，记

-10 -

学府考研

则

2

1

12

1

1，即

1

1

.

1

2

1

2

其中

(x)是标准正态分布的分布函数.

又

(x)是单调不减函数，则

1

1

，即

12

.

1

2

故选(A).

三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分7分）

1ysin

x设fx,y

yy1

xyarctanx

,x

0,y

0,求

(Ⅰ) gx

y

limfx,y；

(Ⅱ) x

lim0

gx.

【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x作为常量求解，此问中含

,0

型未定式极限；第第(Ⅰ)问的结果，含

未定式极限.

ysin

x【详解】(Ⅰ) gx

y

limfx,ylim

y1y

y

1xy

arctanx

sin

x1

y

1lim

1y11x

y

1arctanx

xarctanx

.

y

x

(Ⅱ)

11x

arctanxxx

2

x

lim0

gx

x

lim

0

xarctanx

x

lim

0

xarctanx

（通分）

1arctanxxx

2

x

2

12xx

2

2x(1x2

)xlim0

x

2x

lim10

2x

x

lim

0

2x

学府考研

(Ⅱ)问需利用

-11 -

学府考研

（16）（本题满分7分）

计算二重积分

D

y

2

xydxdy，其中D是由直线y

.

x,y1,x0所围成的平面区域.

【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于

后y”积分较容易，所以

x的一次函数，“先x

y

D

2

xydxdy

10

dy

y0

y

2

xydx

23

证明：当0

10

12

yy

3

xy

2

y0

dy

23

10

ydy

2

29

（17）（本题满分10分）

ab时，

bsinb2cosb

basina

x

2cosaasina

a.

.

【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明【详解】令f(x)则又

xsinx2cosxxcosxxsinxb

2sinxcosx

2cosasinx

a,0ax0.

b

，

f(x)f(x)

a

sinxcosxx0，即bsinb

xcosxxsinx

，且f()

0，（0x时,nxis

f()

x0

），

，则f(x)单调增加，于是0

故当0时，f(x)单调减少，即f(x)

f(b)f(a)

2cosbbasina2cosaa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线斜率之差等于

其上任意点Px,yL过点M1,0，

x0处的切线斜率与直线OP的

ax（常数a>0）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当

L与直线y

ax所围成平面图形的面积为

83

时，确定

a的值.

【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；参数.

【详解】(Ⅰ) 设曲线

(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定

L的方程为y

f(x)，则由题设可得

P(x)

2

y

yx

1

ax，这是一阶线性微分方程，其中

dx

1dxx

1x

,Q(x)ax，代入通解公式得

ye

x

axedxCxaxCaxCx，

-12 -

学府考研

学府考研

又f(1)0，所以Ca.

故曲线L的方程为

yax

2

ax(x0).

(Ⅱ)

L与直线yax（a>0）所围成平面图形如右图所示

. 所以

2D

0ax

ax

2

axdx

2a

0

2x

x

2

dx

483a

3

，

故a2.

19）（本题满分10分）

求幂级数

1

n1

x

2n1

n1

n2n1

的收敛域及和函数

s(x).

【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.

n1

【详解】记

un(x)

(1)x

2n1

n(2n1)

，则

(1)nx

2n3

lim

un1(x)n

ulim(n1)(2n1)n

(1)n1x2n1x2

.

n(x)

n(2n1)

所以当x

2

1,即x1时，所给幂级数收敛；当x

1时，所给幂级数发散；

n

当x1时，所给幂级数为

(1)

n1

n(2n1),

(1)

n(2n1)

，均收敛，

故所给幂级数的收敛域为

1,1n

在

1,1

内，

s(x)

(1)

n1

x

2n1

2x

(1)

n1

x

22xs1(x)，

n1n(2n1)n1

(2n1)2nn1

2n1

而

s(1)x1(x)

,s1(x)

(1)

n1

x

2n2

1

n

1

2n1n11x

2

，x

x

所以s1(x)s1(0)

0

s1(t)dt

10

1t

2

dt

arctanx，又s1(0)

0，

于是

s1(x)

arctanx.同理

学府考研

-13 -

（学府考研

s1(x)s1(0)

x0

s1(t)dt

x

0

x0x0

arctantdt

t1t

2

tarctant

又

dt12

xarctanxx

2

12

ln1x

2

，

s1(0)

0，所以

2

s1(x)

xarctanx

2

ln1

.

故s(x)2xarctanxxln1xx

.x1,1.

2xarctanx

2

由于所给幂级数在所以s(x)在x

1处都收敛，且s(x)

xln1x

2

在x1处都连续，

1成立，即2xarctanx

2

s(x)xln1x

2

，

x1,1.

（20）（本题满分13分）

设4维向量组问

1

1a,1,1,1,

3

T

2

2,2

1

a,2,2

3

T

,

3

3,3,3a,3

T

,

4

4,4,4,4a

T

，

a为何值时

1

,

2

,,

4线性相关

?当

,

2

,,

4

线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量

用该极大线性无关组线性表出参数

.

.

【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定

a；用初等变换求极大线性无关组

1

【详解】记以

,

2

,

3

,

4

为列向量的矩阵为

A，则

1aA

111

于是当当a当a

22a220或a

333a3

4444a

1

(10a)a.

3

A0,即a10时，

,

2

,

3

,

4线性相关

.

0时，显然10时，

1

1是一个极大线性无关组，且

2

21,

3

31,

4

4

1

；

234

9A

111

2822

3373

4446

，

-14 -

学府考研

学府考研

9

由于此时

282

2

337

. 3

A有三阶非零行列式

11

400，所以0

1

,

2

,

3

为极大线性无关组，且

1234

0，即

41

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵

A的各行元素之和均为

3,向量

1

1,2,1

T

,

2

0,1,1

T

是线性方程组

Ax0的两个解.

(Ⅰ) 求

A的特征值与特征向量；

,使得

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵

QAQ

T

；

（Ⅲ）求

A及A

32

6

E

，其中

E为3阶单位矩阵.

A的一个特征值和对应的特征向量；

0特征值所对应的特征向量.将A的A和A

32

6

【分析】由矩阵由齐次线性方程组

A的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵Ax0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是

Q；由QAQ

3，所以

T

线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵

【详解】(Ⅰ) 因为矩阵

可得到

E

.

A的各行元素之和均为

131，1

1A11

333

则由特征值和特征向量的定义知，

3是矩阵A的特征值，

(1,1,1)是对应的特征向量.对应

T

3的全部特征向量为

又由题设知矩阵

k，其中k为不为零的常数.

2

A

1

0,A

1

0，即A

1

0

1

,A2

0

2

，而且

1

,

2

线性无关，所以

0是

2

A的二重特征值，

,

2

是其对应的特征向量，对应

0的全部特征向量为

k1

1

k2

，其中

k1,k2为不全为零的常数.

(Ⅱ) 因为取

A是实对称矩阵，所以

1，

与

1

,

2

正交，所以只需将

1

,

2

正交.

1

-15 -

学府考研

学府考研

1

0

122

,1

32

2

1

,

111

1

6

20. 1

12

再将

,

1

,

2

单位化，得

1136

11

22

1

3,

1

2

6,

2

3

0，

1

2

1113

6

2

令

Q

1,2,

T

3

，则

Q

1

Q，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得

3

QT

AQ

0

.

03

(Ⅱ)知QT

AQ

0

，所以

0

1

111

113623

333QQ

T

123600121111A66111. 1110

61111

3

6

2

2

0

12

6

6

Q

T

A

32

EQQ

T

A36

2

EQ

QT

AQ

32

E

6

36

3

3

2

2

0

336

36

0

2

2

2

E，

336

2

2

学府考研

-16 -

（Ⅲ）由学府考研

3

则AE

2

设随机变量

6

3Q

2

6

EQ

T

32

6

E.

（22）（本题满分13分）

X的概率密度为

1

,1x021

,0x2，4

0,　其他

fXx

令YX,Fx,y为二维随机变量(X,Y)的分布函数.

fYy；

2

(Ⅰ) 求Y的概率密度(Ⅱ) Cov(X,Y)；

(Ⅲ) F

12

,4.

然后求导得相应的概率密度或利用公式计算

.

【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，【详解】（I）设Y的分布函数为1)2)

当y当0

FY(y)，即FY(y)

P(Yy)P(X

2

y)，则

0时，FY(y)y

1时，

0y

0；

P(X

y

2

FY(y)12dx

y)34y)14

y

Py. P12

.

yXy

14

0

dx

2

3)

当1y

4时，FY(y)

01

P(X

y

1Xy

12

dx

14

0

dx

4)

当y

4，FY(y)

1.

所以

38y

fY(y)FY(y)

18y

,0y1

. 4

,1y

0,其他

-17 -

学府考研

学府考研

（II）

Cov(X,Y)

01

Cov(X,X)

2

2

E(X

2

01

EX)(X

x

2

2

EX)

2

2

EX

56

，

3

EXEX，

2

而EX

x2

dx

3

x4

0

dx

3

14

，EX

2

dx

x

2

0

4

dx

EX

3

0x

2

dxx

dx

7，

1

2

所以

Cov(X,Y)

(Ⅲ) F

12

,40

4

871528

46

3.

X12

,Y4PX

12

,21211

2

dx

14

.

PX

12,X

2

X2P

2X

学府考研

4

12

P学府考研

（23）（本题满分13分）

设总体

X的概率密度为

,

0x1,fx;

1,1

x

2,

0,

其他,

其中是未知参数

0

1，X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本，记

小于1的个数. （Ⅰ）求的矩估计；（Ⅱ）求

的最大似然估计

【分析】利用矩估计法和最大似然估计法计算.

1

2

【详解】（Ⅰ）因为EXxf(x;)dx

0

xdx1

x1dx

32

令

3的矩估计为

32

X，可得

2

X.

（Ⅱ）记似然函数为

L()，则

L()

11

1

N

(1)

nN

.

N个

nN个

学府考研

N为样本值，

x1,x2...,xn中

-22 -

学府考研

)，

为

的最大似然估计.

学府考研

-23 -

两边取对数得

lnL()

令

Nlnn1N

(nN)ln(1

Nn

dlnL()d

N

0，解得

学府考研

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1cosx,x0

(1)若函数f(x)在x0处连续，则（）axb,x0

（A）ab

12(B)ab

12(C)ab0(D)ab2

(2)二元函数zxy(3xy)的极值点（）（A）(0,0)

(B)(0,3)

(C)(3,0)

(D)(1,1)

(3)设函数fx可导，且fxfx0则（）（A）f1f1(C)(B)f1f1(D)f1f1f1f1

(4)若级数11sinkln1收敛，则kn

nn2

(B)2(C)-1(D)-2(A)1(5)设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A)E不可逆T(B)E不可逆T(C)E2不可逆T(D)E2不可逆T200(6)已知矩阵A021001(A)A与C相似，B与C相似(B)A与C相似，B与C不相似(C)A与C不相似，B与C相似210100B020C020，则001002(D)A与C不相似，B与C不相似学府考研

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(7)设A、B、C为三个随机事件，且A与C相互，与C相互，则AB与C相互的充要条件是(A)A与B相互(B)A与B互不相容(C)AB与C相互(D)AB与C互不相容1n

(8)设X1,X2......Xn(n2)来自总体N(,1)的简单随机样本，记XXi

ni1

则下列结论中不正确的是：(A)(X

i1

n

i

)2服从2分布2

2

(B)2(XnX1)服从分布(C)(X

i1

n

i

X)2服从2分布2

(D)n(X)

服从分布2

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。(9)(sin3x2x2)dx

t

(10)差分方程yt12yt2的通解yt(11)设生产某产品的平均成本C(Q)1e

Q

，其中Q为产量，则边际成本为(12)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)yeydxx(1y)eydy,f(0,0)0，则f(x,y)

101

(13)矩阵A112,1,2,3,为线性无关的三维列向量组，则向量组A1,A2,A3,的011

秩为学府考研

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(14)设随机变量x的概率分布为PX2

1

，PX1a,PX3b，若2EX0则DX

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15)求limx0

x0xtetx3dty3

dxdy，其中D是第一象限中曲线yx与x轴边界的无界(16)计算积分

D

1x

2

y

42区域(17)求lim

kk

ln12n

nk1nn

(18)已知方程11

k在区间0,1内有实根，求k的范围ln1xx

1

(19)若a01，an0，an1(nanan1)(n1,2,3....)，S(x)为幂级数anxn的n1n1

和函数(1)证明ax

n1

n



n

的收敛半径不小于1(2)证明(1x)S(x)xS(x)0x(1,1)，并求S(x)的表达式(20)设2阶矩阵A1,2,3有3个不同的特征值，且3122（I）证rA2

(II)123,求AX的通解(21)设二次型fx1,x2,x32x1x2ax32x1x28x1x32x2x3222在正交变换xQy下的标准型为1y12y2求a的值及一个正交矩阵Q

2

2

(22)设随机变量X,Y相互，且X的概率分布为2y,0y11

PX0PX2,Y的概率密度为fy

20,其他

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（I）求PYEY(II)求ZXY的概率密度(23)（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果x1,x2,,xn相互，且均服从正态分布N,2

，该工程师记录的是n次测量的绝对误差zixi,i1,2,,n，利用z1,z2,,zn估计(I)求z1

的概率密度(II)利用一阶矩求的矩估计量(III)求的最大似然估计量学府考研

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2017 年考研数学三解析

一、选择题

1—8小题．每小题

4分，共32分．

1．若函数

f(x)

1cosx

,x0在

xax

b,x0

12

（B）ab

0处连续，则

（A）ab

12

（C）ab0（D）ab2

【详解】必须满足

x

limf(x)

0

1cosxlimx0ax

ab

12x

1

xlim2x0ax

1

，limf(x)2ax0

b

f(0)，要使函数在x

0处连续，

12a

b

．所以应该选（A）

2．二元函数zxy(3y)的极值点是（

（B）(0,3)

）

（C）(3,0)

（D）(1,1)

（A）(0,0)

【详解】

zx

2

y(3xy)

2

xy3y

2

2xyy，

2

zy

3xx

2

2xy，

z2x

2

z2y,2

y

z

z2x,

xy3y2xy3xx

2

zyx0

32x

解方程组

xzy

2

y

2

，得四个驻点．对每个驻点验证

ACB，发现只有在点

2

(1,1)处满足

2xy0

C

2

0，所以(1,1)为函数的极大值点，所以应该选（f(x)f(x)

f(1)

0，则

（C）

ACB3

0，且A

D）

3．设函数

f(x)是可导函数，且满足

f(1)

2

（A）f(1)【详解】设

（B）f(1)

f(1)f(1)

f(x)

2

（D）

f(1)f(1)

g(x)

f(1)

2

(f(x))，则g(x)

f(1)1n

2f(x)f(x)0，也就是

是单调增加函数．也就得到

f(1)

2

f(1)，所以应该选（C）1n

)收敛，则k

4．若级数

n2

sinkln(1

（（C）

）

（A）1（B）21

（D）

2

1

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【详解】iv

n

时sin

1n

kln(1

1n

)

1n

k

1n

112n

2

o1n

1n

2

(1k)

1n

k12n

2

o

1n

2

显然当且仅当(1（C）．5．设

k)0，也就是k1时，级数的一般项是关于

的二阶无穷小，级数收敛，从而选择

为n单位列向量，E为（A）E（C）E

T

n阶单位矩阵，则

（B）E（D）E

T

不可逆

T

不可逆

2

T

不可逆

2

T

T

不可逆

T

【详解】矩阵为0,1,1,

的特征值为1和n1个0，从而

E

,E,E2

T

T

,E2

T

的特征值分别

1；2,1,1,,1；1,1,1,,1；3,1,1,,1．显然只有E

存在零特征值，所以不可逆，应

该选（A）．

2

6．已知矩阵A

020

01，B1

200

120

00，C1

100

020

00，则2

00

（A）A,C相似，B,C相似（C）A,C不相似，B,C相似【详解】矩阵

（B）A,C相似，B,C不相似（D）A,C不相似，B,C不相似

A,B的特征值都是

0

000

0

12

2,

3

1．是否可对解化，只需要关心2的情况．

对于矩阵A，2E

A00

1，秩等于1 ，也就是矩阵A属于特征值1

A~C．

0，秩等于2 ，也就是矩阵A属于特征值1

B,C不相似故选择（B）．

A,C相互，B,C相互，则A

2存在两个线性无关的特

征向量，也就是可以对角化，也就是

0

对于矩阵B，2E

1000

2只有一个线性无关的特

B00

征向量，也就是不可以对角化，当然7．设A,B，C是三个随机事件，且条件是（

）

B与C相互的充分必要

（A）A,B相互（C）AB,C【详解】

相互

（B）A,B互不相容（D）AB,C互不相容

2

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P((AB)C)P(ACAB)(P(A)

P(AC)P(B)

P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(ABC)

P(A

显然，A

B)P(C)P(AB))P(C)

P(ABC)

P(A)P(C)P(B)P(C)P(AB)P(C)

B与C相互的充分必要条件是．P(AB)P(C)，所以选择（C ）

8．设

X1,X2,,Xn(n

）

2)为来自正态总体N(,1)的简单随机样本，若X

1n

n

Xi，则下列结论中不

i1

正确的是（

n

（A）

i1

(Xi

n

)服从

22

分布

（B）2XnX1服从

2

2

分布

（C）

i1

(XiX)服从

22

分布（D）

n(X)服从

22

分布

n

解：（1）显然

(Xi)~N(0,1)(Xi)~

22

(1),i1,2,n且相互，所以

i1

(Xi)服从

2

2

(n)分布，也就是（A）结论是正确的；

n

（2）

i1

(Xi

X)

2

(n1)S

1n)

2

(n1)S

2

2

~

2

(n1)，所以（C）结论也是正确的；

n(XX12

)~

2

2

（3）注意X~N(,n(X)~N(0,1)

Xn

(1)，所以（D）结论也是正确的；(Xn

X1)~

2

2

（4）对于选项（B）：(Xn论是错误的，应该选择（二、填空题（本题共9．

B）

X1)~N(0,2)~N(0,1)

12

(1)，所以（B）结

6小题，每小题

2

4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

．

3

(sinx

3

x)dx

3

2

2

2

解：由对称性知

(sinxx)dx2

2

0

xdx

2

2

．

10．差分方程

yt

1

2yt

yt

2的通解为

1

t

．

【详解】齐次差分方程设

2yt

0的通解为y

t

C2；

12

；

x

yt

1

2yt2的特解为ytyt

1

t

at2，代入方程，得a

的通解为y

所以差分方程

2yt

2

t

C2

Q

t

12

t2.

.

t

11．设生产某产品的平均成本

C(Q)1e，其中产量为Q，则边际成本为

3

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【详解】答案为平均成本

1(1Q)e．

QC(Q)

QQe，从而边际成本为

Q

Q

Q

()1CQe，则总成本为C(Q)

C(Q)1(1Q)e.

f(x,y)具有一阶连续的偏导数，且已知

Q

12．设函数

df(x,y)yedxx(1y)edy，f(0,0)

yy

0，则

f(x,y)

【详解】df(x,y)所以

所以f(x,y)yedxx(1y)edyd(xye)，

y

y

y

y

xye

y

由f(C，0,0)0

，得C0，

f(x,y)

xye．

1

011

12，1

1

13．设矩阵A10

,

2

,

3

为线性无关的三维列向量，则向量组

A1,A

2

,A

3

的秩

为．

1

【详解】对矩阵进行初等变换

011

121

3

100

011111

100

010

1

1，知矩阵A的秩为2，由于0

A10

1

,

2

,

3为线性无关，所以向量组

A1,A2,A

的秩为2．

14．设随机变量

X的概率分布为

．

PX2

121

，

PX1a，PX3b，若EX0，则

DX

【详解】显然由概率分布的性质，知

a3b1

b

12

EXEX

2

2

12

1a9b

92

3b

，DX

a0，解得aE(X)

2

14

,b

14

2aEX

2

92

．

三、解答题

15．（本题满分10分）

x

求极限

x

lim

0

0

xtedtx

3

x0u

x0x

t

【详解】令

xtu，则

x

txu,dt

t

du，e

x

x0

xtedt

t

ue

u

xu

duxe

limx03

x2

x

x

lim

0

0

xtedtx

3

x

lim

0

uedux

3

x

lim

0

0

uedux

3

23

4

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16．（本题满分10分）计算积分

D

y(1x

2

3

y)

42

dxdy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域．

【详解】

y

D

3

(1x

2

y)

42

dxdy

0

dx

x0

y(1x

x

2

3

y)

2

42

dy

4

1

414

17．（本题满分10分）

n

0

dx

0

d(1xy)

242

(1xy)

112x

2

1

0

1x

2

dx

8

1

22

求lim

n

k1

kn

2

ln1

kn

【详解】由定积分的定义

n

lim

n

k1

kn

2

ln1

kn

n

lim12

10

1n

n

kn

ln1

2

kn14

10

xln(1x)dx

k1

ln(1x)dx

18．（本题满分10分）已知方程

1ln(1

x)

1x1ln(1

k在区间(0,1)内有实根，确定常数k的取值范围．

【详解】设

f(x)

1x)

x

,x

(0,1)，则

f(x)

令

1

(1x)ln(1x)(1x)ln(1x)

2

22

1x

22

(1x)ln(1x)xx(1x)ln(1x)

2

2

22

g(x)x，则g(0)0,g(1)2ln210

2

g(x)

g(x)

ln(1x)2ln(1x)2x,g(0)

2(ln(1

x)

x)

0,x

1x

所以当x0，

(0,1)，所以g(x)在(0,1)上单调减少，

g0)

也就是g(x)g(x)在(0,1)上单调减少，当x0，

由于g(0)时，g(x)

(0,1)时，g(x)

x

(0,1)

g(0)0，进一步得到当(0,1)时，f(x)0，也就是f(x)在(0,1)上单调减少．

1ln2

1ln2

12

x

limf(x)

0

lim

x

0

1

ln(1x)1xxln(1x)limx0

xln(1x)

5

1

，f(1)2

1，也就是得到1k

．

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19．（本题满分10分）设a0

1,a10,an

1

1

n1

(nanan1)(n

1,2,3

),，S(x)为幂级数

n0

anx的和函数

n

（1）证明

n0

anx的收敛半径不小于1．x)S(x)

1

n

（2）证明(1xS(x)

1n1

0(x(nan

(1,1))，并求出和函数的表达式．an1)

(n1)an

anan

12

11

【详解】（1）由条件annanan

an1

1

也就得到

(n1)(an

1

an)

ana1

ana0

n1

(an

anan1(n1)!

an1)，也就得到

anan,n

1

an

1

n1a1a0

,n1,2,

11

anan

1

anan

a2a1

(1)

n

1(n1)!

也就得到an

1

an

(1)1,2,

n

an

1

(an

1

an)(anan1)(a2a1)a1

k2

(1)

k1

1k!

n

lim

n

n

an

limn

12!13!

n

1n!

limn

n

e1，所以收敛半径R1

（2）所以对于幂级数

n0

anx，由和函数的性质，可得

n1

S(x)

n1

nanx

n1

n1

，所以

(1x)S(x)(1x)

n1

nanx

n

nanx

n1

nanx

n1

n

(n1)an1x

n0

nanx

n1

n

a1

n1

((n1)an

an1x

n

n0

1

nan)x

n1

n

anx

x

n0

anx

n

xS(x)

n1

也就是有(1x)S(x)xS(x)0(x(1,1))．

Ce

x

解微分方程(1x)S(x)

x

xS(x)0，得S(x)

1x

，由于

S(0)

a0

1，得C

1

所以S(x)

e

1x

．

6

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20．（本题满分11分）设三阶矩阵

A

1

,

2

,

3

有三个不同的特征值，且

31

2

2

.

（1）证明：r(A)（2）若

2；

2

1

,

3

，求方程组Ax

的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以假若r(A)

A是非零矩阵，也就是r(A)1．

2，又因为

1时，则r

2

0是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有r(A)

1

31

20，也就是,

2

,

3线性相关，

r(A)3，也就只有r(A)2．

3

1

（2）因为r(A)2，所以Ax1

0的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于

2

2

0，所

以基础解系为

x2；1

1

又由

12

,

3

，得非齐次方程组

Ax

的特解可取为

1；1

1

方程组Ax

的通解为x

1

1，其中k为任意常数．1

k21

21．（本题满分11分）设二次型

211

f(x1,x2,x3)

22

2x1

22

x2a3x21x2x81x3x2在2x正3x交变换x

Q．41a

2

Qy下的标准形为

y

2

y，求a的值及一个正交矩阵

2

111

2

2

2

【详解】二次型矩阵

A14

因为二次型的标准形为

211

yy．也就说明矩阵

1

111

2

A有零特征值，所以

412

3

A0，故a

2.

EA14

(3)(6)

令

EA0得矩阵的特征值为

1

3,6,0．

7

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通过分别解方程组

(iE

A)x0得矩阵的属于特征值

1

3的特征向量

1

1

1

1，属于特征值特1

3

征值

2

6的特征向量

1

2

101

，

3

2

0的特征向量

1

3

12，1

6

131

3

12012

1

6

2为所求正交矩阵．616

12

所以

Q

1

,2,

313

22．（本题满分11分）

设随机变量X,Y相互，且X的概率分布为PX

0P{X2}

，Y的概率密度为

f(y)

2y,0y1

0,其他

．

（Y（1）求概率P

（2）求Z

EY）；

XY的概率密度．

yfY(y)dy

10230

【详解】（1）EY2ydy

2

23

.

所以

PY

X

EYPY

23

2ydy

49

.

（2）ZY的分布函数为

FZ(z)

PZPX

z0,Y

PXz

YPX

zPX2,Y

Yz,X0PXYz,X2

z2

11

P{Yz}PY221

FY(z)FY(z2)2

故Z

z2

XY的概率密度为

fZ(z)FZ(z)

1

2z,

f(z)

0

f(z2)z1z

3

z2,20,

23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了

8

其他

n次测量，该物体的质量

是已知的，设

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n次测量结果X1,X2,

差

,Xn相互且均服从正态分布,n)，利用Z1,Z2,

N(,

2

).该工程师记录的是

n次测量的绝对误

ZiXi

,(i1,2,

,Zn估计参数

．

（1）求

Zi的概率密度；

的矩估计量；

最大似然估计量．

（2）利用一阶矩求（3）求参数

【详解】（1）先求

Zi的分布函数为

PXi

0；

z

PXi

2

FZ(z)

当z

PZi

zzP

Xi

z

0时，显然FZ(z)0时，FZ(z)

当z

PZi

z

z2

P

Xi

z

2

z

1；

所以

Zi的概率密度为fZ(z)FZ(z)

2

e0,

2

2

,zz

z

22

00

．

（2）数学期望

EZi

n

0

zf(z)dz

2

0

2

ze22

2

dz

2

22

n

，

令EZZ

1n

Zi，解得

i1

的矩估计量

Z0,i

2n

Zi．

i1

（3）设

Z1,Z2,

,Zn的观测值为z1,z2,

n

,zn．当zi

1

n

n2i1

1,2,n时

似然函数为L()

i1

f(zi,)

n2

2i

2(2ln(2)

n

)

e

2

zi2

，

取对数得：lnL()nln2nln

12

2

n

z

i1

2i

令

dlnL()d

n1

3

n

z

i1

0，得参数

最大似然估计量为

1n

n

z．

i1

2i

9

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2018年考研数学三真题及答案