【绿色通道】2012高三数学一轮复习 第4章平面向量 数系的扩充与复数的引入检测 文 新人教A版

单元质量检测(四)

一、选择题

1．若复数(a－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值是

( )

A．1 B．3 C．1或3 D．－1

a－4a＋3＝0

解析：由题意知

a－1≠0

2

2

，解得a＝3.

答案：B

11

2．复数＋的虚部是

－2＋i1－2i()

11A.iB. 5511C．－iD．－

5511解析：∵＋

－2＋i1－2i＝＝

－2－i1＋2i＋

－2＋i－2－i1－2i1＋2i－2－i1＋2i11

＋＝－＋i， 5555

1∴虚部为.

5答案：B

3．平面向量a，b共线的充要条件是

( )

A．a，b方向相同

B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．∃λ∈R，b＝λa

D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0

解析：A中，a，b同向则a，b共线；但a，b共线则a，b不一定同向，因此A不是充要条件．

若a，b两向量中至少有一个为零向量，则a，b共线；但a，b共线时，a，b不一定是零向量，如a＝(1,2)，b＝(2,4)，从而B不是充要条件．

当b＝λa时，a，b一定共线；但a，b共线时，若b≠0，a＝0，则b＝λa就不成立，

- 1 - / 10

word

从而C也不是充要条件．

对于D，假设λ1≠0，则a＝－

λ2

b，因此a，b共线； λ1

反之，若a，b共线，则a＝b，即ma－nb＝0. 令λ1＝m，λ2＝－n，则λ1a＋λ2b＝0. 答案：D

4．如下图所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，M，N分别是AB，CD的中点，→→→

设AB＝e1，AD＝e2，MN可表示为

( )

nm

11

A．e2＋e1B．e2－e1

6211

C．e2－e1D．e2＋e1

33

1→→→→1→→

解析：MN＝(MD＋MC)＝(MD＋MD＋DC)

22

1111111→→→

＝[2(MA＋AD)＋DC]＝[2(－e1＋e2)＋e1]＝－e1＋e2＋e1＝e2－e1. 2223263答案：C

5．向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a＋b)⊥(2a－b)，则向量a与b的夹角为

( )

A．45° B．60° C．90° D．120°

解析：由(a＋b)⊥(2a－b)得(a＋b)·(2a－b)＝0， 即2|a|＋|a|·|b|cosα－|b|＝0，把|a|＝1，

|b|＝2代入得cosα＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C

→→→→→→6．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，→→→→则AD＋BE＋CF与BC

( )

A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直

- 2 - / 10

2

2

word

解析：∵→DC＝2→BD，∴→BC－→BD＝2→

BD， ∴→BD＝1→3

BC.

∵→CE＝2→EA，∴→BE－→BC＝2→BA－2→BE， ∴→BE＝2→1→3BA＋3

BC.

∵→AF＝2→FB，∴→BF－→BA＝－2→BF，∴→BF＝1→

3BA.

∴→AD＋→BE＋→CF＝→BD－→BA＋→BE＋→BF－→BC ＝1→3BC－→BA＋2→3BA＋1→3BC＋1→→3BA－BC ＝－1→3

BC.

∴→AD＋→BE＋→CF与→

BC反向平行． 答案：A

7．已知非零向量a，b，若a·b＝0，则|a－2b|

|a＋2b|

等于

A.1

4B．2 C.1

2D．1 解析：|a－2b|a－2b2

a2＋4b2

|a＋2b|＝

a＋2b2

＝a2＋4b2

＝1. 答案：D

8．在△ABC中，若→BC2＝→AB·→BC＋→CB·→CA＋→BC·→

BA，则△ABC是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：因为→AB·→BC＋→CB·→CA＋→BC·→

BA ＝→BC·(→AB－→CA＋→BA)＝→BC·→AC，

故→BC2－→BC·→AC＝→BC·(→BC－→AC)＝→BC·→

BA＝0， 即∠B＝π2

.

- 3 - / 10

)

)

(

( word

答案：B

9．(2009·某某高考)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为

( )

A．6 B．2 C．25D．27

解析：如图，F3的大小等于F1、F2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB中OB的长就是F1、F2的合力的大小，且在△OAB中，∠OAB＝120°，OB＝F1＋F2－2F1·F2cos120°＝28＝27，即F3为27.

2

2

答案：D

ππ→→→10．(2009·某某二检)函数y＝tan(x－)的部分图象如下图所示，则(OA＋OB)·AB＝

42

( )

A．－6 B．－4 C．4 D．6

解析：函数y＝tan(x－)的图象是由y＝tanx的图象向右平移个单位，再将图象的

4224πππππ横坐标扩大为原来的倍得到，所以点A的坐标为(2,0)，令tan(x－)＝1得x－＝，π42424→→→

故可得B点坐标为(3,1)，所以(OA＋OB)·AB＝(5,1)·(1,1)＝6.

答案：D

11．(2009·某某二测)设点P为△ABC的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB＝2，AC→→

＝4，则AP·BC＝

( )

A．8 B．6 C．4 D．2

πππ- 4 - / 10

word

解析：我们可以采用特殊方法解答，设A(－1,0)，B(1,0)，C(－1,4)，则外心P为(0,2)，→→→→

故AP＝(1,2)，BC＝(－2,4)，故AP·BC＝6.

答案：B

→→→

12．(2009·某某教学检查)已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB(其中

λ∈R)，则点P一定在

( )

A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上 C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上

→→→→→→→

解析：CB＝PB－PC＝λPA＋PB化简即得－PC＝λPA，由共线向量的充要条件可知，点P，

A，C三点共线，所以答案选B.

答案：B 二、填空题

a＋3i13．若复数(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝________.

1＋2ia＋3ia＋3i解析：∵＝

1＋2i1＋2ia＋65＝0∴3－2a5≠0

答案：－6

14．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝________. 解析：|a－2b|＝a＋4b－4a·b ＝1＋4－4

cos10°cos70°＋sin10°sin70°

2

2

1－2ia＋63－2a＝＋i，

1－2i55

，∴a＝－6.

＝5－4cos60°＝3. 答案：3

→→→

15．(2009·某某一调)已知AD是△ABC的中线，AD＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，那么λ→→→

＋μ＝________；若∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|AD|的最小值是________．

→1→→

解析：若AD为△ABC的中线，则有AD＝(AB＋AC)，

2∴λ＋μ＝1.

→21→→21→2→2→→1→2→2

|AD|＝(AB＋AC)＝(|AB|＋|AC|＋2AB·AC)＝(|AB|＋|AC|－4)，

444

- 5 - / 10

word

→→AB·AC→2→2→→→

∵|AB|＋|AC|≥2|AB|·|AC|＝2＝8，所以|AD|≥1.

cos120°答案：1 1

→→

16．(2009·某某高考)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图→→→

所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．

13

解析：以O为坐标原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则可知A(1,0)，B(－，)，

222π323

设C(cosα，sinα)(α∈[0，])，则有x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y333＝cosα＋3sinα＝2sin(α＋

答案：2 三、解答题

→→

17．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试→→

用c，d表示AB，AD.

π)，所以当α＝时，x＋y取得最大值为2. 63

π

→→

解法一：设AB＝a，AD＝b， 1→→

则a＝AN＋NB＝d＋(－b)①

2

b＝AM＋MD＝c＋(－a)②

11

将②代入①得a＝d＋(－)[c＋(－a)]

2242

⇒a＝d－c，代入②

33

14242

得b＝c＋(－)(d－c)＝c－d.

23333→→

解法二：设AB＝a，AD＝b.

→→

12

- 6 - / 10

word

因M，N分别为CD，BC中点， →1→1所以BN＝b，DM＝a.

221c＝b＋a2因而1

d＝a＋b2

2

a＝3⇒2

b＝3

2d－c2c－d

，

→2→2

即AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．

33

18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)， (1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值； (2)求c在a方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.

解：(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线． 又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，

a·b－12

∴cos〈a，b〉＝＝＝－.

|a||b|5210

(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c在a方向上的投影为(3)∵c＝λ1a＋λ2b，

∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，

a·c－77

＝＝－2. |a|22

4λ2－λ1＝5

∴

λ1＋3λ2＝－2

23

λ＝－7

，解得3

λ＝7

12

.

19．设△ABC的外心为O，则圆O为△ABC的外接圆，垂心为H.

→→→→

求证：OH＝OA＋OB＋OC.

证明：延长BO交圆O于D点，连AD、DC， 则BD为圆O的直径，故∠BCD＝∠BAD＝90°. 又∵AE⊥BC，DC⊥BC， 得AH∥DC，同理DA∥CH.

- 7 - / 10

word

∴四边形AHCD为平行四边形， →→∴AH＝DC.

→→→→→又∵DC＝OC－OD＝OC＋OB， →→→∴AH＝OB＋OC. →→→又∵OH＝OA＋AH， →→→→∴OH＝OA＋OB＋OC.

→→→→

20．(1)如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若OA＝a，OB＝b，试用a，b表示OP，OQ，→→→→

并判断OP＋OQ与OA＋OB的关系；

(2)受(1)的启示，如果点A1，A2，A3，…，An－1是AB的n(n≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

→→→→1→

解：(1)OP＝OA＋AP＝OA＋AB

3

1→2→21→1→→

＝OA＋(OB－OA)＝OB＋OA＝a＋b.

33333→12

同理OQ＝a＋b，

33→→→→∴OP＋OQ＝a＋b＝OA＋OB.

→

(2)OA1＋OAn－1 →

＝OA2＋OAn－2 →→

＝…＝OA＋OB. 证明如下：

→→→→1→

由(1)可推出OA1＝OA＋AA1＝OA＋AB

nn－1→1→→1→→

＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB，

nnn- 8 - / 10

word →n－11∴OA1＝a＋b，

nn1n－1同理OAn－1＝a＋b，

nnOA2＝

…

→

n－222n－2

a＋b，OAn－2＝a＋b， nnnn→→→→因此有OA1＋OAn－1＝OA2＋OAn－2＝…＝OA＋OB.

→→→→

21．已知△ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB·BC＝6，AB与BC的夹角为θ. (1)求θ的取值X围；

(2)求函数f(θ)＝sinθ＋2sinθ·cosθ＋3cosθ的最小值． 解：(1)由题意知：

→→→→

AB·BC＝|AB|·|BC|·cosθ＝6①

2

2

S＝|AB|·|BC|·sin(π－θ)

1→→

＝|AB|·|BC|·sinθ② 2

1→2

→

S1

②÷①得＝tanθ，即3tanθ＝S.

62

由3≤S≤3，得3≤3tanθ≤3，即

3

≤tanθ≤1. 3

ππ→→

∵θ为AB与BC的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[，]．

(2)f(θ)＝sinθ＋2sinθ·cosθ＋3cosθ ＝1＋sin2θ＋2cosθ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋)．

4

2

2

2

ππππ7π3π∵θ∈[，]，∴2θ＋∈[，]．

4124

π3ππ∴当2θ＋＝，即θ＝时，f(θ)有最小值为3.

444

22．(2009·某某高考)设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

- 9 - / 10

word

解：(1)因为a与b－2c垂直，所以

a·(b－2c)＝4cosαsinβ－8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsinβ＝4sin(α＋β)

－8cos(α＋β)＝0，

因此tan(α＋β)＝2.

(2)由b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，得 |b＋c|＝

sinβ＋cosβ2

＋4cosβ－4sinβ2

＝17－15sin2β≤42.

又当β＝－时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为

442.

4cosαsinα(3)由tanαtanβ＝16得＝，所以a∥b.

sinβ4cosβ

π- 10 - / 10