7.4 整周跳变的探测与修复

GPS载波相位测量，只能测量载波滞后相位1周以内的小数部分，不能测量载波滞后相位的整周数(N0)。其后的载波滞后相位整周数变化值（始后周数），是通过多普勒积分由电子计数器累计读得的。由于GPS信号接收机自身故障或GPS信号意外中断，导致载波锁相环路的短暂失锁，而引起多普勒计数的短暂中断；当载波锁相环路重新锁定后，多普勒计数又重新开始，以致造成载波滞后相位整周数变化值（始后周数）的不连续计数。这种多普勒计数的中断现象，称为整周跳变，简称为周跳（cycle slip）。

当GPS载波相位观测值没有发生周跳时，卫星一次通过的载波滞后相位整周数是连续的，各时元（历元）的观测值都会含有一个共同的整周未知数，即时元t1的整周模糊度N0，当发生周跳时，其后所有的载波相位观测值都会含有一偏差，该偏差就是中断期间所丢失的整周计数，即周跳后的载波相位观测中含有未知数N0。

所谓周跳的探测就是利用观测的信息来发现周跳。在探测出周跳后，利用观测信息来估计丢失的周数，从而修正周跳后的载波相位观测值，称为周跳的修复。在探测出周跳之后，也可将N0视为周跳后的整周模糊度而利用平差的原理解求出这个未知参数，这是一个整周模糊度的求解问题。

静态定位中，由于接收机静止不动，周跳的探测与修复问题已得到了很好的解决。在动态环境下，由于动态接收机在不断地运动中，周跳的探测与修复比静态定位要困难得多。

由于GPS信号接收机能提供多种观测信息，利用这些观测信息本身的相互关系（无需轨道信息），可以对周跳进行探测和修复，目前主要有下列方法。

（1）根据有周跳现象的发生将会破坏载波相位测量的观测值Int()随时间 而有规律变化的特性来探测周跳（高次差或多项式拟合法）

（2）利用载波相位及其变化率的多项式拟合来探测、修复周跳（多项式拟合法）； （3）利用伪距和载波相位观测值组合来探测、修复周跳（伪距/载波组合法）； （4）利用双频载波相位组合观测值探测、修复周跳（电离层残差法）。

7.4.1用高次差或多项式拟合法

此种方法是根据有周跳现象的发生将会破坏载波相位测量的观测值Int()随时间而有规律变化的特性来探测的。GPS卫星的径向速度最大可达0.9km/s．因而整周计数每秒钟可变化数千周。因此，如果每15s输出一个观测值的话，相邻观测位间的差值可达数万周，那么对于几十周的跳变就不易发现。但如果在相邻的两个观测值间依次求差而求得观

测值的一次差的话．这些一次差的变化就要小得多。在一次差的基础上再求二次差，三次差、四次差、五次差时．其变化就小得更多了。此时就能发现有周跳现象的时段来。四次、五次差已趋近于零。对于稳定度为1010的接收机时钟，观测间隔为15s，L1的频率为

91.5754210Hz，由于振荡器的随机误差而给相邻的L1载波相位造成的影响为2．4周，

所以用求差的方法一般难以探测出只有几周的小周跳。

通常也采用曲线拟合的方法进行计算。根据几个相位测量观测位拟台一个n阶多项式： 据此多项式来预估下一个观测值并与实测值比较，从而来发现周跳并修正整周计数。

表5—1出了不同历元由测站k对卫星j的相位观测值。因为没有周跳，对不同历元观 测值取至4至5次差之后的差值主要是由于振荡器随机误差而引起，具有随机特性。如果在 观测过程中产生了周跳现象，高次差的随机特性受到破坏。含有周跳影响的观测值及其差值 见表5—2。

载波相位及其差值

表5—1

观测历元 t1 t2 t3 k(t) j一次差 11608.7533 二次差 399.8138 三次差 四次差 475833.2251 487441.9784 12008.5671 499450.5455 12410.8883 t4 t5 t6 t7 t8 2.5074 402.3212 1.9277 404.2489 0.9639 2.8916 407.1405 -0.2721 2.6195 409.7600 -0.4219 2.1976 411.9576 -0.5797 511861.4338 12815.1372 524676.5710 13222.2777 537898.8487 13632.0377 551530.8864 565574.8817 14043.9953

含有周跳影响的载波相位及其差值

表5—2

观测历元 t1 t2 t3 k(t) j一次差 11608.7533 二次差 399.8138 三次差 四次差 475833.2251 487441.9784 12008.5671 499450.5455 12410.8883 t4 t5 t6 t7 t8 2.5074 402.3212 -98.0723 304.2489 300.9639 202.8916 507.1405 300.2721 -97.3085 409.7600 99.5781 411.9576 100.5797 511861.4338 12815.1372 524676.5710 13222.2777 537898.8487 13632.0377 551530.8864 565574.8817 14043.9953 由表5—2可见，历元：s观测值有周跳，使四次差产生异常。利用高次插值公式，可以外推该历元的正确整周计数．也可根据相邻的几个正确的相位观测值，用多项式拟合法推求整周计数的正确值。

7.4.2 多项式拟合法

从载波相位测量的特性可知，周跳前后，载波相位不再是连续函数，但其变化则是连续函数，且为载波相位的严格一阶导数。利用载波相位变化率、载波相位观测值可对周跳进行探测和修复。

加拿大学者Canon 于1989年建议采用以下模型来探测周跳。

Nk1kkk1t2(7.4.1)

式中：k，k1——载波相位观测值；

k1——载波相位变化率。 k， 中国陈小明博士于1993对上述模型进行适当扩充，而可得到多项式拟合法。它基于周跳前后载波相位观测值符合如下多项式模型

a0a1ta2t2a3t323a0a1ta2ta3tN(周跳前)(周跳后)(7.4.2)

式中：——以周表示的载波相位观测值；

N——周跳数；

a0，a1，a2，a3——待求系数。

载波相位变化率是载波相位的一阶导数，故载波相位变化率可写为

a12a2t3a3t2(7.4.3)

现选取5个时元的载波相位观测值及其变化率：

1,1,2,2,3,3,4,4,5,5 ,并假设前4个时元的载波相位观测值(1,2,3,4)没有周跳，而用它们来探测和修复第5和时元的载波相位观测值5的周跳，依次列如下误差方程：

FAXv(7.4.4)

式中：Xa0,a1,a2,a3,N

T1,2,3,4,5 F1,2,3,4,5,T11111A00000t1t2t3t4t511111t122222t13333322222t2t3t5t4t2t3t5t42t12t22t32t42t53t13t23t33t53t400001 00000根据最小二乘原理可解得

XAAAFT1T(7.4.5)

若解得的N(为给定限值)，则说明第5个时元的载波相位观测值5存在周跳，其周跳估值为N。这种方法假定孜给定区间内载波相位变化率为匀加速变化，在实际动态定位中，若目标动态变化较大，则会产生较大的模型误差。

现据1996年3月18日在海南省海口市所作的机载GPS测量成果，对上述多项式拟合进行解算实践。该次机载GPS动态载波相位测量采用1s数据采样率（更新率），依次用多项式拟合法探测25号卫星L1载波相位测量的周跳；图7.4.1、图7.4.2、图7.4.3分别表示

飞机处于静止待飞、常规直线飞行和加速起飞段的周跳探测结果（数据本身没有周跳）。图7.4.2、图7.4.3中黑线为飞机速度。从图7.4.1可见，对于GPS静态数据，多形式拟合法所得到的N均小于0.1周，故可探测出GPS静态定位的所有周跳。图7.4.2的结果表明，当载体作近似匀速

直线运动时，多项式拟合法可以探测出大于2周德周跳。图7.4.3的结果表明，由于飞机加速起飞时，特别是离地后，动态变化不稳定，N计算值噪声较大，但对于大部分时元N的计算小于2周，个别时元虽然大于2周，但小于5周。因而可选取N5为判断是否有周跳的标准。该方法的优点在于可分别对L1及L2非残差载波相位观测值或双频组合观测值进行周跳探测。但该方法需用到载波相位变化率观测量，而不适用于不能提供载波相位变化率观测值的GPS信号接收机。

7.4.3 电离层残差法

1989年美国学者Goad提出用双频载波相位测量的电离层残差，探测和修复周跳。称之为电离层残差法，它主要考察不同时元间电离层残差的变化。若不考虑量测噪声和多路径效应，同一时元的双频载波相位测量之差则为

gft11t22t2N21N1Atf12Atf22(7.4.6)

将上式两端同除以1，则有

gft11t212tAtAt(7.4.7)

21f1f2f1f2式中：ionN2N11f121f22N22f1At1N1221f1f2N2N1iont2f1At1t221f1f2 iont表示用L1波长的双频载波相位测量电离层延迟的差值，称之为电离层残差。若不

存在周跳，时元之间的gft1之差为

gft1gftgf11f1f21t112t12t(7.4.8)

iont1iontgf为时元间电离层残差的变化值。当电离层比较稳定、采样间隔较短（几秒钟），电离

层延迟的变化为亚厘米级。图7.4.4~7.4.7均为在海南省所作的机载GPS动态载波相位测量成果，其数据采样率是一秒钟，且没有发生载波相位测量的整周跳变；图7.4.4和图7.4.6分别是地面基准接收机和机载GPS信号接收机观测PRN29号卫星的电离层残差数据（用L1波长表示，单位为周），图中虚线为卫星的天顶距。图7.4.5和图7.4.7分别是地面基准接收机和机载GPS信号接收机接收观测PRN29号卫星的时元间电离层残差的变化。由图7.4.5可知，对于静态观测的GPS信号接收机时元间电离层残差变化较小，其值均小于0.005周。而图7.4.7表明，对于机载GPS信号接收机，由于多路径效应和测量误差的影响，电离层残差的变化较大，但其都小于0.05周。因而在电离层较稳定时，短时间内载波相位测量电离层残差的变化很小。若相邻两历元间电离层残差发生突变，则说明L1或L2的载波相位观测值可能存在周跳。若设L1，L2的周跳分别为N1，N2，则有

gff1f2f1f2N2N1iont1iontN2N17760

N2N1(7.4.9)此时，

gf是L1，L2周跳的线性组合。显然，如果L1，L2得周跳使7760N2N1gf等于或接近于零，从而使时元间电离层残差观测值的变化很小，则用该法无法探测出

周跳；亦即，当60N177N2时，有7760N2N10；此外，当N14，N23；N15，N24。N19，N27。N114，N211，时，7760N2N1均小于0.15周，特别是当N19，N27时，

7760N2N1仅为0.0167周，几乎和量测噪声相当（见表7.4.1）。根据上述机载GPS

gf测量成果，选取0.05周为探测周跳的标准，对于大部分周跳均可探测出来。但对

一些特殊的周跳组合，如N177，N260；N19，N27等，则难以探测出周跳。尽管如此，电离层残差法仍然是一种极好的双频周跳探测方法。若能联合应用其他周跳探测方法（如多项式拟合法），将周跳修复至7周以内，电离层残差法，则可正确探测出

所有周跳。

7.4.4 伪距/载相组合法

从GPS卫星测量误差特性可知，除电离层延迟、多路径效应、量测误差之外，其他误差源对伪距和载波相位测量的影响是相同的，故可用伪距和载波相位观测值的组合来探测和修复周跳。

单频伪距和载波相位测量的观测方程可表述如下：

RdIRdmRR(7.4.10)

(7.4.11)

NdIdm式中：R——伪距观测值；

——载波相位观测值；

——载波波长；

N——载波相位整周模糊度；

dIR，dI——分别为伪距和载波相位测量的电离层效应偏差； dmR，dm——分别为伪距和载波相位测量的多路径效应偏差；

R，——分别为伪距和载波相位的量测噪声。

将式（7.4.10）和式（7.4.11）相减可以得到： NRdIdIRdmdmRR(7.4.12)

将式（7.4.12）在时元间相减，由于时元间电离层延迟和多路径效应变化较小时，可以得到周跳的估值：

NNt2Nt1t2t1Rt2Rt1(7.4.13)

式（7.4.13）可用于单频、非差数据。其估计精度取决于电离层延迟和多路径效应在时元之间的变化，以及伪距和载波相位测量的量测噪声、载波波长的大小。在相同的观测条件下，波长越长，则对周跳的估计越精确。基于上述思想中国韩绍伟博士于1995年提出利用双频组合观测值1,1,7,9来探测和修复周跳的方法（此处1,1表示其测距等效波长为86.2cm，7,9表示其测距等效波长为1465.3cm）。每时元双频组合观测值的整周模糊度可用下式来估计：

Ni,ji,jRAf12i,j(7.4.14)

式中：i,jRi,j

RR111.647RR2

1.323RRR212 i,j4620i5929j4620i3600j式（7.4.14）中的R可选择为L1或L2的伪距R1或R2，也可选择R1，R2的平均值，根据不同接收机类型以及可用的伪距观测值，应选择量测噪声较小的伪距观测值作为R代入式中计算。若精确已知式（7.4.14）中的电离层延迟，则波长越长，N确定精度越高。

每一时元的Ni,j均可用（7.4.14）来估计，当时元间电离层延迟等变化较小时，时元间周跳可用下式估计。

Ni,jNt2i,jNt1i,jt2i,jt1i,jRt2Rt1(7.4.15)

i,j对于1,1,7,9分别有

N1,1t21,1t11,1Rt2Rt11,1Rt2Rt1

N7,9t27,9t17,97,9

根据N1,1，N7,9的定义有以下关系：

如果N1,1为奇数N7,9为奇数； 如果N1,1为偶数N7,9为偶数。

这一奇偶关系表明：当其中一个整周模糊度确定后，则另一个的等效波长变为原波长的两倍，因而更容易求解，对于周跳也存在同样的关系：

当N1,1为奇数N7,9为奇数； 当N1,1为偶数N7,9为偶数。

显然如果求得N1,1则N7,9的确定变得更容易，反之亦然。若确定1,1,7,9的周跳后，则1,2周跳可用下式确定：

N1N29N1,1N7,927N1,1N7,92(7.4.16)

图7.4.8~图7.4.11分别为一次机载GPS动态定位中7,9,1,1周跳探测的结果（GPS信号接收机为Trimble 4000SSE，数据采样率为1s，卫星号PRN25，RR1R22，无周跳），从图7.4.8和图7.4.10可见，无论是对静态GPS信号接收机，还是对机载GPS信号接收机，

N7,9的噪声不到0.25周，因此，除N19n,N27n(n1,2,)外所有的周跳都可

用7,9来探测到，从图7.4.9和图7.4.11可知；对于静态GPS信号接收机，N1,1不难确定到2周左右的水平。

若设真实跳周数分别N1、N2，且N7,9，N1,1的估值分别为N7,9，N1,1，则有

N7,9N7,9N1,1N1,1,(7.4.17)

2,0,2故知，

N27N1,1N7,929N1,1N7,92N7,97N1,172N7,99N1,192N27292(7.4.18)

N1N2(7.4.19)

从式（7.4.18）和式（7.4.19）可以得到3组N1和N2的估值，亦即(N1,N2),(N19,N27),(N19,N27)。对于N1和N2分别为9和7的整

数倍，且N1,1估计精确度为2周时周跳无法探测。

如果进一步提高伪距观测量精度，使N1,1能确定到一周以内的水平，则根据前述奇偶关系，可以唯一确定1,2的周跳。

综上所述，上列3种方法都可用于单站星非差观测值（图7.4.1~图7.4.11中均采用非差观测值）的周跳探测和修复，且可用于在预处理阶段的周跳探测和修复。多项式拟合法主要用于探测L1和L2的周跳，并可将L1的周跳修复到5周的水平。当动态较稳定时，可修复到2周的水平。对于GPS静态测量数据，则可完全修复周跳。电离层残差法，是探测GPS双频测量数据周跳的强有力武器。但存在对一些周跳组合不敏感的问题。伪距/载波组合法，虽也用于GPS单频测量数据的周跳探测，但精度较低。采用1,1,7,9组合的方法，虽难以唯一确定1,2的周跳，但很容易将周跳值限制在有限的几个组合内。由于这3种方法分别采用不同的观测量里探测和修复周跳，实际应用中，集3种方法之长，综合使用上述3种方法探测和修复周跳。对于GPS双频测量数据不难在预处理阶段探测和修复绝大部分的周跳。对于GPS单频测量数据，特别是GPS动态测量数据，仅利用站星观测值，难以完全探测出

一些小周跳，完全修复则更不可能，因而还需辅以其他信息来探测和修复周跳。