线性代数 第二章 矩 阵

第二章 矩 阵

2008年考试内容

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算

2008年考试要求

1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们

的性质。

2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。 3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴

随矩阵求逆矩阵。 4. 理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握矩阵

的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。 了解分块矩阵及其运算。

一、三基与拓展

1.1 矩阵的表示方式：A, Amn, An, aij, aijmn；大括弧与小括弧都可以。 1.2 研考中的几类重要矩阵

●行矩阵（又称行向量）：Aa1a2an

a2anT列矩阵（又称列向量，在没有指明的情形下，向量专指列向量Aa11●单位矩阵 E0a1●对角矩阵 0

0，在矩阵乘法中类似于1EAAEA 1A1，准对角矩阵（主对角元为分块矩阵）：an000 An对角矩阵的重要结论（准对角矩阵具有相对应的结论）：

a1 A0b1, Ban00

bn0

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a1b10a1b10（1）AB （2）AB 0anbn0abnnka1100（3）kAak1 （4）Ak 0kan0akna110（5）A1 （6）AA1A2An 0a1n（7）rArA1rA2rAn

a1a1n（8）A0A10 an0a110a11a1n0三角矩阵：a11 或 0annan1ann转置矩阵：AT

对称或反对称矩阵：ATA 或 ATA 正交矩阵：ATAAATE

1A1, 2,  , n是正交矩阵的充要条件有四个等价命题： ▲ A1AT；

T▲ A的n个 列或行向量是两两正交的单位向量，即 ijij；▲ A的n个 列或行向量构成一组标准正交基（规范正交基）；

▲ 两个标准正交基的过渡矩阵（这种情形下的过渡矩阵又称幺正矩阵）。2A1。

3A和B是两个正交矩阵AB也是正交矩阵。 4 A是正交矩阵AT, A1, Ak仍是正交矩阵。

可交换矩阵：ABBA 或 A, BABBA0

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●●●● ●

第二章 矩 阵

A11●伴随矩阵：A*An1注意行列符号的倒转，Aij是aij的代数余子式的值（一，A1nAnn个数），关于伴随矩阵的结论较多，但不外乎下列9种框内情形。

A*ATija11a1nAAn1A0AA*11AE AA*AE an1annA1nAnn0AAAn1aa1nA0A*A1111AEA1nAnnan1ann0AAA*AA*AEAA*AnA*An1 A11**1AAAAA A11A*1An11A1A1A1 AnAnAA*1A1AAAA1*A*1A1* A**A*A*1An1An2*AAAA*An2A A*TAT*AAT1 n, RAnRA*1, RAn1 0, RAn1AXXA*X*X*A 分块对角阵的伴随矩阵：

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ABA*B* *ABBA(1)mnBA*(1)mnAB 

●等价矩阵：A经过有限次初等变换变成的矩阵B，称为A与B等价（矩阵常用的三种

等价关系之一，另外两个为相似与合同），记为A~B。

Er 矩阵A的等价标准型为000。其中r就是矩阵A的秩。

●相似矩阵：A，B是方阵，M可逆，如BM1AM ，则称B是A的相似矩阵，简称

A相似B。

形象记忆掌握法 儿子A像老子B，儿子A左手多事多一个1。 （1）属于矩阵之间的一种等价关系（矩阵常用的三种等价关系之一）；

（2）具有反身性（自己与自己相似），对称性（互为相似），传递性（A~B~C）； （3）相似矩阵有相同的行列式，故具有相同的秩、特征多项式、特征值、迹等。 ●合同矩阵：A, B是方阵，C可逆，如 BCTAC，则称为A合同B。

形象记忆掌握法 儿子A像老子B，儿子A左手多多一个T。 （1）属于矩阵之间的一种等价关系（矩阵常用的三种等价关系之一）；

（2）具有反身性（自己与自己相似），对称性（互为相似），传递性（ABC）； （3）A和B合同，代表同一个二次型，所以与对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵。

0●幂零矩阵：A0, A20，但A3A4An0，如A1000100。 0●简化行阶梯形（重要矩阵）。满足下列要求的矩阵，称为简化行阶梯形（RREF）。

（1） 只能行变换，所有零行都在矩阵底部；

（2） 某一行的第一个非零元素，如所在的列的其余元素全部为零，则该元素称为

主元（又称首元）；

（3） 主元为1，且在前一行主元的右方；

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第二章 矩 阵

10如 A0020000100120012, 第一行和第二行有主元，且主元都为1，所有零行都在矩阵底部，00故是简化行阶梯形RREF。RREF是线数的核心技术之一，可以用在线性表示、求本征向量、解方程等各种题型。

●初等矩阵。

单位矩阵做一次初等行或列变换后的矩阵，称为初等行或初等列矩阵，统称初等矩阵。有六类初等矩阵，只有三类独立。一般使用三个行初等矩阵，因为三个列初等矩阵作用的集合与三个行初等矩阵的完全等价，因而，如无特别声明，以后提到的初等矩阵专指三个行初等矩阵。

初等矩阵都是可逆矩阵，且

E1i, jE1i, j; E1ikE1111i; Ei, jkEi, jkk 进一步详见第二章相关内容 1.3 矩阵的性质

1）矩阵相等必有对应元素相等。

2）和差及数乘针对每个元素操作。它们叫做矩阵的线性运算。 3）矩阵乘法 Aaijmxs Bbijsxn

A(aij)ms ; BbijCABcijai1 ai2  aisb1j b2j  bsjai1b1jai2bijaisbsjCABcijmmnnsn ; (A 的列数必须等于 B 的行数) ; Ccij

sak1ikbkji1jnabikkjABk11mni1jnabikkjk1 4）ABAB ABBTAT ABB1A1 TrABTrBA 11【例1】A1 2 1 1, B, 求C1AB, C2BA。

01T解：

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1 C11 2 1 111121101，

1可见，形如4 abT是一个数； 0111211C1121121 2 1 100000， 可见，形如 aTb 是一个矩阵；

11211ABBA【例2】（1）试讨论命题的正确性：A20A0 ? （2）试讨论命题的正确性：A20,ATAA0 ? （3）试求满足A20的所有二阶矩阵A?

解：（1）若A0，则必有A20；反之，不一定成立，举反例如下： A010A20101000000000 （2）AATA2AAT0

nna2ij0aij0A0

i1j1评 注 AAT0ATA0A0 （3）A0显然满足A20

Aab2cdA20A0A0Aadbc0cdabk Aabab1bcdkakb

kaA0,设 A 201bbka1kaabk1bkaabkAA0abk0akb 41

第二章 矩 阵

例如任取 a1, b1k111112A1111111010001k A

a故，所求的 Akabkb2kbkbbkb2kbk k, b为任意常数。 评 注 ●矩阵乘法不满足普通乘法的消去率ABACBC和交换率ABBA;ABAkBk。

k ABBA可以从3个方面来理解：

a一是AB可乘，而BA不一定可乘。如Aaij23; Baij34； b二是AB和BA均可乘，而不一定同型。如

Aaij23; Baij32AB22; BA33

c三是AB和BA均可乘，且同型。

如

0A011; B0000AB0000O; BA001O0

●ABOAO or BO

结合方程Ax0来理解，当Ax0有非0解时，A为不可逆矩阵，必存在B0AB0（其中B的每一列都是Ax0的解）；当Ax0只有0解时，A为可逆矩阵，必有

AB0B0。

● 矩阵乘法的几何意义：

1 （1）投影：A00x1, op0y00xx，相当于把向量op0y0投影到x轴上；

cos （2）旋转：Asinrcossincos, opr cosrsinsincos sinsinrcoscosrsincoscoscossinoscsinsin，相 rssincoisn 当于把向量op沿逆时针旋转角。

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陈氏第23技 三种定势全面解决方阵幂的求法。

1.4 方阵幂的三种求法

当A为n阶方阵时，矩阵存在幂形式An，当Am0时称为m阶幂零矩阵， ●ArAmArm; ArmAmr; 但 ABkAkBk； ●AAT, ABAB, ABTBTAT, AnA； ●AB0时，A0, B0可能成立，例如：A1111110, B110AB0。● 方阵幂有三种求法如下

a 分 解 法 当rA=1时，必有分解形式：AT，其中, 是行或列矩阵。 AnTTTTTn1Tn1TTn1A

【例3】设

A1122，求An 解：

A11122121An1211111112121121

n1n1 111111112211112A3n22b 零 幂 法 100【例4】设A110，求An? 011解：

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第二章 矩 阵

100100000A11010000011001EB31010

000000000B23100100000B34n3B3B30010010100AnEBn1223ECnB3CnB310000000000 010100Cn1C2n001n1 00010100100nn12n1c 相似变换法 5】 A31n93 求A。 解：①求特征值 3109306, B010, 206

②解特征向量 00EAX0X113

C6EAX0X123  P11b131111d33Padbcca6311 ③APBP1

AnPBnP11110031n1316

3306n31693分块矩阵和逆矩阵A1

●矩阵分块法

01

44

【例 1.5 2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数

10001010【例5】A010001, B12B?1210041，求A 110111120解：

1000A010001210=EE 1101A11010B1201BE104111B

221120B21ABE0B11EB11EA1EB21B22A1B21B21A11+B22A12100101B21B21111211111A241311+B1221120331

101020AB1124331131评 注 矩阵分块的好处主要有三：

a每一块可以视为矩阵的一个元素操作，从而把大矩阵化为小矩阵操作； b简化求逆矩阵

c简化矩阵对应行列式的计算。

●逆矩阵定义：ABE或BAE，则A，B可逆（A0, B0）BA1。 ●逆矩阵性质： ① A1唯一，且A0

② AT1A1T； A11A ③ kA111kA

45

第二章 矩 阵

④ A11A1A

 ⑤ ABB1A1 ⑥AXXA1X

●逆矩阵重要结论：

① Ac

② 矩阵分块求逆公式

A OOBAOACOBAOCBOB11X

abd11Adadbccba（形象记忆法：主换副负）

A1OO1AA10O1BBO11

1 11ACBB1（形象记忆法：A基准，顺时针，负C不动）

11A11BCAO1B1（形象记忆法：A基准，顺时针，负C不动）

A*评 注 矩阵的逆有三种求法：1定义法 AA 或ABE；

1 2初等行变换法 A|ErE|A；

3分块法 利用上述逆矩阵重要结论 矩阵可逆证明的三法： 1行列式法 A0A1  或ABE； 2定义法 存在n阶矩阵BABE； 3齐次方程法 AX0只有零解A可逆。

1【例6】APPB 其中 B00000010 P21201100, 求A及A5. 1解: APPBAPBP1

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A5PBP1PBP1PBP1PB5P1

100P2100A11211CB 22B11db1022adbcca1

1B1A10222C111112122 44100P1A011110B1122CA11B1222 411100100100B2000000000B0010010013B2

BBBB4BB5B

100100100100A5210000210200 211001411611矩阵多项式 fAa20Ea1Aa2AanAn ●fAgAgAfA

●与普通多项式一样可以相乘或分解因式

●如果A的特征值为，则fA的特征值为f ●APP1AnPnP1

fAPa10EPPa1P1PaP221PannP1PfP

10其中： 0 ff10n0fn47

1.6 1

第二章 矩 阵

二． 初等变换与初等矩阵

●初等变换：对n阶任意矩阵进行下列三种操作，称为初等变换（共有六类）。 （1）交换两行或两列； （2）数k乘某行或某列；

（3）k倍某行或列加到另一行或列。

● 初等矩阵

对单位矩阵E进行一次初等变换（行变换或列变换）后得到的矩阵叫初等矩阵。 2.1 初等矩阵的三种完备类型

按照初等变换的定义，应该有6种初等矩阵，但是，初等行矩阵和初等列矩阵对任意矩阵A的变换效果的集合完全相同，所以我们只需要3种行初等矩阵或3种列初等矩阵即可，所以，初等矩阵实际上只有三种类型，一般取3种行初等矩阵。具体分析如下：

1设 A471E001E0001001025836 911001000100127875839896E1， 21Ar901r0E1， 210r0101c0E1， 211c011A001A10110010010417010417258258E1， 21r316597356497

E1， 21c二者虽然不等，但只要是左乘，都是对A行变换，只是行变换的次序不同而已；E1， 21Ac的效果完全可以用E2， 11A替代。 r2.2 矩阵初等变换定理

任意矩阵A左乘一个初等行矩阵相当于A作一次初等行变换，右乘一个初等行矩阵相当于A作一次初等列变换。注意不管是初等行矩阵还是初等列矩阵左乘一个初等行矩阵都相当于A作一次初等行变换，其作用效果相同，但作用次序相异。如

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2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数

3倍 A 的第三列后再加到第一列，当E1,23为初等行矩阵时。 E1, 33A

3倍 A 的第一列后再加到第三列，当E1,23为初等列矩阵时。而且，任何一个可逆矩阵A都可以经过一系列的初等变换（初等矩阵左乘或右乘A）化成单位矩阵E。

07】求I0101010019【例

a1b1c1a2b2c2a30b31c3010000120

1解：E000I0101000 110019010a1b1c1a2b2c2a2b2c2a30b31c3010000120

a2b2c2a3c1b3b1c3a1c2b2a2c3b3a3E19a11, 3b1c1a3a120b3E1, 2E1, 3b1cc31【例

18】求I02010001100a11a21a31a12a22a32a130a230a33101010099

1解：E001I0201001000100 1100

a11a21a31a11a21a31a12a22a32a12a22a32a130a230a33101010099100E3, 12ra11a21a31a12a22a12a22a32a1399a23E1, 3a33a21200a11a31a11

E3, 1200ra13a13a23E1, 3a23200aaa331333200a12a322.3 初等矩阵的符号表示及其逆矩阵

49

第二章 矩 阵

1 Ei,jE2,301 交 换：0111 Ei,jE2,30000100101Eij000101100000101E2,3Ei,j00113211000001 2倍 乘： EikE26060Eik001100 E1ikE1261060E216E12k0011003倍 加： Ei，jkE2， 36016Ejik001 100 E1i，jkE12， 36016E2， 36Ei，jk001评 注 上述初等矩阵是以行变换为基准，如果以列变换为基准，变换整体效果相同。 综合起来，初等矩阵的性质为：

E1i，jEi，j; E1ikEi1k; E1i，jkEi，jk Ei，jEi，jk1; Eikk2.4 方阵可逆充要条件

n阶方阵A可逆的充要条件是存在n个初等矩阵P1,P2,,PnAP1P2Pn 【例9】试将可逆矩阵A4712化为初等矩阵的乘积。

解：E1001  50

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4A17rr1221 42r4r2171 02r2r1211 00r211 00=E 1E21E1， 22E2， 14E1， 2AEAE21E1， 22E2， 14E1， 2 E11111 2E2， 14E1， 22E211，

E1， 2E2， 14E1， 22E210A1110401102110012.5 矩阵的标准型

Er任何矩阵A经过初等变换（行变换和列变换）都可以化成000，称为标准型。或用

形式Er0表示标准型。

显然，矩阵A可逆ArE，也就是说，可逆矩阵的标准型是单位阵。

2.6 初等矩阵的应用

a 初等变换求逆 AEEA1 对这一点解释如下：

AA是一个n阶可逆矩阵，则必可经一系列初等变换将A化成单位矩阵，F1,F2,Fm左乘

后得到单位矩阵En，即：Fm...F2F1AEn Fm...F2F1EnA1；如果对矩阵A，En同时变

换，则当A变成En时，En就同时变成了A1，即AEEA1，这种变换思想要掌握，是重要考点。

3【例10】 A10040010 求 A2E 3解法一：初等变换法

1A2E1002000 1 51

第二章 矩 阵

100100100100A2EE120010020110 001001001001100100100101012201A2E11220

001001001

解法二：分块法

AO11A1Ob1dbOBOB1, acdadbc

ca2000A2E11211011100122 001b 初等变换求解矩阵方程

301【例11】设矩阵方程ABA2B, A110，求B。 014解：先作恒等变换，再求方程。

ABA2BA2EBA Fm...F2F1A2EBFm...F2F1AEBFm...F2F1AB101301101301A2EA110110011211012014012014101301101301 011211010432001223001223100522100522010432010432EB001223001223三．矩阵的秩

3.1 概 念

52

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设矩阵A（不一定为方阵）的全部子式中有一r阶子式Dr0（在矩阵A中，取出k个不同行与k个不同列处的元素，按它们在A中原有排列顺序，构成的k阶子行列式，简称k阶子式），且所有Dr10（如果存在的话），则Dr叫做A的最高阶非零子式，数r就称为矩阵A的秩，记为RAr 或 rAr。并规定RA00。由于在矩阵中取子式必须是方阵，故矩阵的秩不可能大于行列数中的较小值，即： 0RAminm, n。可逆矩阵叫满秩矩阵,非奇异矩阵，不可逆矩阵叫降秩矩阵，又叫奇异矩阵。

很多读者对“秩”这个词陌生，从康熙大词典上我们不难查到：它有：秩序、俸禄之意。作量词时称十年为一秩。打个比方：我俩都是厅级干部，我是管教育的，你是管财政的，那么我俩就是级别相同而秩不同，所以，我们应该把线数里的秩理解为“行业空间维度”。比如方程AXb必须保证AX0和AXb的解在同一维度空间里，即RARA|b才有解。矩阵秩的本质是方程组中独立方程的个数，也就是极大无关组中向量的个数，要真正了解矩阵的秩必须与方程及向量组联系在一起，运用几何图形的空间位置关系把这个抽象概念形象法，详见本书第三章的陈氏312413理论。

3.2 性 质

● RARAT An0RAnn An0RAnn 。

● RAA的阶梯形式中非全零行的个数，叫矩阵的行秩，又叫矩阵的秩，行秩列秩。 ● 当P, Q为可逆矩阵时，RARPAQRPARAQ

● 当A为满秩矩阵时，A0，且任意矩阵B，RABRBARB ● 初等变换不改变矩阵的秩，即A~BRARB

n● 矩阵的迹定义为：TrAa（即主对角元素之和）

iii1● 任何秩R0的矩阵必可分解为两个满秩矩阵之积。特别地，当rA=1时，必有分解形

式： AT，其中, 是单行矩阵。 3.3 必须掌握矩阵秩的8大公式（重点）

53

第二章 矩 阵 1 0RAmnminm, n • MaxRA, RBRA , BRARB 证明：根据矩阵秩的定义直接得出。 2 • RARA , BRA1• RAmn , Emm RB为列向量RB1 证明：对矩阵A任意添加列后变成矩阵A, B，则秩显然不小于RA，即： RA, BRA 同理： RA, BRB

因而：MaxRA, RBRA , B成立。

又设 RAr, RBt，把A, B分别做列变换化成列阶梯形A, B

 如：~~~~~~1311181011000就是列阶梯形

000用a1ar, b1br分别表示非全零列，则有：

~~~c (表示列变换)AAaa, 001r~~~ (表示列变换)BcBb1br, 00~~A, BA, Bc

~~由于初等变换后互为等价矩阵，故RA, BRA, B

~~而矩阵A, B只含有rt~~~~个非全零列，所以：RA, BrtRA, BRARB。

综合上述得：MaxRA, RBRA , BRARB

●特别地：如Bb为列向量，则Rb1RARA , BRA1。 ●如BE，设RA, BRAmn , Em， 则

54

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mRA , EmmnERmmRmAn ,  mE

m3 RA+BRARB

证明：

AB, BA,  BRB RBAB, BRRA, BBR AB公式 2知 由RA BR,AA,B RABRA R4

 RARBnRABminRA, RBn n 为 A 的列数 2RAnRAn阶方阵AB2RAn 证明：1 设ABCB 是 AXC 的解RARA, CRC

又，BT

ACTTRBTR,B TCTRCRnTRBTRBBRRCRABminRA, RB

C 2 设RAmnr, RBnst

则A的标准型为Er00Et，的标准型为B0mn00 0ns 存在可逆矩阵Pm, Qs, Pn, Qn使：

55

第二章 矩 阵

PEr00mAQn0 PBQEt0nsmn00nsABP1E01Et00E0mr00Q1nPnmn0Q11Er0sPmns00Mnntmn00Q1snsmM11分块mrntnnQnPnrtmnrtmnrntRABR10PErE0m00Mnntmn00Q1sns RE0E0r00Mtnnmn00nsm REr0mrntE000rtmnmnrtmtnrnt00ns RErmrtE0t0E0RrmrtEtRmrt注意到 矩阵mrt是满秩矩阵Mnn的子阵， RMnnn 。考虑到极端情况：即Mnn中有nr行没有一个零元素，有nt列没有一个零元素，这时，Mnn中的零元素全部在矩阵mrt中，从而使Rmrt取得最小值，所以： Rmrtnn-rn-trtnRARBnRABRmrtRARBn

5 AmnBnl0RARBn证明：设Bb1, b2, , bl，则

Ab1, b2, , bl0, 0, , 0Abi0 i1,2,,l

上式说明 B 的 l 个列向量都是齐次方程 AX0 的解。如果AX0 的解空间为S, 其维数就是 RA

SnR.

显然，biSRBRb1, b2, , blRSnRARARBnn, RAn6 RA*1, RAn1 0, RAn156

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证明：分三种情况

（1）RAn，A满秩、可逆，A*AAEA*An1**0，A可逆，RAn

（2）RAn1，说明A中至少有一个元素的代数余子式不为零，即存在

Aij0A0RA**1

又RAn1，A不可逆，则

A0AA0RA**RAnRA1*RA*1

（3）RAn1时，由矩阵秩的定义知，A得所有n1阶子式为零Aij0 A*Aij0RA*0 评 注 如RAn1，则R0A*TA*RARAn11n0。

7 RATARAATRA 证明：考察下列两个齐次方程组

AAX0 (1)AX0 (2)T

显然，（2）的解全部是方程（1）解，因此，（2）的基础解系包含于（1）的基础解系，即 nRAnRATARATARA 另一方面

AAX0XTTATAX0AXAX0TAX0

因此，（1）的基础解系包含于（2）的基础解系，即

nRAnRAARAARATT

 RARAARARAARATTT而RAATRATARATARA

8 ARC0RARB C0 时等号成立 B证明：设RAr, RBs，则：

57

第二章 矩 阵

AC0BEr0初等行列混合变换C1C300C2C40Es0000C4000Es00C20C40Er0C1000C30Er0C1C30000C20C40Es000Es000C2C4000000Er0000000Es0000C400000ErC1 0C3Er00R0B00Es00 RCA00RERERCRERErt rs4rs00 C40 时等号成立ARC0RARB C0 时等号成立B

3.4．方阵的特征值与特征向量简介（后面第五章节专门研究） 假设A与某一三角矩阵相似，P可逆，即：

11 PAP01APPn00, PX1,X2,...,Xn n0采用分块矩阵形式表示：

AX1,AX2,...AXn1X1,2X2,...nXnAXjjXj j1,2,....n

所以：当满足AXXEAX0时，称为A的特征值，X称为A的特征向量，而且由可EA0解出所有的值（包括重根）。相似矩阵(A与)的特征值完全相同；分块矩阵的所有特征值为原矩阵的全部特征值；不同的对应的特征向量正交，同一对应的特征向量不一定正交，但一定线性无关。任何矩阵，只要A0（满秩），就必定可以化成对角矩阵，其P就是矩阵A的全部特征向量。

四、题型题法

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0000014002001000041000abd11Ab1【例12】计算 002。

解：利用矩阵分块和公式A（形象记忆法：主换副负），

cdadbcca快速计算如下：

00014100021000010A10B1200010 00200211000B0200010A1020240001400001000【例13】 A12BE， 已知A2A， 求B2

解： 1BE2412BE

1B2BEEBE22BE

B22BE2B2EB2E 【例14】n阶矩阵A满足 2AAE3A 求EA1

解： 关键是分解出因子EA

条件 A32A22A0A32A22AEE

A32A22AEE

A32A2AEAE

AA22AEEAE

EAAA2EEEA1

A2AE【例15】设(1,2,3), (1, 1, 123), A=T, 则An? 解：由T3, A2AATT3A

59

第二章 矩 阵

11123递推得：An3n1A3n1T2123 33121316】（1）设三阶矩阵A，B满足关系式A1BA6ABA，且A1，求B. 417（2）A为n阶方阵，A22A3I0，则A1?，A4I1?

解：（1）

A1BA6ABABA6A2ABAB6AABIAB6A

3

B6IA1A21 （2） A22A3I0AA2I3IA1132IA

A4IA2IA22A8IA22A3I11I又：

A4I11112IA

k11117】设矩阵A1k11，且rA3，求k11k1的值。 111k解：rA3A0

k111 A1k1111k1k3k130

111k当k1时，rA1；当k3时，rA3，符合题意。

60

【例

【例

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【例18】已知A，B为n阶方阵，A2A, B2B, ABAB，证明：ABBA0 2证明：

AB2ABA2B2ABBAABA2A, B2BABBA

AABABAABABAABA

ABABAABABAABAABBAABBA0评 注 补充下列题型 1．设A, B为同阶方阵，证明AB和BA具有相同的本征值。

证明: 引入辅助矩阵EBAE 因为当0显然有共同的本征值，下证0的情形

E0B0EBEEEBEB11EABAEEA0E1AB1AEAE0EAB

EBEBEBA0BEBA0BA0EEBEAEAE0EAEAEE所以 EABEBAEBAE

2．设A, B为n阶矩阵，ABAB，证明：ABBA。 证明：构造矩阵AEBE，则

AEBEABABEABABEAE与BE都可逆。AEBEEBEAE1BEAEE

AEBEBEAEABABEBAABEABBA3．若A是元素全为1的n阶方阵，证明AE1E1n1A。

111 证明：由题意知 A111 111

61

第二章 矩 阵

112A111111111111111n1n1nnnnn1n1nn111111nA1EAEEA1111nA2AEAAAEAAEn1n1n1n1n1E1n1A*

4．设A, B为任意n阶方阵，，证明：ABB*A*。 证明：由于对任意方阵CCC*C*CCE

ABBAABEBA****ABABBCAB***A****ABABB****A*ABABEAAB*AB*ABBAABAB*由于A，B或AB有可能为0，故还不能得出BAAB为此，作代换BxEBAxEA AxEBxEBxEAxEAxEBxEAxEBxE总存在 x1,使当xx1AxE0; BxE0于是当xx1BxE****

AxE*AxEBxE*设左右两端第i行j列的元素分别为fijx; gijxi,j1,2,,n上式表明fijxgijx；特别地当x0也成立，故BAAB。***15．已知A1111111，矩阵X满足A*XA12X，求X。 1解：由矩阵方程得

AXAX*12XA1*2EXA1AA2EXE*AE2AXEAE2A1111A1111A40112120121212001110241121AE2A211

111111110AE2A10111X041111001162

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【例19】设Aaij, Bbij, trAnnnna方阵的迹，证明：trABtrBA

iii1n证明： trABnniknnkiai1k1bki10bk1i1aiktrBA

10AB0010, BA000。 0注意：RABRBA，如A1200, B00【例20】求与矩阵A1200E120可交换的矩阵。 10EB0解：A

x11设所求的矩阵为Xx21AXXABXXB020x110x21x12x11x22x21x12 x22x120x2220 002x112x112x22x11x22, x1202x012x11Xx210 x11,x21为任意常数x11

0【例21】求BA，其中：A为二阶方阵，B为三阶方阵。 0*解：

0BA00B*A00BA011230AB1AB010ABA1ABB01 【例22】交换矩阵A的第一行与第二行得矩阵B，问交换A*的第一列与第二列得什么矩阵？ 解：

E1,2ABAE111,2*B1AE1,2B1*1

A*

AE1,2B*BAAE1,2BAAE1,2B**故，交换A*的第一列于第二列得B*。

63

第二章 矩 阵

【例23】已知A, B, AB都可逆，求A1B11。 解：

A1B1A1EEB1A1EA1AB1A1EAB1 A1BB1AB1A1BAB1A1B1A1BAB1A1BAB1

0A1B11A1BAB11BBA1A【例24】A是三阶矩阵，RA2，证明：A*2kA* a证明：RA2RA*1，故可以设A*bdef

caa A*2bdefbdefadbecfA*kA*

cc123【例25】已知A123，B是三阶非零矩阵，AB0，求RB。2t6解：

123123123A123t4001230RA12t6246000

AB0RBnRA312

B01RB1RB2RB1, 2123123123A123t423000RA22t612460t40AB0RBnRA321

B01RB1RB1RB1.【例26】设A为n阶方阵，证明： A2ERAERAEn 证明：注意利用本书秩公式的结论

64

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AE另一方面RAERAERAEREARAEEAR2EREnnRAERAEnRAERAEn2AEAE0RAERAEn

【例27】1 设A, B, C均为n阶矩阵，且ABBCCAE，则A2B2C2? 2 设A, B, AB, A1B1均为逆矩阵，证明：A1B1AABB。 3 A为5 阶矩阵，且A20，求RA*?

a 4 设三阶矩阵Abbbabbb，若RA*1，求a, b 的关系 ? a11解：1EABCAABCAA2, 同理 B2=C2EA2B2C23E。

AAB2A1B1111B=A1B111BABA*A1B1B1A1E。

3A02RA5RA2523RA0。

4RA*1RAn12

aAbbbab1a2b01b行和相等型1bab2bbaba2b1abab0b0ab1

a2babab, a2b【例28】已知A1解：

AAA*1111121111，求A*。 3A*1AA010A1A2A501000121121 20E|A1265

A

11|E111211131000011r00110第二章 矩 阵

52112110152202111221101520211222010 1A*1A1【例29】设A为二阶矩阵，1, 2为线性无关的2维列向量，A10, A2212，求A的特征值。 解：

A021, 20, 2121, 2

01

1, A 022211,21A 相似0 1001 =0，【例30】设，为三维列向量，矩阵ATT，证明： 1rA2 2若，线性相关，则rA2。 证明：

1 ，为三维列向量，r1，r1

根据秩公式7rTr1, rTr1RARTT2。

2若，线性相关，则有k k0

RARTTRTkkTR1kT212 。

【例31】设Aaij为三阶方阵，A20，证明：RA1，并且TrA0。 证明：当A0，RA1，并且TrA0显然成立。 当A0，则由A20，有

AA0RAnRA3RAR32AR1 A于是，A必可以表示为两个非零列向量, 的乘积，即AT， 从而有：A2TTTTTA0 T是一个数

3 T0TrAaii0。

i1 66

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第一章 矩阵模拟题

一．填空题

1. 设1,2,3,均为4维列向量，A[1,2,3,],B[1,2,3,]，且|A|=2，|B|=3，则

A3B_______.

112. 设矩阵A，BA23A2E，则B1=_________. 233. 若n阶矩阵A满足A22A3E0，则A1=_________.

1014. 设A020，则(A3E)1(A29E)__________.

0011125. 设矩阵A212，则A1_____；(A*)1_____；[(2A)*]1_______.

433二．选择题

1. 设A，B为同阶可逆矩阵，则 （A）AB=BA

（B）存在可逆矩阵P，使P1APB

（C）存在可逆矩阵C，使CTACB （D）存在可逆矩阵P和Q，使PAQB

[ ]

AT02.

设A，B都是n阶可逆矩阵，则2等于 0B1（A）(2)2nAB1 （B）(2)nAB1 （C）2ATB

（D）2AB1

[ ]

3. 设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是

（A）若A，B均可逆 ，则A+B可逆。 （B）若A，B均可逆，则AB可逆。 （C）若A+B可逆，则A-B可逆。 （D）若A+B可逆，则A，B均可逆。 [ ] 4. 设A为n阶方阵，且A0，下列结论正确的是 （A）对n阶方阵B，若AB=0，则B=0 （B）对n阶方阵B，若AB=BA，则B0

67

第二章 矩 阵

（C）对n阶方阵B，若|B|=|A|，则A，B有相同的特征值 （D）对任意非零向量X(x1,x2,,xn)T，都有XTAX0 5. 设n阶矩阵A非奇异(n2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则 （A）(A*)*A（C）(A*)*An1 [ ]

A

（B）(A*)*A（D）(A*)*An1A A

n2A

n2 [ ]

6. 设A是mn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为 r，矩阵B=AC的秩为r1，则 （A）rr1 （C）rr1

（B）rr1

（D）r与r1的关系依C而定

[ ]

7.设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩 （A）必有一个等于零. （B）都小于n.

（C）一个小于n，一个等于n. （D）都等于n. [ ]

三．解答题

1. 求下列矩阵的逆矩阵. 11111111⑴ 1111111100（3）01001010

10000052（4）00200100

012011cos（2）sin00cos0

01sinTTT2. 已知三阶矩阵A满足Aiii(i1,2,3),1(1,2,2),2(2,2,1),3(2,1,2),试求矩

阵A。

1003. k取什么值时，矩阵A0k0可逆？并求其逆。

1114. 证明：设A为n阶方阵，且有自然数m，使(EA)0，则A可逆。

5. 设B为可逆矩阵，A是与B同阶的方阵，且满足AABB0。证明：A和A+B都是可逆矩阵。 6. 证明：若A，B都是n阶方阵，且E+AB可逆，则E+BA也可逆，且(EBA)1m22EB(EAB)1A。

1T7. 设A，B是n阶方阵，已知B0，AE可逆，且(AE)(BE)，求证：A可逆。

8. 设A，B，A+B为n阶正交矩阵，试证：(AB)1A1B1。

68

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AE9. 设A，B为n阶方阵，试证明：

EBABE.

10. 设A为主对角线元素均为零的四阶实为对称可逆矩阵，E 为四阶单位矩阵. 00 B00000000(k0,l0)

0k000l（1） 试计算|E+AB|，试指出A中元素满足什么条件时，E+AB可逆。 （2） 当E+AB可逆时，试证明(EAB)1A为对称矩阵。 11. 计算下列各题。

111211 （2）lim0n31005n21 （1）32n

0012. 设A10，求An。

0113. A是n阶方阵，满足AmE，其中m为正整数，E为n阶单位矩阵，今将A中n2个元素aij用其代

m数余子式Aij代替，得到的矩阵记为A0，证明：A0E。

10014. 设矩阵A101。

010（1）证明：n3时，AnAn2A2E（E为三阶单位矩阵）。 （2）求A100。

15. 已知A，B为n阶方阵，且满足AA, BB与(AB)AB。试证：AB=BA=0。

69

222第二章 矩 阵

第二章 矩阵模拟题答案

一．填空题

201； 2. 011. 562； 3. A113(A2E)； 4.

010； 110023941125. A1A**111252；(A)(A)A212；

273433112 [(2A)*]12A1A1212。 844433二．选择题

1. (D) 2. (A) 3. (B)

4. (A)

5. (C)

6. (C)

7. (B)

三．解答题

1111111.（1）A11114111 11111cossin0 （2）A1sincos0 00100010010 （3）A10100

100012002500 （4）A10012 3300113370

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2703352A0

33222332.

3.

1001k0;00

k111k4. 因E与A可交换，故(EA)m可按二项式定理展开为

mmimmimi1m (EA)Ci0AEimi(CAi0)AE0，也即E(CmAi0ii1)A，两边取行列式，

显然有A0，故A可逆。

5． 由A2ABB20A(AB)B2，两边取行列式，由于B可逆，即B0，有

AAB(1)nB20，故A与AB也都不为0。即A和A+B都是可逆矩阵。

16. (EBA)[EB(EAB)A]

1EBA(EBA)B(EAB)AEBA(BBAB)(EAB)AEBABAE. 得证。

TTT1A

EBAB(EAB)(EAB)17. 由(AE)1(BE)(AE)(BE)EA(BE)BT0，即A(BE)B，

TTB可逆，B0，BTB0。两边取行列式即可得A0，即A可逆。 8. A+B为正交矩阵，故(AB)AA,BT1T1(AB)AB1TTT，而A，B也为正交矩阵，即

B1。故(AB)1AB1。

EAAE09. 由于EBE0EAEEB0EABEB(1)n2EBABEA，其中1，两边取行列式得

E0n2EAB(1)(1)nABE 71

第二章 矩 阵

(1)n(n1)ABEABE，得证。

10. （1）设

A(aij)44，其中0ka1aii0,i1,2ai,j3aii则j，ja0a1a2aaa201AB03aa3a1aa42a434103023020010010400020040k300400000ka2000ka43la3la340la32410EAB000ka11ka2010ka4314la214la34321kla34a431kla34， la34ka4311la3故当a3421kl时，E+AB为可逆矩阵。

（2）(EAB)1A[A1(EAB)]1 （由题意A可逆）(A1B)1，A，B都为对称矩阵，故

11A，A+B也为对称矩阵，进而(A1B)即(EAB)11A为对称矩阵。

2110 11. （1）32012110 故当n=2k时(kZ)，32012121 当n=2k+1时(kZ)，3232nn212 （2）显然，矩阵A001111111有三个特征值,,，故一定存在可逆矩阵P，使3235105 72

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1211PAP3151122n111nP,APP1,APn3311n55，即于是

12n0000001nP1P000P1000 limAPlimnnn30000001n500000112. A101100EB

010101nnnn1n12n22nE与B可交换，故A(EB)ECn(E)BCn(E)BB

0000000002 B100100000

010010100故AEnnnn1Bn(n1)2n2B

2n00nn1n0n1n0n00000n(n1)n22T*n00n100nn(n1)n2002TT0nmnn100 nnTm13. 由AmE有ATmmm1，又由题意有A0A, 故A0AAE, 于是(A0)AT1mm(A0)E，

) 而(A0)A(A0AAA0A(0mTT1mA(0A)mT1m1mAmAE ETmmT,是有 (A0)(A0)于)E得.A0, E得证。

14. （1）容易验证当n=3时，A3AA2E成立。假设当n-1时成立，即有An1An3A2E，则AnAAn1A(AA

n22n3AE)An222n2AA

3(AAE)AAAE

73

第二章 矩 阵

（2）A100A98A2E(A96A2E)A2EA962(A2E)

A4248(A2E)A2A2E48(A2E)50A2(481E)10 050A24E9501

05001 15．由题意A2A,B2B

故AB(AB)2A2ABBAB2ABABBA 得ABBA0,即AB=-BA

又ABA2BA(AB)ABA(AB)A(BA)ABA2BAAB综上，得 ABBA0。

74