成都市实验外国语学校⾼2018届零诊模拟考试数学试题及答案命题⼈： 赵光明
第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）
⼀、选择题(本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分, 在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.) 1、已知集合{||2}A x x =<，2{430}B x x x =-+<，则A B 等于( B ).A {21}x x -<< .B {12}x x << .C {23}x x <<.D {23}x x -<<2、设复数2zi =+，则z z -=( C ).A 4.B 0.C 2.D
3、在等差数列{}n a 中，
39a a =且公差0d <，则使前n 项和n S 取得最⼤值时的n 的值为( B ).A 4或5
.B 5或6 .C 6或7 .D 不存在 4、某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,⼩明在7:50⾄8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ B ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34
5、P 是双曲线22219x y a -=上⼀点，双曲线的⼀条渐近线为320x y -=，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，若16PF =，则2PF =( A ).A 2或10 .B 2
.C 10
.D 9 6、某⼏何体的三视图如右图所⽰，其中俯视图为扇形，则该⼏何体的体积为( D ) .A 23π.B 3π.C 29π.D 169π
7、已知实数x ，y 满⾜21
y x x y a x ≥+??+≤??≥?，其中32
0(1)a x dx =-?，则实数1y x +的最⼩值为（ B ）A ．32B ．43C ．23D ．52
（⽂科） 已知实数,x y 满⾜3,2,2.x y x y y +≥??-≤??≤? 那么2z x y =+的最⼩值为（B ）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2
8、阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为( B )
.A 4.B 5.C 6.D 7俯视图侧视图9、函数()
f x 在定义域R
内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若(0),a f =1()2b f =,(3)
c f =，则,,a b c 的⼤⼩关系是( B ).A a b c >>
.B b a c >> .C c b a >> .D a c b >>10、如图，抛物线2:4W y x =与圆22
:(1)25C x y -+=交于,A B 两点， 点P 为劣弧AB 上不同于,A B 的⼀个动点，与x 轴平⾏的直线PQ 交 抛物线W 于点Q ，则PQC的周长的取值范围是( B )
A ( 9,11) B(10,12) C(12,14) D (10,14)11、在平⾏四边形
ABCD 中，0AB BD ?= ，22240AB BD +-=，若
将其沿BD 折成直⼆⾯⾓ A BD C --，则三棱锥A BDC -的外接球的表⾯积为( A ) .A 4π.B 8π .C 16π .D 2π 12、设函数32
()f x ax bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若点11(,())P x f x 为坐标原点，点
22(,())Q x f x 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动时，则函数()f x 图象的切线斜率的最⼤值为( D )A.3+
2+23第 Ⅱ 卷（⾮选择题 共90分）
⼆、填空题（本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）13、平⾯向量a 与b的夹⾓为23π，且()1,0a =
，1b = 则2a b + 14、若抛物线px y 22=的焦点与椭圆1522
=+y x 的右焦点重合，则p =4_____. 15、已知数列错误！未找到引⽤源。的通项公式为错误！未找到引⽤源。，则数列错误！未找到引⽤源。的前50项和错误！未找到引⽤源。 100 16、已知函数2ln )(x x x f -=与m x x x g ----=421
)2()(2的图象上存在关于点)0,1(对称的点，则实数m 的取值范围是[)+∞-,2ln 1
三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分. 解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17、（本⼩题12分）已知231()cos cos 24f x x x x =
+-. （Ⅰ）求
()y f x =的最⼩正周期T及单调递增区间；
（Ⅱ）在锐⾓ABC ?中，⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5
(),14
f A a ==，求ABC ?⾯积的最⼤值.解：(Ⅰ)()f x 1)32x π=
++ , 故()y f x =周期T π= .
令222,()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈则5,()1212k x k k Z ππ
ππ-+≤≤+∈ 所以()y f x =单调增区间为5[,],()1212k k k Z ππ
ππ-++∈. （Ⅱ） 由5()4f A =可得6A π= ，所以cosA ＝32
. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，
即bc≤2＋3，且当b ＝c 时等号成⽴ ，
因此12bcsinA≤2＋34.所以△ABC ⾯积的最⼤值为2＋34.
18、（本⼩题12分）在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平⾯PDC ，PD DC ⊥，底⾯ABCD 是梯形，
//AB DC ，1AB AD PD ===，2CD =．（I ）求证：平⾯PBC
⊥平⾯PBD ；
（II ）（理科）设Q 为棱PC 上⼀点，PQ PC λ=
，
试确定λ的值使得⼆⾯⾓Q BD P --为?
60． （II ）（⽂科）Q 为棱PC 上的中点。求三棱锥QBD P -的体积QBD P V - （I ）证明∵AD ⊥平⾯PDC ，PD ?平⾯PDC，DC ?平⾯PDC ，∴
AD PD ⊥，AD DC ⊥，在梯形
ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ，在BCH中，
145BH CH BCH ?==?∠=，
⼜在DAB ?中，145AD AB ADB ?==?∠=，∴4590BDC DBC BC BD ??∠=?∠=?⊥，①∵PD
AD ⊥，PD DC ⊥，AD DC D = ，AD ?平⾯ABCD ，DC ?平⾯ABCD ，∴PD ⊥平⾯ABCD ，∵BC
平⾯ABCD ，∴PD BC ⊥，由①②，∵BD PD
D = ，BD ?平⾯PBD ，PD ?平⾯PBD ，∴BC ⊥平⾯PBD ，∵BC
平⾯PBC ，∴平⾯PBC ⊥平⾯PBD ；
（II ）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建⽴空间直⾓坐标系(如图)则(0,0,1)P ，(0,2,0)C ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，
令000(,,)Q x y z ，000(,,1)PQ x y z =- (0,2,1)PC =-，
∵PQ PC λ=
，∴000(,1)(0,2,1)x y z λ-=-,，∴(0,2,1)Q λλ=-，∵BC ⊥平⾯PBD ，∴(1,1,0)n =-是平⾯PBD 的⼀个法向量， 设平⾯QBD 的法向量为()m x y z =,,，
则00m DB m DQ ??==?? ，即 02(1)0x y y z λλ+=??+-=? 即 21x y z y λλ=-=?-?，不妨令1y =，得2(1,1,)1m λ
λ=-- ，∵⼆⾯⾓Q BD P --为60?，∴1
cos(,)2m n m n m n===
，解得3λ= ∵Q 在棱PC 上，∴0λ<<1，故λ=
（II ）由（1）可知BC
⊥平⾯PBD 且2=BC ， BC S V V V PBD PBD C PBDQ BDQ P ??===?---312121=6
12212161= 19.（本⼩题12分）为了解甲、⼄两个快递公司的⼯作状况，假设同⼀个公司快递员的⼯作状况基本相同，现从甲、⼄两公司各随机抽取⼀名快递员，并从两⼈某⽉（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天
的数据，制表如下：
（1）根据表中数据写出甲公司员⼯A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）试估计员⼯A 与员⼯B 在这个⽉送快件数的⼤⼩
（3）对于员⼯B 在抽取的这10天中的快件数为37和42的5天中，任取2天，求快件数不同的概率。解：（1）员⼯A 的平均数为1040
413339363538333332A +++++++++=x =36
员⼯A 的众数为33.
（2）员⼯B 的平均数为B x =38.6>A x=36（3）532
51213=?=C C C p
20、（本⼩题12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b
y a x 的两个焦点分别)0,2(),0,2(21F F -，
以椭圆的短轴为直径的圆经过点)0,1(M 。 （1）求椭圆C 的标准⽅程
（2）过点)0,1(M 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设点)2,3(N ，直线BN AN ,的斜率分别为21,k k 。问21k k +是否为定值？并证明你的结论。
依题意，直线错误！未找到引⽤源。与椭圆错误！未找到引⽤源。必相交于两点，设错误！未找到引⽤源。，则错误！未找到引⽤源。，错误！未找到引⽤源。， ⼜错误！未找到引⽤源。，错误！未找到引⽤源。， 所以错误！未找到引⽤源。 错误！未找到引⽤源。 错误！未找到引⽤源。 错误！未找到引⽤源。错误！未找到引⽤源。 综上得：错误！未找到引⽤源。为定值2.21（理科）．（本⼩题12分）已知函数()x f x e =，()g x mx n =+.（I ）设()()()h x f x g x =-.
① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n
=时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（II ）设函数1()()()nxr x f x g x =+
，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 21．（I ）①由题意，得()(()())()x x
h x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，所以函数()h x 在0x=处的切线斜率1k m =-，⼜(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x=处的切线⽅程(1)(1)y n m x --=-，将点(1,0)代⼊，得2m n +=. ②当0n
=，可得()()x x h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1x e e>
， 1）当1m e≤时，()0x
h x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，⽽(0)1h =， 所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从⽽11
m e e -≤≤.2）当1m e
>时，由()0x h x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，
当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.
所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最⼩值为(ln )ln h m m m m =-，令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1m e e<<.
综上所述，1[,)m e e∈-.
（II ）由题意，1114()()()4x x n xnx x m r x n f x g x e e x x m=+=+=+++，⽽14()14x xr x e x =+
≥+等价于(34)40x e x x -++≥， 令()(34)4xF x ex x =-++，则(0)
0F =，且()(31)1x F x e x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=
，则()(32)x G x e x '=+， 因0x ≥， 所以()0G x '>，所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，
从⽽函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. 21（⽂科）.（本⼩题12分）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数
()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 证明:()221f x x <-.解析：(1)函数()2ln a
f x x x x =--的定义域为()0,+∞,()222
221a x x a f x x x x -+'=+-=, 令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ?=-,①当0?≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;
②当0?>, 即1a <时, ⽅程220x x a -+=的两根为11x =211x =>, 若0a≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;若0a
>,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时,
()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增.综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当01a <
<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增;当1a
≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增.(2)
由(1)可知, 函数
()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于⽅程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根, 故01a <<. 21x =且212x <<
22
22a x x =-+()22222222222
212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--, 令()2ln 1g
t t t =--, 12t <<,则()221t g t t t-'=-=,由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减.故()()112ln110g t g <=--=.
∴()()22210f x x g x -+=<.∴()221f x x <-.
22、（本⼩题10分）已知圆C 的极坐标⽅程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数⽅程为为参数）t t y tx (21212321+=+=
，点A 的极坐标为)4,22(π
，设直线l 与圆C 交于点P ，Q. (1)写出圆C 的直⾓坐标⽅程； (2)求|AP|·|AQ|的值．解析：(1)因为圆C 的极坐标⽅程为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，
将其转化成直⾓坐标⽅程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. (2)由点A 的极坐标?
22，π4得直⾓坐标为A ()
12，12∈l. 将直线l 的参数⽅程x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t
(t 为参数)代⼊圆C 的直⾓坐标⽅程(x －1)2＋y 2＝1，得t 2－3－12t －12
＝0. 设t 1，t 2为⽅程t 2－3－12t －12＝0的两个根，则t 1t 2 ＝－12，由t 的⼏何意义可知|AP|·|AQ|＝|t 1t 2|＝12.
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