优化多元表征 助推算理内化——以两次执教“分数乘分数”对比为例

江苏南京市建邺实验小学分校 饶正凯【摘要】“分数乘分数”是苏教版六年级上册的内容，学生在掌握算法上一般不会有太大问题，但是在 理解算理的过程中往往会出现偏差。在实际教学过程中，要让学生通过多元化的表达方式，化静态图像

为动态过程,让学生在演绎推理中逐步领会算理，掌握算法。培养学生分析问题、解决问题的能力，完成 对分数乘分数的自主建构。【关键词】激发内驱 多元表征 演绎推理 主动建构《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调学 生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、 计算、推理、验证等活动过程。要使数学教学过程

展。前不久，笔者在校内教研课中先后两次试教了 苏教版数学六年级上册教材中“分数乘分数” 一课。 最终改变了设计的初衷,经历了一次从注重教师的

更加体现数学的本质，有利于促进学生的全面发 教到注重学生的学，从注重外在形式模仿到＞XIAOXUE JIAOXUE YANJIU价值的知识组成的。虽然儿童数学学科来源于数 学学科，与数学学科具有本质的联系，要反映数学 学科的本质特点和核心概念体系，但作为教育任务

学生编织起“网状”的知识结构。原创性的做法还

很多，如从学生做题走向出题、审题;从理解性的听 走向批判式的听;从教师发问走向学生主动提问; 从单声道的说话走向立体声的对话;从等待教师总

的儿童数学，与数学学科又有着本质的差异。儿童

数学是一门将数学学科的学术形态、应用形态与教 育相结合的学科形态，是儿童数学学习的内涵和过 程的统一。如果按照数学体系来教学，是违反教学

结走向学生自己总结;从对小问题的思考走向对开

放性大问题的研究;从接受学习走向创造性学习

等，把“教”和“学”推向了更高层次。三是学科教学与学科教育的关系。在价值导

法的。儿童数学必须根据教育目的的需要，对学科 研究的成果进行再创造,优化学科内容和结构，改 变教学方法、改善教学手段,促进儿童数学素养的

向上,从关注数学育智功能,到全面关注数学的育

德、育美等功能,追求全面育人;在课程资源方面， 从对过多依赖现有教材、教辅材料，到全面开发、整

发展。二是理论架构与实践创新的关系。在引领学

合课程资源,打通书本与现实生活的联系;在教学

生探究方面,摒弃了探索过程和结果同质化的倾 向,学生充满个性化的创造得以精彩纷呈;在指导

方式方法方面，从比较多地注重同伴互助、教师辅

导，到关注基于同伴对话的自我反思;在教学评价 方面，从比较多地关注考试成绩、思维发展情况，到 关注学生学习品质的全面提升等。从学科教学走

生生合作方面,精心研制出中心发言式、叽叽喳喳

式、切块拼接式、接力循环式等合作方式,并把提

问、补充、质疑、辩论、反驳镶嵌其中,让合作更加有 向学科教育，从片面教书走向全面育人，以提升儿 童数学教育的整体品质。》效;在教师指导方面,强调依据学情精准施教,帮助

46 2020/02数学/备课参考I注重内在本质理解的过程。［第_次试教］Primary School Teaching Research小学教学纳宛不能宜观看出y的弓■究竟是多少。1.出示例题工人在一块长方体空地上铺草坪，每小时铺这

2.在后测中发现,让学生计算寻x令时，学

生是可以通过算法计算出正确的结果，即分母相 乘作为新的分母，分子相乘作为新的分子。但是

块地的一半的寻。师：怎么列式？很少有学生能解释清楚3x5和2x4所表示的 意义是什么，这个现象引发了笔者的思考，到底 这里的+表示什么意思？追问:谁的#（板书: 寺的丹。这样列式的理由是？的小结:要求*寻是多少,就用 X看图思考:寺X +的结果（PPT出示书本例

4的长方形图）。意思（+的讣是多少1 3）。比较算式与前面有什么不同。揭示课题—— 分数乘分数。你觉得分数乘分数可以怎样计算？学生猜测 （分数乘分数，用分子乘分子的积作分子，用分母乘

分母的积作分母）。2. 出示例5,先让学生计算出结果，再画图检

验。总结方法。3. 巩固练习。问题发现1.学生在借助长方形的£的务来理解斗x务2 4 2 4时总是不得要领，有的学生在构造寺的&时1 3，往往

将另外一半的壬表示出来。在其所画的图中，并

是什么原因导致学生出现这样的问题，看似很清

楚明了的数形结合的过程对学生而言为什么会 如此曲折。［第二次试教］一、 问题引领，引发冲突1. 出示情境:有两块同样大小的饼，东东吃了

第一块的丄，欣欣吃了第二块的一半的丄,哪位吃8

4得更多一些？2. 引发矛盾：（1）东东吃得多;⑵欣欣吃得多。3. 合作殿:究得多？四人小组讨论一下。二、 主动探究，自主建构1.首次建构⑴直观感受。师:谁吃得多？生:一样多。师:为什么？生：因为东东吃了 一块饼的,*欣欣吃了半块

饼的丄，所以两人吃的是一样多的。4师:一块饼的£为什么就等于半块饼的丄？8

4⑵生成算法生：一块饼的就*是lx * = *（块），半块

饼的寺就是寺X寺=寺（块）。4 2 4 8师:为什么可以这样列式？生：求一个数的几分之几用乘法计算。（板书

揭题:分数乘分数）2020/02 47I小学荻学纳宛Primary School Teaching Research师:那寺1 X 41 为什么等于£?1

⑶明确算理生：我们可以画这样的图来表示题目的意思:师：上图的阴影重合部分表示什么？生:寺的+。（教师在学生的图上用阴影表示 弓■，然后在重叠部分标注■的寺）师:是多少?（y）师:是谁的*?（一块饼的）师:你是怎么看出“8”来的？生:丄就是把一块饼平均分成2块，而寺就是2 4把这2块中的每一块都平均分成4块，所以就是8块。（PPT演示先把一块烧饼平均分成两份,再把每

一份平均分成4份，一共就是8份）⑷回顾小结师:在刚才的问题中，大家通过合作研究，明确 了求寺的+应该用乘法计算。通过画图的方法,

证明了两人吃得同样多。看来画图来理解题意真

是个好办法！2.再次建构（1）积累表象师:寺的才是多少1 3？怎样列式？结果是多少？

（寻）为什么是这么多？O师:你能用自己的方法表示出这道算式的意思

吗？（学生独立画图探索）学生展示作品并上台介绍自己的想法。⑵制造认知矛盾yxy2 2呢？又该如何表示？（学生独立画图

探索）48 2020/02I数学/备课参考的手■//////////////,■//////////////,3

5■的手lilllSSI师:你们为什么都选择画这样的平面图形来表

示计算结果呢？生1：画线段不好画了。生2 ：平面图形可以竖着画出一个分数，还可 以在这个基础上再横着画出这个分数的几分之几。师:这三种方法，你更欣赏哪一种？生：我更欣赏第3种，因为它能一下子就看出 计算结果。师:你能具体说说是怎么看出来的吗？生:分母15是3乘5得到的，表示的是先分成3份，再平均分成5份,所以一共平均分成了 15份。

4是分子2和分子2相乘得到的，表示最后取了刚

才15份当中的4份。三、总结算理师：回顾刚才研究的3道算式，观察它们的计

算过程和结果，现在你知道分数乘分数应该怎样算 了吗？生:分子乘分子,分母乘分母。教师板贴:分子乘分子的积作分子，分母乘分

母的积作分母。师:分母乘分母表示什么？分子乘分子呢？生:分母乘分母表示一共分了多少份,分子乘 分子表示一共取了多少份。【教学思考】数学/备课参考I

一、 在激发内驱中感受算理在第_次试教中,通过对分数乘整数的直接迁

Primary School Teaching Research小学粧学纳宛■自主构造图形表示两个分数相乘提供了基本的思 考方向。在展示了几种不同的表达方法之后，要求

移,使学生明确要求寺的#是多少，就是求一个数 的几分之几是多少,因此用乘法解决。同时直截了 当地出示等分后的长方形，展示出的并在此*学生先说说几种思考过程的相同之处，再启发他们

通过进一步的比较，说说“哪种画法更能表现出先 分后取、再分再取的过程”，同时通过学生的作品， 直观地看出来结果中分母和分子分别表示的是先

1 3 基础上要求学生根据这一模型画出表示亍的才的意义，虽然在课堂上教师教得行云流水,学生学得 严丝合缝,但数学味不够浓,学生学习缺乏兴趣和

分成多少份，从中取出了多少份的过程，在凸显了 两个分数相乘的本质意义的同时,又体现了逐步

完善算法的明确意图。深度学习倾向于在比较中 更好地进行学习,学生通过多元化的比较所获得 的认识和体验自然更加清晰，同时获取的算法也

主动探索的过程，一切都按照教师布置的“轨道”

在行走。因此在第二次试教中笔者将例题改为“比 更有深度。三、在演绎推理中归纳总结的宁和一块饼的+谁更大一些*较一块饼的”。

上述教学中教师紧紧抓住引导学生数形结合

激发了学生比较的兴趣、学习的激情和探索的热 度。与之前不同的是,学生在比较的过程中主动构

的过程,通过演绎推理,紧密地将算法与算理两者

联系在一起，在算法与算理之间架起了一座桥梁,

建一个圆来代替“单位1” 块饼。数形结合

真正做到了算法和算理的融会贯通。借助各种形 状不同的“单位1”在演绎推理的过程中让学生明

的思想在无形中得到了建构，通过这样的理解，学 的*生对理解求y的意义更加深刻,远比死记硬

白一共15份是指把整个图形（可以是长方形、正方

背地求一个数的几分之几更加生动形象。经过这 样的自主学习的过程，学生理解两个分数相乘的

形或者圆等“单位1”）平均分成了 3行5列,3 x 5

就是15份，最终取了 2x2=4份。由内在的算理演 绎出了外在的算法,使学生清晰了两个分数的分母

算理更加充分，而且能够初步感受到两个分数计 算的思考方法，从而为进一步的归纳算法打下坚 实的基础。二、 在多元表征中明确算法相乘其实就是把“单位1”平均分成若干份,而两个 分数的分子相乘其实就是从中取了多少份。从而 自然得出“分数乘分数,分母相乘的积作分母，分子 相乘的积作分子”的计算方法，进一步确认相关猜

布鲁纳关于儿童心智成长的研究告诉我们这

样一个事实:儿童掌握一个数学内涵的过程是先从

想的合理性,整个教学过程既体现了直观手段的作

动作表征过渡到图象表征，最后到抽象思考。在实 际教学中,借助动作表征、图象表征和语言表征的

用，又充满了演绎推理后缜密思考的魅力。学生

通过观察、比较、验证、推理、总结，最终经历了演 绎推理的过程，在真正理解算理的基础上验证算 法，在算法明晰的过程中进一步巩固算理,从而形

积累与质变,可以帮助学生有效理解概念解决问

题。第二次试教在引导学生基于熟悉的圆形表示1 1出寺的才之后，侧重引导学生通过多元化的方法

成属于自己的理解。同时再次利用图形来沟通算 理和算法的联系，在数形互释中进一步理解算理 和掌握算法,使学生对计算方法做到知其然,更知

1 3。教师首先提示:“你能用自己的方 表示出亍的讣法表示出这道算式的意思吗？ ”这就为学生接下来

其所以然。》2020/02 49