Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 不确定线性时变时滞系统的非脆弱鲁棒 屈百达，徐培培 ＱＵ Ｂａｉｄａ，ＸＵ Ｐｅｉｐｅｉ 江南大学轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏无锡２１４１２２ 控制器设计 Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｐｒｏｃｅｓｓ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ Ｌｉｇｈｔ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｊｉａｎｇｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｘｉ，Ｊｉａｎｇｓｕ ２１４１２２，Ｃｈｉｎａ ＱＵ Ｂａｉｄａ，ＸＵ Ｐｅｉｐｅｉ．Ｎｏｎ－ｆｒａｇｉｌｅ ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１５，５１（１０）：４２－４６． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ｕｎｃｅ￣ａｉｎ ｔｉｍｅ。ｖａｒｙｉｎｇ ｌｉｎｅａｒ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ １ｎｔｅｒｖａｌ ｗｈｉｃｈ ｉＳ ｋｎｏｗｎ ａｎｄ ｔｈｅ １ｏｗｅｒ １ｉｍｉｔ ｉＳ ｎｏｔ ｚｅｒｏ． ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｎｏｎ—ｆｒａｇｉｌｅ ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ，ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ．Ｂｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａｎ ａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｌｙａｐｕｎｏｖ－Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｉｎｔｅ－ ｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｔｏ ｇｅｔ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃａｌｌｙ ｓｔａｂｌｅ ａｎｄ ｓａｒｉｓｆｙ ｔｈｅ Ｈ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｎｄｅｘ ｏｆ ｄｅｌａｙ—ｄｅ— ｐｅｎｄｅｎｔ ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｎ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎ—ｆｒａｇｉｌｅ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｔｅ￣ｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｏｆ ｌｏｗ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ— ｌｅｔｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａｎ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｃｏｎｅ Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ（ＩＣＣＬ）ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｃａｎ ｂｅ ｄｅｓｉｇｎｅｄ．Ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ；ｎｏｎ－ｆｒａｇｉｌｅ；ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ；ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ 摘要：基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论和线性矩阵不等式方法，研究一类时滞区间已知且下限不为零的不确定时变时滞 性能指标的时滞相关充分条件，并基于改进的锥补线性化迭代算法（Ｉｍ— 系统的非脆弱鲁棒 控制器设计问题，通过构造合理的Ｌｙａｐｕｎｏｖ．Ｋｒａｓｏｖｓｋｉｉ函数，结合一种新的积分不等式的方 法，得到该类时滞系统渐近稳定且满足 ｐｒｏｖｅｄ Ｃｏｎｅ Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｌｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎ，ＩＣＣＬ）给出一种具有低保守型的非脆弱鲁棒 状态反馈控制器的设计 方法，仿真结果说明了该控制器设计方法的有效性。 关键词：不确定时变时滞系统；非脆弱；鲁棒 控制；积分不等式；线性矩阵不等式 文献标志码：Ａ 中图分类号：ＴＰ２７３ ｄｏｉ：１０．３７７８￣．ｉｓｓｎ．１００２．８３３１．１３０７．００１０ １ 引言 在实际的工程系统中，时滞和不确定的存在往往使 得系统不能达到所要求的稳定性和满足相应性能指标 以及性能的下降，从而达不到所要求的性能指标，因此 对非脆弱控制器的设计已成为近年来的热门问题 。 自从林瑞全等 分析了非脆弱控制的几个研究方向 和注意问题之后，对非脆弱的研究取得了一定的成果， 肖申平等 给出了状态时滞是定常数的一种时滞系统非 脆弱控制器的设计方法；文献［７］给出了一种状态反馈 控制器为加法摄动时的非脆弱保性能控制器的设计方 法，所设计的控制器保证了系统稳定且满足最优的 范数有界；文献［８］针对时滞是时变的且属于一个已知 的目的，使得系统的分析和综合变得更加复杂，已成为 影响系统不稳定的主要因素，故对不确定时滞系统的稳 定性分析和设计一个理想的控制器在理论和实际中都 具有重要的意义 。而控制器在实现的过程中，控制器 参数也会发生一定的变化，从而导致控制器本身出现增 益扰动，这种扰动很容易导致闭环系统的稳定性被破坏 基金项目：高等学校学科创新引智计划资助（Ｎｏ．Ｂ１２０１８）；江苏高校优势学科建设工程资助项目；江苏省产学研联合创新资金项 目（Ｎｏ：１２０７６７）。 作者简介：屈百达（１９５６一），男，教授，博导，主要研究方向：时滞系统，鲁棒控制，模式识别与数据处理；徐培培（１９８６一），通讯作 者，男，硕士研究生，主要研究方向：网络控制系统，时滞系统，鲁棒控制。Ｅ—ｍａｉｌ：ｘ４５３７２９５６１＠１２６。ｔｏｍ 收稿日期：２０１３—０７．０１ 修回日期：２０１３．１１－１９ 文章编号：１００２．８３３１（２０１５）１０．００４２．０５ ＣＮＫＩ网络优先出版ｉ２０１３ １１－２５。ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２１２７．ＴＰ．２０１３１１２５．１５４０．０２６．ｈｔｍｌ 屈百达，徐培培：不确定线性时变时滞系统的非脆弱鲁棒 控制器设计 区间的线性系统给出了一种非脆弱稳定性分析和控制 中 ＝ ＋△ （ ）＋（Ｂ＋Ａ丑（ｆ））霞， ｄ＝ ｄ＋△ ｄＯ），霞＝ ＋ＡＫ（ｔ）。 器设计方法，但是文章并没有给出系统不确定对系统的 影响；Ｙｕｓｕｋｅ Ｓｕｚｕｋｉ等 主要针对不确定广义时滞系统 给出了一种非脆弱 能指标ｙ。 本文主要是利用新构建的积分不等式 ，研究一类 本文的主要目的是设计非脆弱控制器（３），使得闭 环系统（４）满足： 控制器的设计方法，并使得系统 在满足正则无脉冲的条件下是渐近稳定并满足 性 （１）系统内稳定，即在当外界干扰ｗ（ｆ）＝０的情况 下，系统渐进稳定。 （２）在初始状态下，被调输出和外部扰动向量满足 具有区间时变时滞的不确定时滞系统鲁棒非脆弱 控 范数的约束条件：存在任意给定的干扰衰减指标 制器设计问题，给出了满足 性能指标ｙ的非脆弱控 制器的设计方法，并通过采用改进的锥补线性迭代法 给出了控制器的求解算法，通过ｍａｔｌａｂ工具箱的仿真得 出了设计方法的有效性。 本文所用记号如下： ， 分别表示实数域上的ｎ 维向量空间和ｎ×ｎ的矩阵空间； 表示矩阵 的转置； ，表示适当维数的单位矩阵；“ ’表示对称矩阵的对称项。 ２系统描述 考虑如下不确定时变时滞系统： ＣＡ（ｔ）＝（ ＋ＡＡ（ｔ））ｘ（ｔ）＋（ ｄ＋ＡＡ （ｆ）） — （ｆ））＋ （ （ ）＋ （１） （，ｆ）＝Ｃ （、ｆ） ｘ（ｔ）＝ （ｆ），Ｖｔ∈［一ｆ２，０】 其中， （ ）∈Ｒ 是被控对象的状态向量；ｚ（ｔ）∈ｇ 是被调 输出向量；ｕ（ｔ）∈Ｒ 是控制输入向量；ｗ（ｔ）∈Ｒ 是系统的 有限外部扰动向量，且有ｗ（ｔ）∈［０，ｏｏ）；Ａ，Ａ ，Ｂ，Ｇ，Ｃ是 维数适当的已知定常矩阵， （ｆ）是连续的时变时滞，且 是一个有界的可微函数，满足０＜ｄ ＜ｄ（ｔ）＜ｄ，， ）＜ＩＸ＜１， ｄ ，ｄ２， 是已知的常数，其中不确定项ＡＡ（ｔ），ＡＡｄ（ｆ），ＡｇＯ） 是时变不确定性，且满足 ［ＡＡ（ｔ）Ａ，４ｄ（ｆ）ａｎ（ｔ）］＝∑Ｄ ｆ：ｌ ｇｉ（ｔ）［Ｅ Ｅ Ｅ： 】 （２） 其中Ｄ ， ，Ｅ： 是具有适当维数的已知矩阵， （ｆ） 是适维的且具有Ｌｅｂｅｓｇｕｅ的未知时变实值矩阵，即满足 Ｆｉｒ（ｆ） （ｆ）≤，。 （ｆ）是系统的初始状态，且定义在［一ｄ２，０］上。本文 主要考虑在实际的系统中控制器存在增益扰动时的非 脆弱控制器： ｕ（ｔ）＝（ ＋ＡＫ）ｘ（ｔ） （３） 式中ＫｅＲ 是控制器增益，△ 是控制器增益的摄动， 表示现实系统的不确定性，本文主要考虑△置不依赖于控 制器增益Ｋ为加法不确定性时，即ＡＫ＝Ｄ Ｆｋ（ｆ 的情况， 其中Ｄ ，Ｅ 是适维的常矩阵， Ｏ）满足Ｆ［（ｔ）Ｆｋ（ ≤Ｊ。 将控制器（３）作用于系统（１）可得到闭环系统为： ＩｃＡ（ｔ）＝ （ｆ）＋ ｄｘ（ｔ— （ｆ））＋ａｗ（ｔ） ｛ｚ ）＝Ｃｘ（ｔ） （４） 【 （Ｄ＝ （ ，ｔ∈卜ｄ ，０】 ７＞０使得Ｉ１ （ ≤ｙ，即ｌＩｚｌ １＜－￣ｌｌｗｌｌ：。 引理１［１２］对于任意常数矩阵Ｍ∈Ｒ ，常数标量 ｄ，若有向量函数 （ｆ）：［－ｄ ０］ Ｒ ，为具有连续一阶导 数的向量函数，有如下不等式成立： 叱ｔ Ｔ ＭＡｃ ）］ 引理２ 对于任意正定对称的常数矩阵ｚ∈Ｒ ， 任意常数标量ｈ ，ｈ ，和连续函数７ｚ（ｆ）满足ｈ ≤ （ｆ）≤ｈ ， 并且有矩阵函数 ：［－ｈ ｈ 】 ，且 代表第ｉ个元素为１， 其余元素为０的适维向量，如ｉ＝１时，可以有ｅ ＝［１ ０ ０ ０］， 则对于定义在此集合上的函数Ｉ， （ｓ）ＺＡｃ（ｓ）ｄｓ，下列 不等式成立： 一（｜Ｉｌ ～ ）１ ：膏 （ ） （ ） ≤ 叩 （ｆ）［ ＋（ＪＩＩ（ｆ）一ＪＩｌ ） ＋（ｈ吖一｜ＩＩ（ｆ）） ］ （ｆ） 厂＿Ｚ Ｚ ０］ 中 叩（ｆ）＝［ｘＴ（ｔ—ｈ ） （ｆ一 （ｆ）） （ｆ—ｈ ）】 ， ＝Ｉ Ｌ 一２Ｚ ｚ ｌ， 一 ＝（ｅ２－ｅ￣ 一 ）（ｅ２－ｅ３）， ＝（ｅ，－ｅ２ 一 ）× ｌ—ｅ２）。 引理３对于有界的连续函数 ≤４（ｔ）≤４２，且有 （・）： ＋ ＋， ， ２和Ｑ是给定的适当维数的常数矩 阵，使不等式Ｑ＋（ （ｆ）一 ＋（ 一 （ ）） １＜０成立，当且 仅当Ｑ＋ （ 】＋ ２）＜０。 证明： １ ３］叶 生灌 足 已矢Ⅱ鸯 ｆ斗下， ＋（ （ｆ）一 ） ＋ （ 一 （ｆ）） ＜０成立时，当且仅当Ｑ＋（ 一 ） ｌ＜０， ＋（ ２一 １ ２＜０成立，所以可得Ｑ＋ １＋ ２）＜０ 成立。引理证毕。 引理４ｎ 给定的适当维数的对称矩阵 和矩阵 ，Ⅳ，对任意满足Ｆ （ｆ）Ｆ ）≤ 的对称矩阵Ｆ（ｔ），使得 Ｔ＋ＭＦＮ＋Ｍ Ｆ Ｎ ＜０的充分必要条件是存在一个标 量ｓ＞０，满足 ＋ｅＭＭ ＋ｓ一 Ｎ Ｊ７、ｒ＜０。 ３主要结论 定理１给定ｙ＞０，如果存在适当维数的对称正定 ４４ ２０１５，５１（１０） ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 矩阵Ｐ，Ｑ ，Ｑ ，Ｑ ，ｚ ，ｚ ，及给定的正数标量ｓ， ， ， ｉ＝１，２，…，ｎ，使得如下矩阵不等式成立： （ｔ）ＺｌＸ（ｔ）＋ｄ￣Ｊｃ （ｆ）ｚ２Ａｔ（ｔ）一 ［ｒｔｘ１ Ｈ＝ｌ （ ）ｚ。 （ ） 一 ｆ （５） 由引理１ Ｉｊ得： ｔ ）Ｚ２ｘ（ ）出 （７） ｌ木 其中 互 ｚ ＰＡ ｄ ２ ＜ ０ Ｔ Ｆ ｘ（ｔ） ＺＪ Ｌｘ（ｔ－ ｄ ）］（８） ０ ０ ３ ｚ２ ＰＧ ｏ ０ ＋ＢＫ ｚ Ｌ ０ ＡＴ ａＺ１＋ＢＫ ｚ ２ ｏ 一 由引理２和引理３可得下面不等式成立： ｚ２ 巨３ ｚ２ ｆｔ一 ｄＩ 戈 ，ｄ ≤ ｌｌ 亏『ｌ－ Ｚ２ 一Ｚ２ ２乏］Ｉ ｃ９ 一ｚ ｌ Ｈｌ１＝ 女 Ｑ 一 ｚ ０ ０ ０ 木 木 Ｇ Ｚ１ Ｇ Ｚ 牵 枣 木 ～ Ｌｚ ０ 枣 卓 女 一ａ；￣２ｚ２ １＝ＰＡ＋ＰＢＫ＋Ａ Ｐ＋Ｋ Ｂ Ｐ＋Ｑｌ—Ｚｌ ：＝Ｑ：十Ｑ 一Ｑ 一ＺＩ～詈ｚ２，三 ＝ 一１）Ｑ３—３ｚ２ ＝［ … ］ Ｍｉ＝［ｅｉＤ ０ ０ ０ ０ ｏＴｚ，ｓ Ｄ Ｔｚ２］ Ｎｉ＝［Ｅｌ ＋ ２ Ｋ ０ Ｅ ０ ０ ０ ０ｒ＇ｆ＝１，２，…，，ｚ 口２２＝ｄｉａｇ｛一８１Ｊ 一８１Ｊ … 一ｓ１， 一ｇ＂Ｊ） （ＰＢＤ ） ０ ０ ０ ０ （Ｚ Ｔ Ｄ ） （Ｚ？ＢＯ ） ｌ ／／１３ Ｊｌ Ｅ Ｃ ００ ００ ００ ００ ００ ００ ｊＩ Ｆｌｏ０ ｔ ｋＤ ０ Ｅ２１…０…０ ＤＴ０ Ｅ２ ｌ Ｌｏ ０ …０ ０ ｊ Ｈ３３＝ｄｉａｇ｛一￡ —ｓ Ｊ—Ｉ｝，ｄ１２＝ｄ２一ｄｌ 则由非脆弱状态反馈控制器（３）所得到的闭环系统 （４）是渐近稳定的，并且具有 性能指标ｙ。 证明：构造如下的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数： Ｖ（ｘ ）＝ ｏ）ｒ （ｆ）＋Ｊ ＿ｄｌ ＸＴ（ ）Ｑｌｘ（ ）ｄｓ＋ ＩｘＴ（）Ｑ２ｘ（ｓ）ｄｓ 十－ｄ １Ｔ）Ｑ３ｘ（ｓ）ｄｓ 十２（ ）ｚ１ ）ｄｓｄＯ＋ ． ｄ １ｆｔ ｄＪｆ＋１２ （ ）ｚ２ ）ｄｓｄＯ （６） 其中Ｘ，： ＋ ），一２ｄ＜ ＜０，当ｗ ）≠０时，沿闭环系统 （４）对（６）进行求导得： Ｖ（ｘ ）＝２ Ｔ（，） Ｐ ）＋ Ｔ（ Ｑｌ （，）～ＸＴ 一 ）Ｑ１ｘ（ｔ－ｄ１）＋ Ｘ （ｔ— １）Ｑ２ｘ（ｔ—ｄ１）一Ｘ （ｔ—ｄ２）Ｑ２ｘ（ｔ—ｄ２）＋ Ｘ （ 一ｄ１）Ｑ３ｘ（ｔ－ｄ１）一 （１一 （ｆ）） Ｏ— （ｆ））Ｑ ｘ（ｔ— （ｆ））＋ 其中 （ ＝【ｘ —ｄ ）ｘＴ（ｔ— （ ）ｘＴ（ｔ一 ）］ 。 把式（８），（９）带入式（７）经过整理，并结合Ｓｃｈｕｒ补 定理得到： （ ）＜ （ｆ） （ｆ） （１０） 其中 ＝［ＸＴ（ｆ）ｘｒ（ｔ—ｄ１）ｘｒ（ｔ— （ｆ）） （ｔ－ｄ２）】 ＾【Ｉ】 术 书 ｚ２ Ｚｆ Ａ－ＴｄＺ２ ＝ 木 木 木 Ｑ 一 ｚ： ０ ０ Ｏ 木 ０ 木 木 ｛ Ｇ Ｚ． Ｇ Ｚ 木 球 丰 一ｄ Ｚ ０ －冰 ０ 木 半 木 ２Ｚ １２其中宣＝ Ｐ＋ ＋Ｑ 一ｚｌ，５ ，一 定义同（５），要使 ｕ 闭环系统渐近稳定，只要满足 （ ，）＜ （ ） （ ）＜０，即 靠＜０，根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论可知，闭环系统（４）是 —４ ０ 渐近稳定的。现考虑不确定性，把满足（２）的不确定项 带入（１０）中，整理得： 疗＋∑ＭｉＦｉ（ｔ）Ｎ７＋∑ Ｆ （ｆ） ＜０ Ｉ＝１ ｆ＝１ 其中： １ Ｚｌ ＰＡｄ ０ ＰＧ（ ＋ 詹） ｚｌ（ ＋ 霞） ｚ２ ０ ０ ０ ０ ２ ｚ２ 半 术 ｚ２ ０ ｚｌ Ｈ＝ 水 水 水 一Ｑ２～Ｚ２ ０ ０ 半 枣 木 ★ ０ ＧＺ１ 水 木 球 一ｄ 。ｚ Ｌ 枣 木 ％ 木 童Ｌ＝ＰＡ＋ＰＢＫ＋ Ｐ＋Ｋ Ｂ Ｐ＋ＱＬ—ｚ ，Ｅ ，ｇ 义 同（５），由引理４可知存在标量常数ｓ ， １，２，…， 使 得下面不等式成立。 屈百达，徐培培：不确定线性时变时滞系统的非脆弱鲁棒风控制器设计 … 考虑非脆弱项ＡＫ＝Ｄ Ｆ （ｆ） ，令 ｌ Ｚ１ ＰＡｄ ０ ＰＧ（ 十 眉 ） Ｚ１（ ＋ ） Ｚ２ ２ ０ ０ ０ ０ ￡３ ｚ２ ０ ＡＴＺ１ ＡＴｄｄｚ２ １Ｉ＝ 一Ｑ２一 ｚ２ ０ ０ ０ ０ ＧＺ１ ＧＺ２ 一 Ｚ１ ０ 一 ｚ２ 盯３ｌ＝ ［（ＰＺＯ ） ０ ０ ０ ０（ｚ１ＴＢＤ ） ｏ（ｚｆＢＤ ） ０（ ２１Ｄ ） …０（ ２１Ｄ ） ］ ２＝Ｉ Ｅ ｔ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０Ｉ 则不等式（１１）可写为： ｌ １／３ ＋ ）１２３：＜０ 再使用引理４存在一个标量 ＞０使得如下不等式 成立： ｌ ＜０ 引入函数： Ｉ，＝ ｋ （ ） ）一ｙ ¨， （ｆ） （ｆ）］ｄｆ＝ ［ｚ （ｆ）ｚ（ｆ）一ｙ。 （ｆ）’Ｉ，（ｆ）＋ （ ）］ｄｆ＋ｖ（ｏ）－ （ｏ０） 在零初始条件可知ｖ（ｏ）＝０， （。。）＞０所以有： ．，≤ ｋ ）ｚ ）一ｙ （ｆ） （ｆ）＋ｌ？（ｘｔ）］ｄｔ 利用ｓｃｈｕｒ补引理得到下式成立： ＺＴ（ｆ） Ｏ）一ｙ２Ｗ （ｆ） （ ）＋ （ ）≤ （ｆ） （ｆ） 由式（５）可知 ７，Ｔ（ｆ）ｚ（ｆ）一）， Ｔ（ｆ）’．，（ｆ）＋ （ ，）＜０ 从而可得．，≤ ｏｏ Ｔ（ｆ） （ｆ）一ｙ ’．， （ｆ） （ｆ）］ｄｆ＜０ 因此有满足 范数的约束条件：存在任意给定的 干扰衰减指标７＞０使得Ｉ Ｊ（ ）ｌＪ≤ｙ，即ＩＩｚｌＪ：￣１）ｗｌｌ：。 当有界的外部干扰向量ｗ（ｆ）＝０时，根据Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定 性理论，并由（５）及ｓｃｈｕｒ补引理可知闭环系统（４）是渐 近稳定的。定理１证毕。 注１引理２是处理一（ｈＭ－ ）Ｉｔ －ｈｍ（ ｚ ）ｄｓ的 ， 一种新的方法，文献［１５】相当于引理２中 ＝０， ＝０， 即忽略了一（＾ 一＾（ｆ））ｆ一ｔ－ ｈｍ （ ）２ ）ｄｓ和一（｜Ｉｌ（ｆ）一．１ｌ ）× Ｉ＾ｔ—ｈ（ｔ｝ （ ） （ ）出两项，从而使保守性变大，故引理２的 ｈ 使用Ｍ减小了系统的保守性。 定理２对系统（１）和具有加法摄动的控制器（３），给 定ｙ＞０，如果存在适当维数的对称正定矩阵Ｐ， ， ， Ｚ—，Ｚ一ｌ，２，矩阵Ｉ，及给定的正数标量ｓ，ｓ ，ｓ ， １，２，…，，ｚ， 使得如下矩阵不等式成立： ｌ，ｌ 厂１ ｌ ，＝Ｉ ： 。ｌ＜０ （１２） Ｉ，Ｉ 其中 ２１ Ａｄ声０ Ｇ（ ＋ｙｒＢ ）（ＰＡ ＋Ｙ Ｂ ） ｒ２告ｚ２ ０ ０ ０ ０ Ｆ３ ３ － ０ ｒＩ１＝ Ｑ２一 Ｄｚ－ ０ ０ ０ ｝ ｝ 水 宰 ＿ｙ２ ＧＴ Ｇ ｝｛ ￥ 十一ｄ，－ 声Ｚ一 声０ 一 ＝ 户＋ ｙ＋ ＋Ｙ Ｂ ＋Ｑ—ｌ一 Ｉ ＝Ｑ２＋Ｑ３一Ｑｌ—Ｚｊ一号Ｚ２，／＇３＝ 一１）Ｑ３—３ｚ２ ，ｌ ＝［ Ⅳｌ…Ｍｎ Ｎｎ】 ＝［ｓｆＤ Ｔ ０ ０ ０ ０ ｇｉｌ） ８ Ｄ ＝ＩＥ１ Ｐ＋Ｅ２ｆｌ，０ Ｅ Ｐ ０ ０ ０ ０ｌ ｉ＝１，２，…， ＿ｓ （ＢＤ ） ０ ０ ０ ０ ｅ￣（ＢＤ ） ｓ （ＢＤ ）］ ３ Ｉｌ ＰＥ ０Ｐｃ ０ ００ ００ ００ ０ ０ ００ Ｉ Ｊ ， ，， 。同（５）。 则闭环系统（１）在非脆弱控制器（３）的作用下是渐 近稳定的，且满足 性能指标ｙ，非脆弱控制器增益 ＝ 。 证明：由定理１，对式（５）左乘和右乘以 ｄｉａｇ｛Ｐ—Ｐ Ｐ Ｐ Ｉ ｚ－、ＺＩ、Ｉ Ｉ…Ｉ ｌ ｌ Ｉ Ｉ 。并在 所得结果中令Ｐ＝ｐ一， ＝ Ｐ～， ＝Ｐ－。Ｑ。Ｐ～， ＝ Ｐ Ｑ２Ｐ～， ３＝Ｐ＿。Ｑ３Ｐ－。， ＝Ｐ ｚｌＰ＿。，之＝ＰＩ１ ｚ２Ｐ 可以得式（１２）成立。定理２证毕。 但是在式（１２）中， 户和 户是存在的非线 性项，从而导致在求解的过程中无法利用凸优化算法求 控制器的增益，引入新的适维矩阵变量 ， ，使得 Ｓ。＜ Ｐ，Ｓ：＜ Ｐ，所以（１２）可有下列线性矩阵 不等式成立： Ｉｆ１ｌ ｊ Ｆｌ３ ｌ，＝ｌ ２／／２３Ｉ＜０ （１３） ｌ ３Ｊ ４６ ２０１５，５１（１０） ｒ ｚ ＬＡｄＰ Ｆ２ ３ｚ－ ０ ０ ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 Ｇ （ ０ ０ ＋ｌ， Ｂ ）（ＰＡ 十Ｙ Ｂ ） ０ ０ ４仿真实例 对于不确定时变时滞系统（１），其不确定项满足 （２），当ｆ＿１时，其参数如下： ｆｌ。＝ 球 枣 木 木 一 ：一０ 丢之 —０ Ｇ ０ Ｇ 木 枣 ７２ ： ， ＝ 一 ， ＝『＿ ： ｃ＝巴 二 ：习，Ｄ１［＿ ，。 ＝［＿ 三一 ：习 ＝ 一 －ｄ？ Ｓ１ ０ 木 术 术 木 丰 一ｄ ｓ２ 厂１ ，厂Ｊ，，Ⅱ２：， ，， ，定义同式（１２）： Ｐ２，－ 户≥ ｌ 户≥ ２ （１４） 则由ｓｃｈｕｒ补引理，可得式（１４）等价于 ， １ 令 ＝ 。，ｊ＝Ｐ一，Ｒ ＝ ，ｉ＝１，２，式（１５）可表示为： 。 利用锥补线性化迭代方法可以将非线性不等式 （１２）的求解转化为如下非线性最小化问题： Ｍｉｎｉｍｉｚｅ ｔｒ｛∑ ＋ ＋ ｆ｝ （１７） Ｓｕｂｊｅｃｔ ｔｏ式（１３）以及 ＩＰ＞０，Ｑ１＞０，Ｑ２＞０，Ｑ３＞０，Ｚ１＞０，Ｚ２＞０ ｊ 习≥。， ≥。， ≥。， 。， ＝ ，２ ８ 如果上述最小化问题的解是５ｎ，则系统（１）在非脆 弱控制器（３）的作用下，不仅是渐近稳定的，而且具有给 定的 扰动抑制水平 。 采用的算法步骤如下：给定ｄｌ、ｄ２最小化ｙ。 步骤１给定ｄ 、ｄ，初值，并使其满足式（１３）。 步骤２找出一组满足不等式（１３）的可行解（声 ，ｙ ， ：， ， ， ， ，．， ， ， ），ｆ＝１，２，设七＝１。 步骤３对矩阵变量（户，Ｙ， 。， ：， 。，Ｚ—ｉ，Ｓ ，Ｊ， ，Ｒ ） 解如下最小化问题： ２ Ｍｉｎｉｍｉｚｅ ｔｒ（Ｐ Ｊ＋Ｊ 声＋∑（ＬｋＳ ＋ｓｆｒ，＋ ＋ ）） ｉ＝１ Ｓｕｂｊｅｅｔ ｔｏ（１３） 使得户¨ ＝ ，Ｊ“ ＝．，， ＝ ， ＝ ，Ｒ ｋ ＝ ， Ｚ ＝ｚｉ， １，２ 步骤４对于步骤３所得到的控制器增益 ＝ 一， 如果满足不等式式（１２），则适当的减小ｙ，并回到步骤 ２，如果所得控制器不能使式（１２）满足，并超出了设定的 迭代次数，则终止程序，否则让尼＝ ＋１，返回到步骤３。 注２ ＩＣＣＬ算法迭代终止的条件相对于ＣＣＩ算法更加 宽松，迭代次数也较少，算法将结束的条件设定为满足式（１２） 时，则不需要给定初始参数，所以得到的保守性较小。 －Ｅ ＝ ｏ蔓－一。０．４ ０ｕ￣， ＝『＿ ： ， ： ＝［＿ ｇｋ＝ Ｇ 二 在给定时滞区间的下界ｄ ＝０．５，上界ｄ，＝２，并且 给定Ｕ＝０．８时，取标量常数ｓ ＝１５，１４０２，ｓ ＝１６，１ １３７ 由ＬＭＩ工具箱可以得到 性能指标ｙ的最优解为 ｙ＝０．５８，并且可以得到： Ｊ—ｌｙ—Ｉ 一０．３０４ ２—０．１３１ １ｌＩ●Ｊ一 一Ｆ＿ ０．６６２ ０ ０．００４ ３Ｉ ｌ Ｌ－４． ｌ１ ４－２．９１９ ０Ｊ ＬＯ．００４ ３ ０．６９９ ９３ 故可以得到最优的非脆弱鲁棒 控制器的增益 矩阵为： Ｋ： ～：ｌ一０・４５８ ３—０・１８４４ｌ ５结束语 本文利用一种新的积分不等式的方法，研究一类时 滞区间是已知的且下限不为零的不确定时变时滞系统在 控制器存在加法不确定性的非脆弱鲁棒 ｒｍ控制器的设 计问题，结合ＬＭＩ方法，并通过ＩＣＣＬ算法，给出了一种 具有较低保守型的非脆弱稳定性分析和鲁棒 控制器 的设计方法，并且通过仿真实例表明该方法的有效性。 参考文献： ［１］Ｄｏｎｇ Ｙｕｅ，Ｗｏｎ Ｓ．Ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｎ ｄｅｌａｙ ａｎｄ ｉｔｓ ｔｉｍｅ— ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎ— ｔｒｏｌ，２００２，４７（２）：４０７．４０８． ［２】Ｚｈａｎｇ Ｘ Ｍ，Ｗｕ Ｍｉｎ，Ｓｈｅ Ｊｉｎｈｕａ．Ｄｅｌａｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｔａｂｉ— ｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００５，４１（８）：１４０５—１４１２． ［３李涛，３］张合新，孙鹏．含区间时变时滞的线性不确定系统鲁 棒稳定性新判据［Ｊ】．控制与决策，２０１０，２５（６）：９５３．９５７． ［４］Ｌｅｅ Ｙ Ｓ，Ｍｏｏｎ Ｙ Ｓ，Ｋｗｏｎ Ｗ Ｈ，ｅｔ ａ１．Ｄｅｌａｙ・ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｔａｔｅ—ｄｅｌａｙ［Ｊ］． Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００４，４０（１）：６５—７２． ［５］林瑞全，杨富文．基于 。控制理论的非脆弱控制的研究［Ｊ】－ 控制与决策，２００４，１９（５）：５９８—６００． ［６】肖申平，吴敏，张先明．不确定时滞系统的时滞相关非脆弱 鲁棒 。控制［Ｊ］．系统科学与数学，２００７，２７（３）：４０１－４１１． （下转６４页） ６４ ２０１５，５１（１０） ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用 （上接１１页） ［２２】Ｗａｎｇ Ｇ Ｊ，Ｚｈｏｕ Ｈ Ｊ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｌｏｇｉｃ ａｎｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄ．ｆＳ．１．］：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ， ２００９． ６７一 ７１． ［２７］谢星航．有线电视系统对航空无线电业务干扰研究［Ｊ】．中 国无线电，２００６（３）：６８—７１． 【２８］王丹．关于广电信号对民航频率干扰的分析与思考［Ｊ］＿中国 无线电，２００７（９）：６４—６５。 ［２３］马方立．无线电干扰的监测分类与通用识别方法探讨［Ｊ］． 中国无线电，２００４（３）：３２—２６． ［２９］山西省运城市无线电管理处．民航专用频率受到干扰广 电杂散信号是“真凶”［Ｊ］＿中国无线电，２０１３（２）． ［３０］Ｉｎ６ｓ Ｃ，Ｌａｕｒａ Ｇ，Ｌｕｃｉａｎｏ Ｓ．Ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ａｎｄ Ｄｉｓｓｉｍｉｌａｒｉｔｙ ［２４］张睿，周峰，郭隆庆．无线通信仪表与测试应用［Ｍ］．北京： 人民邮电出版社，２０１２． ［２５］陈亮，王强．电视杂散信号干扰民航频率［Ｊ】．中国无线电， ２０１３（１１）：６９．７０． Ｍｅａｓｕｒｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ：Ａ ｆｏｒｍａｌ ｒｅｌａｔｉｏｎａｌ ｓｔｕｄｙ［Ｊ］． Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１３，２２９：１２２—１４１． ［３１］Ｃｈｅｎ Ｙ Ｃ，Ｈｓｕ Ｃ Ｙ，Ｌｉｕ Ｌ，ｅｔ ａ１．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ａ ｎｕｔｒｉｔｉｏｎ ［２６］高云，畅洪涛，聂宏斌，等．一起公众移动通信基站信号干 ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ｅｘｐｅｒｔ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｅｘｐｅｔｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉ— ｃａｔｉｏｎｓ。２０１２．３９：２１３２。２１５６． 扰民航二次雷达的案例分析【Ｊ］．中国无线电，２００９（１１）： （上接４６页） 【７】Ｋｉｍ Ｊ Ｈ．Ｄｅｌａｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ ａｎｄ ｎｏｎ—ｆｒａｇｉｌｅ ｇｕａｒａｎ— ｔｅｅｄ ｏｆ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ 析与综合［Ｊ］．系统工程与电子技术，２０１２，３４（２）：３４２—３４７． 【１２］Ｈａｎ Ｑ．Ａｂｓｏｌｕｔｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｓｅｃｔｏｒ ｂｏｕｎｄｅｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，２００５，４０（１２）： ２１７１—２１７６． ｔｉｍｅ ｖａｒｙｉｎｇ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｉｎｐｕｔ ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００９，７（３）：３５７—３６４． ［１３】Ｙｕｅ Ｄ，Ｔｉａｎ Ｄ，Ｚｈａｎｇ ＹＡ ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｃＯｎｔｉｎｕＯｕｓ／ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ— ［８］马大中，王占山，冯健．区间时滞系统的非脆弱鲁棒 控 ｖａｒｙｉｎｇ ｄｅｌａｙ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｎａｔｒｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ Ｒｏｂｕｓｔ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２００９。１９（１３）：１４９３．１５ｌ８． 制［Ｊ］．东北大学学报：自然科学版，２０１ｌ，３２（４）：４７６．４８０． 【９］Ｓｕｚｕｋｉ Ｙ，Ｃｈｉｄａ Ｙ Ｕ，Ｙｏｎｅｙａｍａ Ｊ．Ｒｏｂｕｓｔ ｎｏｎ－ｆｒａｇｉｌｅ ［１４］Ｐｅｔｅｒｓｅｎ Ｉ Ｒ，Ａ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｕｎｃｅｒ— ｔａｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｌｅｔｔ，１９８７，８（４）： ３５ １，３５７． ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｏｒｆ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈ— ｅｍａｔｉｅａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１２，６（２８）：１３８１－１３９５． ［１ ｏｌ Ｒａｍａｋｒｉｓｈｎａｎ Ｋ，Ｒａｙ Ｇ．Ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｕｎ— ｃｅｒｔａｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｄｅｌａｙ［Ｊ］． ［１ ５】Ｐｅｎｇ Ｃ，Ｔｉａｎ Ｙ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｄｅｌａｙ・ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ Ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｉｍｅ－ｖａｒｙｉｎｇ Ｊ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ Ａｐｐｌ，２０１１，９（４）：５５９—５６６． ｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＩＥＴ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２００８，２（９）： ７５２．７６】． ［１１］陈刚，阳春华，朱红求．考虑时延与丢包的网络控制系统分
