维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年ｌ１月 西北工业大学学报 ＮＯＶ． ２００２ 第２Ｏ卷第４期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶｏＩ．２Ｏ Ｎｏ．４ 一类不确定多时滞非线性系统的 自适应 ∞鲁棒控制 贾秋玲，何长安 （西北工业大学自动控制系，陕西西安 ７１００７２） 摘 要：针对一类更具一般性的不确定多时滞非线性系统，在不确定项范数有界，但是其上界未知 的情况下，设计自适应鲁棒Ｈ 状态反馈控制器，论证了该类系统的自适应Ｈ 鲁棒控制器存在的 充分条件，并利用耗散性原理证明了这些充分条件。仿真结果表明该方法能较好地估计未知参数， 并对干扰输入具有较强的抑制能力。 ’ 关 键 词：不确定性，多时滞，自适应Ｈ 鲁棒控制，耗散性原理 中图分类号：ＴＰ１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—２７５８（２００２）０４—０５３２—０４ 近年来，不确定的时滞线性系统的鲁棒控制问 控输出信号，Ａ，Ａ．（ 一１，…， ）∈Ｒ 为定常矩阵， 题口ｑ 和Ｈ 鲁棒控制问题Ｌ４ 在控制界得到了广 （ 一１，…， ）为时间滞后量， ，Ｄ，ｃ均为适当维数 泛的研究。但是，针对不确定的时滞非线性系统的 的定常矩阵，Ｇ，（ （￡一 ），ｔ）为，ｚ维非线性向量函 Ｈ 鲁棒控制问题的研究，几乎都是在状态非线性 数。 不确定项满足范数有界，且已知其范数上界的条件 系统（１）中的各定常矩阵Ａ （ 一１，…， ）∈ 下进行的Ｌ５ ］。对于非线性不确定项满足范数有界， 可以分解为两个适当维数的矩阵的积，即存在 但其上界未知的非线性时滞系统，文献Ｅ８］针对一 适当维数的矩阵Ｅ，Ｆ （ 一１，…， ）使 类简单的、满足匹配条件的此类系统提出了自适应 Ａ 一Ｅ．Ｆ。 （ 一１，…， ） （２） 鲁棒控制的设计思想。本文研究更具一般性的非线 并且令 性系统的自适应Ｈ 鲁棒控制器设计问题。 Ｅ一［层 Ｅ２…层，］ Ｆ—ＥＦＴ Ｆ …Ｆ ］ 初始条件为 １研究的问题 （￡）一９（￡）ｔ∈Ｅｔ０一ｒ眦 ，ｔｏ］ （３） 式中，９（￡）是连续函数，ｒ眦 一ｍａｘ｛ｒｉ，ｉ一１，…， ｝。 １．１研究的系统 假设１ （Ａ， ）可镇定。 考虑如下方程描述的不确定多时滞非线性系统 假设２ 存在连续的有界的向量函数６ｊ（Ｘ（ｔ一 ， （￡）一Ａｘ（ｔ）＋∑Ａ （￡一 ）＋ ），￡）∈Ｒ” ，使得非线性不确定项可表示为 ｉ＝１ Ｇ （ （￡一 ），￡）一Ｂ （ （￡一 ），￡） （４） ， ∑Ｇ，（ （￡一 ），￡）＋Ｂｕ（ｔ）＋Ｄｗ（ｔ） 上界为 ，＝０ Ｉ （ （￡一ｒＪ），￡）Ｉ≤ Ｉ （￡一ｒＪ）Ｉ ｒＯ一０ 三三＝０（＿『＝１，…， ） ≥０ （５） ｚ（ｆ）＝ （ｆ） （１） 式中，ｒｏ＝０，Ｏｔ，（ ＝０，…， ），是未知的正数。 式中， （ｆ）∈Ｒ 为状态，ｌＩ（ｆ）∈Ｒ 表示控制输入， 事实上，假设２中的（５）式隐含着 （Ｏ，ｆ）＝０， ＇．，（ｆ）∈Ｒ 表示外部输入或干扰输入，ｚ（ｆ）∈Ｒ 是被 Ｊ＝０，…， Ｖ ｔ，即 （ｆ）＝０为自由系统（１Ｉ（ｆ）＝Ｏ） 收■日期，２００１－－０８－－２８ 基金项目，国家９７３ｔ大基础研究项目（Ｇ１９９８ｏ３ｏ４１７） 作奢筒介。贾秋玲（１９６６－－），女，西北工业大学博士生，从】．‘非线性系统鲁棒镇定、非线性系统鲁棒 控制的研究． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 贾秋玲等：一类不确定多时滞非线性系统的自适应 鲁棒控制 ・５３３・ 的一个平衡点。 定证理明如果系统（１）满足假设３，则控制律 选择储备函数为 （￡）Ｐ （￡）＋ １．２ 自适应Ｈ 鲁棒控制问题 由于１．１节中所描述的不确定系统具有未知的 不确定上界，就必须采用自适应控制策略对其进行 控制。此时，储备函数为 （ （￡），９（￡），￡）： × ¨ ×足 一足 ，那么，求解自适应的Ｈ 鲁棒控制问 题，就需要设计自适应控制器，使得相应的闭环系 统在原点的某一邻域￡，∈ 内渐近稳定，且关于支 持率ｓ（ｗ，ｚ）＝ ｌ’．，ｌ 一ｌｚｌ 是耗散的。也即是说， （９）、（１Ｏ）是系统（１）的鲁棒Ｈ。。控制器。 Ｖ（ （￡），９（￡），￡）一 ∑Ｉ ｘＴ（ ） Ｆ （ｓ）ｄｓ＋ ∑ Ｉ ｘＴ（ ） （ ）ｄ ＋ 厂一１舀 （１３） ｉ＝０ 。 Ｊ 式中，Ｐ为代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程式（７）的对称正定解． Ｆ。，ｉ一１，…， 为（２）式中Ａ，（ 一１，…， ）的分解矩 阵，厂是正定矩阵， ， ＝０，…， 是正常数。则 Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数为 Ｈ＝ ＋ｚ （￡）ｚ（￡）一）， ’．， （￡）’．，（ｆ） 存在非负连续光滑的储备函数 （ （￡），９（￡），ｆ）： × ¨×足 一足 满足下列耗散不等式 ＋Ｉｚ（￡）Ｉ 一）， Ｉ’．，（￡）Ｉ。 ｏ （６） ２ 自适应Ｈ。。鲁棒控制器的设计 假设３ 考察被控对象（１），对给定的对称正定 矩阵Ｑ和标量 ＞０， ＞０，），＞０，假设下列Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的解矩阵为Ｐ 一 （￡）ｆＬ－ Ａｒｐ＋ＰＡ一上Ｐ曰曰 Ｐ］Ｊ （ ｆ）＋ ２ｘ Ｐ∑Ａ （￡一 ）一ｘＴ（ｔ）ｅＢＣＯＢ Ｐｘ（ｔ）＋ ２ｘ （￡）Ｐ∑Ｇ （ （￡一ｒｊ），ｆ）＋２ｘ （￡）Ｐ （ｆ）＋ ∑，（￡） Ｆ。 （￡）一 ， Ａ Ｐ＋ＰＡ＋尸［Ｌ 一去曰曰 ＋ｌＥＥ ＋ １， ‘ ＪＤＤ ］ Ｐ 十，ＩＦ Ｆ＋ＣｒＣ＋∑ ，一一Ｑ 式中，Ｖ ＞ｏ（ｊ＝０，。…， ）为正常数。 令８ｉ—ａ２Ｊ ｊ＝０，…，ｌ （７ ∑ （ｆ一 ）ＦＴＦｉｘ（ｔ— ）＋ ｉ＝１ ， ， ∑ （￡） （￡）一∑ （￡一ｒ ） （ｆ—ｒ ）＋ （８） ｉ＝０ ｉ＝０ ０＝ｔｏｏ ０１…如下 ｏ，３ 记分为０的估计值，构造自适应动态状态反馈控制器 ２ ｒ一１舀＋ （￡）Ｃ Ｃｘ（ｔ）一）， ’．， （￡）’．，（￡） 利用不等式 ｌＢ Ｐｘ（ｔ）ｌ （９） 台（￡）＝ ２ｘ （￡）Ｐ∑Ａ （￡一 ）一∑２ｘ （ｔ）ＰＥ。Ｆ。 （￡一Ｉ＂Ｉ） ｌＩ（￡）＝一 曰 Ｐｘ（￡）一号 Ｐ （￡）（１ｏａ） 一∑［寺ｘＴ∽踞ＥＴｅｘ（￡）＋ （￡一ｒ ） Ｆｉｘ（ｔ—ｒ。）］＝ ÷ （ｔ）ＰＥＥ Ｐｘ（ｔ）＋ Ａ ［ … ］ （１０ｂ） 设估计误差为 ＝ 一０，则 百（￡）一妻 ｌＢ Ｐｘ（ｔ）ｌ 将（１０）、（１１）式代入（１）式，则得闭环系统 （１１） ∑ （￡一ｒ ）Ｆ Ｆ ｘ（ｔ—ｒ，） ２ｘ （￡）Ｐ Ｇ，（ （￡一ｒｉ），￡）＝２ｘ （ｔ）ＰＢ＞ －）＝［Ａ－－ 脚］ ）＋ Ｉ （卜 一 曰 Ｐｘ（ｔ）＋ ０ 一 －一 （ （￡一 ），￡） ∑２ Ｉ曰 Ｐｘ（ｔ）Ｉ・Ｉｘ（ｔ一 ）Ｉ 当＇．，（ｔ）＝＇．，。（ｔ）＝击Ｄ Ｐｘ（ｔ）时，Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数取 最大值，那么 Ｈ＝ ＋ｚ （￡）ｚ（￡）一），。＇．， （￡）’．，（￡） １ １ 壹Ｇ （ｔ一 ）＋Ｄ＇．，∽ 杏∽＝专 Ｉ ＢＴＰ ）Ｉ２ （￡） ＩＬ Ａ Ｐ＋ＰＡ一÷Ｐ曰曰 Ｐ ＩＪ （￡）＋ 维普资讯 http://www.cqvip.com 西北工业大学学报 第２Ｏ卷 寺 （ｔ）ＰＥＥ Ｐ （￡）一ＸＴ（ｔ￣ｅＢＣＯＢ Ｐｘ（ｔ）＋ ∑２ａ，Ｉ曰 Ｐｘ（ｔ）１．Ｉ （ｆ—ｆ，）Ｉ＋ ，＝０ ３算例仿真 例 考察下列不确定时滞非线性系统 １ Ｔ（ｔ）ＰＤＤ Ｐ （ｆ）＋ （ｆ）Ｆ Ｆｘ（ｔ）＋ ㈤一ｆＬ．０ ２——３２ Ｉｘ（ｔ）＋ｆ．０ ｋ——０．２——０．３Ｊ ］ ∑ （ｆ） （ｆ）一∑￣ｊｘ （ｆ—ｆ，） （￡一ｆ，）＋ ， ０ ， Ｏ ｘ（ｔ－－ ＋［。：） ］ ＋ ２ 广 ＋ （ｆ）ｃ Ｃ （ｆ）一 （ｆ）［Ａ Ｐ＋ＰＡ＋ Ｐ（一去曰曰ｕ ＋ｌＥＥＡ 十 １７ Ｌ ＤＤ ）Ｐ＋ Ｆ＋ ＣｖＣ＋∑』９ ，］ （ｆ）一 台Ｉ曰 Ｐｘ（ｔ）Ｉ ＋ ， ［。 ］ 十 ［。 ［。 ㈤ ｒ】一２ ｒ２ｌ一。Ａ Ｌ ０．２—０．３ Ｊ Ａ２—０，为使Ａ１一Ｅ１Ｆ１，Ａ２一Ｅ２Ｆｚ ∑２ａ，Ｉ曰 Ｐｘ（ｔ）１．Ｉ （ｆ—ｆ，）Ｉ一 ，＝０ ， ． ∑￣ｊｘ （ｆ—ｆ，） （ｆ—ｆ，）＋２ 厂 一 Ｊ二０ 一Ｘ （ｆ）Ｑ （ｆ）一ｌ ＩＢ Ｐｘ（ｔ）Ｉ 一 ， ∑ ［ａ，／ Ｉ曰 Ｐｘ（ｔ）Ｉ—Ｉｘ＜ｔ一 ）１］ ＋ ，＝０ ， ． 取Ｅ 一ｆ．取 一｝‘ ｋ ０一． ２ ０一 ．Ｊ ３ ］Ｉ ，Ｆ 一ｆ一｝ｋ ． ０ １。 ］ＪＩ ， Ｅ 一０一，， ’ 一。． Ｆ２—０ ∑口２，Ｐ，－ ＩＢＶＰｘ（ｔ）Ｉ ＋２ 厂 Ｊ＝Ｏ —ＸＴ（ｆ）Ｑ （ｆ）一ｌ 台（ｆ）Ｉ Ｂ Ｐｘ（ｔ）Ｉ ＋ ｐＩ曰 Ｐｘ（ｆ）Ｉ ＋ 对于Ｑ一［ ；］， 一。．ｓ， 一 ，满足Ｒｉｃｃａｔｉ方 程式（７）的Ｐ阵为 Ｐ一（ｆ）ＩＢ Ｐｘ（ｔ）Ｉ 一一Ｘ （ｆ）Ｑ （ｆ） 由假设３得Ｈ ０，此时，耗散不等式（６）成立。 Ｄ——｝『Ｌ ０。・ 。０ ０・８８８ ４］Ｉ』，仿真计算时，亡盲 管时 挥厂一 选择厂一 ８８８ ４ １．４１８ ５Ｊ ．这样自适应控制器（９）、（１０）式是系统的Ⅳ。。鲁棒控 制器。定理得证。 ［ ０．。 Ｏｏ］’ Ｏ．２ ｓ ０ 仿真所得系统状态 （ｆ），参数估值 （ｆ）和控制输入 “（ｆ）分另ｌｌ 图１（ａ）、（６）、（ｃ） ０．２ ０．４ —０．６ Ｏ．８ 一（ａ）状态 （ｂ）参考估值 （ｃ）控制输入 图１ 算例仿真曲线 由算例的仿真曲线可见，尽管系统存在外部扰 动叫（ｆ），存在多时滞，针对该类不确定多时滞非线 性系统（１）的不确定上界未知的特点而设计的自适 应控制律，可以使闭环系统的状态最终很好地收敛。 ４ 结 论 本文研究了一类不确定多时滞非线性系统的 Ⅳ。。鲁棒控制问题。针对该类非线性系统的不确定 项的上界未知的特点，提出了自适应Ⅳ。。鲁棒控制 器的设计方法。证明了一类不确定多时滞非线性系 证明了自适应控制器（９）～（１０）是系统的Ⅳ。。鲁棒 控制器。 统的自适应Ⅳ。。鲁棒控制问题有解的充分条件。最 维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 贾秋玲等：一类不确定多时滞非线性系统的自适应Ｈ 鲁棒控制 ・５３５・ 后，通过算例给出了控制器的设计步骤，证明了本文 设计的控制器的有效性。 参考文献： Ｘｉ．Ｓｏｕｚａ Ｃ Ｅ Ｄ．Ｃｒｉｔｅｒｉａ ｆｏｒ Ｒｏｂｕｓｔ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｓｔａｔｅ Ｄｅｌａｙ． ［１］ ＬｉＡｕｔｏｍａｔｉｃａ，１９９７，３３（９）：１６５７～１６６２ Ｎ Ｆ．Ｑｕａｄｒａｔｉｃ Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ Ｔｉｍｅ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｓｔａｔｅ—Ｄｅｌａｙ ａｎｄ Ｎｏｒｍ— ［２３ Ｍａｈｍｏｕｄ Ｍ Ｓ，ＡＩ—ＭｕｔｈｈａｉｒｉＢｏｕｎｄｅｄ Ｔｉｍｅ—Ｖａｒｙｉｎｇ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ａｕｔｏｍａｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９４；３９（１０）：２１３５～２１３９ Ｈａｎｈｏ．Ｃｈｕｎｇ Ｍｙｕｎｇ Ｊｉｎ．Ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ Ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｔｉｍｅ—Ｖａｒｙｉｎｇ Ｄｅｌａｙｅｄ －１３３ ＣｈｏｉＳｔａｔｅｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，１９９５；３１（９）：１３４９～１３５１ Ｈａｎｈｏ，Ｃｈｕｎｇ Ｍｙｕｎｇ Ｊｉｎ．Ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ Ｈ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ Ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｄｅｌａｙｅｄ Ｓｔａｔｅｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏ１． ［４］ ＣｈｏｉＡｕｔｏｍａｔｉｃａ，１９９５；３１（６）：９１７～９１９ Ｙｕ，Ｃｈｕ Ｊｉａｎ，Ｓｕ Ｈｏｎｇｙｅ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ Ｈ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ Ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ Ｌｉｎｅａｒ Ｔｉｍｅ—Ｄｅｌａｙ Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｎｏｒｍ— ［５］ Ｌｉｏｕｎｄｅｄ ＴｉＢｍｅ—Ｖａｒｙｉｎｇ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，１９９６，３２（１２）：１ ７５９～１ ７６２ １－６３ 郑连伟，刘小平，张庆灵．具有时变不确定的线性时滞系统的鲁棒Ｈ 控制．自动化学报，２００１，２７（３）：３７７～３８０ ［７］ 伏玉笋，田作华，施颂椒．带非线性摄动的状态延迟系统的鲁棒Ｈ 控制．自动化学报，２００１，２７（３）：２２４～２２８ ［８］ Ｗｕ Ｈａｎｓｈｅｎｇ．Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ Ｓｔａｔｅ Ｆｅｅｄｂａｃｋ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｏｆ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｔｉｍｅ ｅｌＤａｙ．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ Ａｕｔｏｍａｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０００，４５（９）：１６９７～１ ７０１ ｃ Ｍ［９３ Ｋｒｓｔｉ】９９５ ，Ｋａｎｅｌｌａｋ０ｐ０ｕｌ０ｓ Ｌ，Ｋｏｋｏｔｏｖｉｃ Ｐ． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｎｄ Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｄｅｓｉｇｎ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ Ｉｎｔｅｒｓｃｉｅｎｃｅ． Ａｄａｐｔｉｖｅ Ｈ。。Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｄｙｎａｍｉｃａｌ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｔｉｍｅ Ｄｅｌａｙ Ｊｉａ Ｑｉｕｌｉｎｇ，Ｈｅ Ｃｈａｎｇａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏ１．Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１００７２） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｅｆ．８ ｄｅａｌｔ Ｗｉｔｈ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｓｉｍｐｌｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｗａｓ ｂｏｕｎｄｅｄ ｂｕｔ ｉｔｓ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｗａｓ ｕｎｋｎｏｗｎ．Ｗｅ ｄｉｆｆｅｒ ｆｒｏｍ Ｒｅｆ．８ ｉｎ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ａｎｄ ｔｈａｔ ｗｅ ｕｓｅ Ｈ。。ｃｏｎｔｒｏｌ ｉｎｓｔｅａｄ ｏｆ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｕｓｅｄ ｂｙ Ｒｅｆ．８．Ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ Ｈ。。ｃｏｎｔｒｏｌ ｌａｗ ｔｏｇｅｔｈｅｒ ｗｉｔｈ ａｎ ａｄａｐｔｉｖｅ ｕｐｄａｔｅ ｌａｗ；ｗｅ ｎｅｅｄ ｔｈｅ ｌａｔｔｅｒ ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅ ｕｐｐｅｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｕｎｋｎｏｗｎ．Ｓｅｃｔｉｏｎ ２ ｐｒｅｓｅｎｔｓ ａｎｄ ｐｒｏｖｅｓ ｂｙ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｈｉｃｈ ｓｔｉｐｕｌａｔｅｓ ｔｈｅ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ａｄａｐｔｉｖｅ Ｈ。。ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ．Ｓｅｃｔｉｏｎ ３ ｕｓｅｓ ａｎ ｅｘａｍｐｌｅ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ｓｔｅｐ— ｂｙ—ｓｔｅｐ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ ｆｏｒ ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ，ｓｈｏｗｎ ｉｎ Ｆｉｇ．１，ｓｈｏｗ ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｉｌｙ ｔｈａｔ ｏｕｒ ｄｅｓｉｇｎ ｍｅｔｈｏｄ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｃａｎ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｕｎｋｎｏｗｎ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｃａｎ ａｔｔｅｎｕａｔｅ ｔｈｅ ｄｉｓｔｔ１ｒｂａｎｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ，ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ，ａｄａｐｔｉｖｅ Ｈ。。ｃｏｎｔｒｏｌ，ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｔｈｅｏｒｙ
