６０ 线性定常时滞系统的鲁棒控制 线性定常时滞系统的鲁棒控制 Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｌｉｎｅａｒ Ｔｉｍｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ Ｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ 王常宇 （大连交通大学电气信息学院，辽宁大连１１６０２８） 摘 要 在建立线：陛定常时滞系统模型的基础上，给出了时滞系统是独立鲁棒稳定的条件，并利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ理论给予一些定 理的证明，同时设计出了使闭环系统时滞独立鲁棒稳定的状态反馈控制器（即时滞独立鲁棒镇定问题），最后给出的一个数 值例子中用Ｍａｔｌａｂ编程求出了符合条件的正定矩阵和控制律，从算例结果验证了所得出的结论。 关键词：线性时滞系统，鲁棒控制，线性矩阵不等式 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ａ ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ－ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｂｏｕｔ ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｇｉｖｉｎｇ ｓｏｍｅ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｐｒｏｏｆ ｂｙ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｔｈｅｏｒｙ，ａｔ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｔｉｍｅ，ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ａ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ｉｔ ｃａｎ ｋｅｅｐ ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ ｔｉｍｅ－ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ（ｄｅｌａｙ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉ— ｉｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ）．ａｔ ｌａｓｔ，ｇｉｖｉｎｇ ａ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅ，ａｎｄ ｇｅｔｔｉｎｇ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｌａｗ ｗｈｉｃｈ ｍｅｅｔｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｂｙ ＭＡＴＬＡＢ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ｃａｎ ｖｅｒｉｆｙ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｆｒＯｍ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ，ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ 时滞系统” 是指系统中一处或者几处的信号传递有时间延 迟的系统，也称之为延迟系统。控制系统中普遍都存在时滞现 Ｘ（ｆ）＝ｆｉ０（ｆ），Ｖｔ∈［ ，０］ 式中ｘ（ｔ）∈Ｒ 是系统的状态向量，ｔ是时间变量，ｙ（ｔ）∈Ｒ 是 系统的输出向量，Ａ，Ａ ∈Ｒ 是已知的系统矩阵，Ｃ表示适合维数 的常数矩阵，△Ａ是相应维数的不约定矩阵，‘ｐ（ｔ）是一个连续的矢 量初值函数，Ｔ表示系统时滞，满足Ｏ＜Ｔ＜ｏｏ，也可以是时变函数。 定义１如果考虑将上述的式子中的△Ａ设为Ｏ，那么由如 下方程描述的系统就是线性时滞定常系统（即它没有不确定性， △Ａ＝Ｏ）： （ ）＝Ａｘ（ｆ）＋肖， （ｔ－下），下≥０ （１） 象，它的存在会造成系统控制无论在理论分析上还是工程实际 中都有特殊的困难，这就会使系统难以稳定，所以说近年来对时 滞系统的研究具有很大挑战性。 目前研究时滞系统的控制的方法有很多，如传统的ＰＩＤ控 制，它对控制原理简单，可靠性高等优点。对于不确定时滞系统， 采用变速积分、积分分离等ＰＩＤ控制算法可以改善系统的性能， 但是这种方法只能在建立精确的模型前提下才能实现ＰＩＤ整 定，具有一定的局限性。如Ｓｍｌｌｈ预估控制 的基本思想是预先 其中Ｘ（ｔ）∈Ｒ 为状态变量，Ａ，Ａ ∈Ｒ 为定常矩阵，Ｔ≥Ｏ 为时间滞后量。 引理１ 设￡和 为两个相同维数的实数列向量，则对于 任意的标量Ｘ＞Ｏ，下式成立： ２￡，ｒＩ≤ ．８’ｓ＋Ｘ．－ｑ‘１１ （２） 估计出系统的动态特性，然后有预估器对时滞进行补偿，从而提 高系统的稳定性，这种控制方法克服了前者对系统模型精度的 要求，但是不足之处在于进行时滞补偿的时候需要准确的数学 模型。自适应控制目前应用于许多领域，文献［３］这种方法是把 复杂的加工过程简化为一阶或者二阶的滞后系统来描述，利用 参数整定和参数优化的方法设计出自适应律，仿真结果也验证 了被控对象参数发生变化时系统有较好的鲁棒性，但是不足之 处在于要首先辨识模型的参数，否则不能达到理想的控制效果。 如模糊控制普遍应用在时滞系统中，这种控制是针对误差而进 行的，将输入量模糊化，再根据模糊控制方法计算控制量，最后 再将它反模糊化，此方法有较强的鲁棒性，但是计算效率不高， 并且控制大时滞时需要结合以上的控制方法。而鲁棒控制的主 要思想就是设计出一个控制器使得参数不确定性和外界扰动存 在时，闭环系统仍能保持稳定并能满足特定的动态性能品质。针 给予证明：对于任意的标量Ｘ＞Ｏ，由于（ Ｖ＾ ｅ一、／ ）‘ （一 ８一、／ １１）≥ｏ，所以 ８ ８一 １１＋ Ｘ／＾ ＾ ＞０，即式（２）Ｉ成立。 引理２ Ａ是渐进稳定的，且ｌ ｌＣ（ｓｌ—Ａ）’Ｂ ｌ ＜１的充分必 ｌ要条件是存在标量Ｘ＞Ｏ和对称正定阵Ｘ满足下列Ｒｉｃｃａｔｉ不等 式方程 ＸＡ十Ａ Ｘ＋１Ｔ－ＸＢＢ Ｘ＋ＸＣＴＣ＜０ ｎ （３） 这里Ｃ和Ｂ为适当维数的定常矩阵。 对文献［４］中在数值分析时直接利用ＭＡＴＬＡＢ软件给出结果的 情况，本文在线性时滞定常系统模型基础上，首先利用鲁棒控制 稳定性理论、Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论等方法给出了系统经无记忆 状态反馈的鲁棒镇定的条件，其次用一个数值例子验证该方法 时，运用Ｍａｔｌａｂ中特有的求解Ｒｉｃｃａｔｉ方程的语言程序求出反 馈控制律及正定矩阵，最后从结果可以看出鲁棒控制方法对解 引理３存在标量 ＞０和对称正定矩阵Ｘ满足Ｒｉｃｃａｔｉ不等 式方程（３）的充分必要条件为存在标量ｓ＞Ｏ，使代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程： ＸＡ＋Ａ ＾ ＸＢＢ Ｘ＋ＸＣＴＣ＋￡／：０ （４） 存在唯～的对称正定矩阵解Ｘ。为了方便起见，我们将系统 （１）中的定常矩阵Ａ．分解成两个适当维数的矩阵之积，即存在两个 决时滞系统中存在的稳定性问题是有效的。 １ 鲁棒稳定性分析 下面我们考虑线性时滞不确定系统： Ｘ（ｔ）＝（Ａ十△Ａ）ｘ（ｔ）私，ｘ（ｔ－＇ｒ） （ｆ）＝Ｃｘ（ｆ） 适当维数的矩阵Ｅ和Ｆ使得Ａ ＝ＥＦ，做到这一点是很容易的，取 Ｅ＝Ｉ，Ｆ＝Ａ１或者Ｅ＝Ａ，Ｆ＝Ｉ。一般地，如果Ｅ列满秩，Ｆ行满秩，且它们 的秩均等于Ａ１的秩，那么下面得到的结论保守性较小。 定理１如果存在标量Ｘ＞Ｏ和对称正定矩阵Ｘ使下列Ｒｉｃ— ｃａｔｉ不等式方程： 《工业控制计算机／２０１１年第２４卷第６期 ６１ ＸＡ十Ａ Ｘ＋￣ＸＥＥＴＸ十入 Ｆ（０ ＾ （５） ｘＡ＋ ｘ＋ ＾ 一 Ｂ宣）ｘ Ｆ＋ＢＩ－０ ０、 成立，那么系统是时滞独立鲁棒稳定的。 证明定理１ｌ６＿：设 和Ｘ分别为满足式（５）的标量和对称正 则存在对称正定矩阵解Ｘ。在后两种情况下，无记忆状态控 制器中Ｋｏ＝一 Ｂ Ｘ。 定矩阵，我们构造如下李亚普诺夫泛函： ｘ） ） ＋ Ｉ Ｘ （ｓ）ＦＦｘ（Ｓ）ｄｓ （６） ｆ二＾ 并令Ｑ＝一（ＸＡ＋Ａ Ｘ＋ＴＴ－ＸＥ￣ｘ＋ｘＫ Ｆ）＞０ （７） ＾ 式（７）沿着系统（１）的解，对时间的求导数： （ｆ）（ ＋Ａ 撇（ｆ）＋ＸｘＴ（ｔ）ＦＴＦｘ（ｔ） （ｆ＿Ｔ）ＦＺＦｘ（ｔ－＇ｒ） ＋２ｘ‘（ｔ）ＸＡ，ｘ（ｔ－－ｒ） （８） 对式（８）的最后一项，利用式Ａ１＝ＥＦ和引理１得到： ２ｘ （ｆ） ＩＸ（ｆ）（ｆ＿Ｔ）：２ｘ （ｔ）ＸＥ７Ｆ１ｘ（ －Ｔ）≤ １ Ｘｍ（ｔ）ＸＥＴＥ￣Ｘｘ（ｔ）＋ Ｘ．ｘ‘（ｔ－－＇ｒ） ｘ（ｔ－Ｔ） （９） 将式（９）代人（８），利用式（７）进行整理可得： ≤＿ＸＴ（ｔ）Ｑｘ（ｔ） 所以根据稳定性定理，系统（１）是时滞独立鲁棒稳定的。 如果标称系统状态矩阵Ａ是渐进稳定的，那么存在对称正 定矩阵Ｐ，使下述、李亚普诺夫方程成立： ＡＴＰ＋ＰＡ：一２１ （１０） 定理２系统（１）是时滞独立鲁棒稳定的，如果： ＰＡ ｌｌ ＜７ （１１） 这里矩阵Ｐ满足式（１Ｏ）。 ２问题描述 下面我们来讨论对于给定的含有滞后状态的被控对象，如 何利用一些鲁棒稳定性定理来设计使闭环系统时滞独立鲁棒稳 定的状态反馈控制器，即时滞独立鲁棒镇定问题。 设含有滞后状态的被控对象由如下方程描述： ｘ（ｆ）＝／４ｘ（ｆ） ，ｘ（ｆ—下）＋Ｂｕ（ｆ），Ｔ≥０ （１２） 其中Ｕ∈ＲＰ为控制输入，Ｂ为适当维数的定常矩阵，将Ａ 分解为Ａ ＝ＥＦ。 对于上述被控对象，考虑设计状态反馈控制器： ｕ（ｔ）＝Ｋｏｘ（ｔ）＋ｆ（Ｘ（ｆ－Ｔ） （１３） 使得闭环系统为时滞独立鲁棒稳定的问题，式（１３）中Ｋ。和 Ｋ 为适当维数的定常矩阵。当Ｋｒ＝０时，式（１３）变为： ｕ（ｒ）＝Ｋｏｘ（ｆ） （１４） 此时，由于控制律中与时间滞后量无关，因而式（１４）为无记 忆状态反馈控制器；对应地称式（１３）为有记忆状态反馈控制器。 将式（１４）代入系统（１２）可得： ｘ（ｆ）＝（Ａ＋ＢＫｏ） （ｆ）＋ ，ｘ（ 一Ｔ），Ｔ≥０ （１５） 定理３ 对于给定的被控系统（１２），存在无记忆状态控制 器使得闭环系统是时滞独立鲁棒稳定的，如果下列三个条件之 一是成立的： １）存在适当维数的定常矩阵Ｋ０，使得Ａ＋ＢＫｏ是渐近稳定的，且： ｌ ＩＦ（ｓｌ—Ａ－ＢＫｏ） Ｅ【１ ＜７ （１６） ２）存在标量Ｘ＞０， ＞０和对称正定矩阵Ｘ满足下列Ｒｉｃｃａｔｉ 不等式方程： ＸＡ＋Ａ Ｘ＋Ｘ（１ ＥＥ＂一 日日 ） Ｆ＜Ｄ （１７） ｎ Ｕ ３）存在标量Ｘ＞０， ＞０和ｓ＞０，使下列代数Ｒｉｃｃａｔｉ方程： 证明：将 代人式（１７）中，整理可得： Ａ＋ＢＫｏ）＋（Ａ＋ＢＫｏ） ÷ ＿Ｅ Ｘ＋ＸＦＦ＜Ｏ （１９） 由定理１，当条件（２）成立时，闭环系统（１５）是时滞独立鲁棒 稳定的。根据引理２和３，当条件（１）和（３）成立时，闭环系统（１５） 也是时滞独立鲁棒稳定的。 ３数值实例 下面我们给出一个无记忆反馈控制器的实例，根据考虑式 （１７）的不等式方程，我们令ＲＲＴ：ｌＥＥＴ一！ＢＢ ，ＸＦ Ｆ：Ｑ， ： ，、 Ｕ １， ＝１，Ｅ＝Ｉ，根据矩阵的Ｓｃｈｕｒ补的性质，式（１７）等价于： 【 加胴Ｉ Ｄ Ｒ Ｘ 一 另Ａ＝［： ：；］，月＝－…０．５－…０．６］，Ｑ＝…－２ ０．８一］ Ｍａｔｌａｂ程序： Ａ＝卜１，一２；－１，一１］； Ｂ＝［－０．５，一０．６；０ ５，－０ ４］： Ｑ＝卜２，０．８；０．８，一３】＝ ％Ｉｎｉｔｉａｌ ａ ＬＭＩ ｓｙｓｔｅｍ ｓｅｔｌｍｉｓ（［］） ；％Ｄｅｆｉｎｅ Ｖａｒｉａｂｌｅｓ ％Ｘ ｉｓ ａ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍａｔｒｉｘ ｈａｓ ａ ｂｌｏｃｋ ｓｉｚｅ ｏｆ ２ ａｎｄ ｔｈｉｓ ｂｌｏｃｋ ｉｓ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ Ｘ＝ｌｍｉｖａｒ（１，［２ １］）： Ｉｍｉｔｅｒｍ（［１ １ １×】，１，Ａ， ｓ Ｉｍｉｔｅｒｍ（［１ １ １ Ｏ］，Ｑ）： ＩｍＩｔｅｒｍ（【１ ２ １ Ｘ】，Ｂ ．１） ：Ｉｍｉｔｅｒｍ（［１＊２ ２ Ｏ］，一１）： Ｉｍｉｓ＝ｇｅｔｌｍｉｓ ［ｔｍｉｎ，ｌｅａｓ】＝ｆｅａｓｐ（Ｉｍｉｓ） 最后调用Ｘ＝ｄｅｃ２ｍａｔ（Ｉｍｉｓ，ｆｅａｓ，Ｑ）即能得到我们所求的正 定矩阵： 一 Ｊ，ｉｌｉｆ ｔｍｉｎ：＿０．９１４０＜ 有可行解； 显然Ｘ为对称的，经过计算得知Ｘ还为正定的，满足条件， 此时我们有： Ｋｏ＝－击日 ］ 则无记忆状态控制律为： （ ） 【一０．２２７３ ０．０８６８ Ｊ （ ） 此例可以看出存在Ｘ＞０， ＞０和对称正定矩阵Ｘ满足下列 Ｒｉｃｃａｔｉ不等式方程，所以系统是鲁棒稳定的。 ４结束语 本文以线性时滞定常系统为研究对象，针对系统的鲁棒控 制和鲁棒镇定问题进行了研究，最后根据求解Ｒｉｃｃａｔｉ不等式方 程的Ｍａｔｌａｂ语言编了一段求解矩阵的小程序，从算例结果验证 了所得结论。但是我认为在以下两个方面还有待进一步研究： １）本文根据被控对象所设计的是无记忆状态控制器，具有 （下转第６３页） 《工业控制计算机／２０１１年第２４卷第６期 ２．２灰色故障诊断的原理 灰色故障诊断的方法是灰色关联度分析。事物之间，因素之 间并不是孤立的，它们之间是存在联系的，灰色系统理论用关联 叠 故障诊断系统设置 量 一 度来作为这种联系的度量。其基本思想是从随机性的时间序列 ｆ ～茹器 ～墨 ～器 一～｛ …署 一 … 中找到关联性和关联性的度量，以便为因素分析，预测的精度分 ｉ ＃ Ｉ … ｉ趣 … 。… ～ 嚣 …∞…～舞 …～～ ｛ 麓 目螂 ｉ 嚣 ｛ 析提供依据，所以关联度分析可以用来对机械设备的故障诊断。 ｆ 孵 译 ；ｒ …Ｈ Ｊ 博 砒 薯 … 芋黼％ ｕ＇ 嘴 ０ ｛ 一… 因素Ｘ．和Ｘ．之间的关联系数为 ｔ１），表示Ｘ．与Ｘ 比较关 一’ ９略 ∞ ｎ ｑ ＊ ， ｎ ｂ ∞ 口 ｛酗事目熙 口 ０ ｎ ： Ｊｒ 黼蜘 Ｄ ｍ ≥ ｌｎ∞ Ｉ ｆ联性的采样点，定义 ｔ１）为： 博一 产Ｉ潮 ｔ辑一 ｎ ；Ｄ ＊ ｎ ｍ １ ｝７） 赫 ｌ ｅ ２’… （８） 槲哺量ｌ 挪糍－・霸 …一 ＿ 其中： 晌 赫 —一 ＿ ／ 自ｌ —・－－——－－一 ＊ — ＊一 △ （ｔ１）＝ （ｔ１）一 （ｔ１） △ｍ ＝ｍａｘ ｍ Ａ ｔｔ／） 图２故障诊断系统设置界面 本系统对文献［２］中 △ ＝ｍｒ 『门△ （ｔ／） 轴承磨损量建立了 ｋ∈（０，７） Ｇｍ（１，１）模型，对该 而Ｘ 和Ｘ。的关联度为 ： 故障诊断及预测系 ＝ 了；［ ｆ／）＋ ｝／）］ （９） 统的精度进行了验 证。下面的是轴承磨 关联度 的大小反映了Ｘｉ和Ｘ．的关联程度，利用 的大 损量的Ｇｍ（１，１）模 小，就可以对系统的故障模式进行识别。利用关联度分析进行诊 型的实测值与计算 断的最大的特点是方法简单、计算量小、诊断结果可靠，而且便 值，预测值与实测值 于形成知识库中的规则。 的比较，预测结果 ３基于灰色系统理论的知识表示 见图３。 图３预测结果与实测值实际值与计算值的比较 一个机械系统发生了故障，如果该系统的设计结构参数已 实际值与计算值的比较 知，故障结构未知，则该机械系统是灰色系统。从灰色诊断的原 理可以知道，故障诊断知识的灰色表示，即是一系列因素的时间 叫 （月只） ８一ｌ【） ８ ２Ｏ ９ １０ ９ ２０ １０一ｌ０ 列数值文件和关联度阈值矩阵。时间序列数据库分为两类：静态 位移／珥＿ｌｓ（测） ４ ６ ４ ９ ５ ３ ５ ９ ６ ８ ７ ６ ８ ６ 数据列表库和动态数据列表库。静态数据列表库存放无故障和 计算值 ４ ６ ４ ７３ ５．３３ ６ ０Ｉ ６ ７７ ７．６３ ８ ６ｌ 沣：ｌｍｉ１ｓ＝Ｏ ０２５６４ｍｍ 故障标准症兆数据序列及关联度阈值矩阵，即潜水泵正常运行 时的时域波形数据、频谱图数据等。动态数据列表库存放潜水泵 预测值与实际值的比较 前一运行状态的各种图形数据：时域波形、频谱、振动峰值一峰值 】＿ｌｊ｛测值 ９ ７２ 趋势等。当前状态的对象与动态库中图形的关联度反映了其状 蛮测值 ９ ８ Ｉ（ １９：ｊ 态劣化快慢性及诱因，与静态库中的图形的关联度反映了潜水 通过实例发现，该故障诊断预测的精度可达到９５％以上。 泵的故障种类。 ４系统功能的实现 参考文献 系统采用面向对象的Ｖｉｓｕａｌ Ｂ语言，实行模块化编程，便 ［１］陈大禧，朱铁光．大型回转机械诊断现场实用技术［Ｍ］．北京：机械工 于系统功能的扩展和维护，而且人性化的界面设计，给使用者带 业出版社，２００２ 来了极大的方便性。如图２所示为故障诊断系统参数设置和样 ［２］虞和济，陈长征，张省，等．基于神经网络的智能诊断［Ｍ］．北京：冶金 本添加界面。 出版社，２０００ ５应用实例 ［３］邓聚龙灰预测与灰决策［Ｍ］．武汉：华中科技大学出版社，２００２ 本故障诊断与预测系统具有对设备状态预测的功能。利用 ［４］袁嘉祖灰色系统理论及应［Ｍ］．北京：科学出版社，１９９２ 【收稿日期：２０１１．４ ２５］ （上接第６１页） ｓａｔｏｒ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ［Ｊ］，Ｉｎｔ．Ｊ．Ｃｏｎｔｒ，１９８０，３２（６）：９３７—９４ 一定的局限性。对于有记忆状态控制器的设计和有关结论有待 ［３］Ｖ Ｍ．Ｇｌｕｍｏｖ，Ｓ．Ｄ．Ｚｅｍｌｙａｋｏｖ．Ｖ．Ｙｕ．Ｒｕｔｋｏｖｓｋｉｉ，ａｎｄ Ｖ．Ｍ 于研究。 Ｓｕｋｈａｎｏｖ，Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ａｄａｐｔｉｖｅ ２）鲁棒控制是一个应用很广泛的领域，但是控制领域最重 Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ Ｍｏｄｅｌ ｔｏ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ０ｆ Ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ 要的是应用到实际问题当中，所以如何将鲁棒控制理论应用到 ｏｆ ａ Ｃｕｒｒｅｎｔ Ｓｔａｔｅ ｏｆ Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ Ｓｈａｆｔｓ， Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ ａｎｄ 实际的工业过程中，这将是未来研究的方向。 ＲｅｍｏｔｅＣｏｎｔｒｏｌ，２００３，６４，（５）：７９１—８０５ ［４］张胜祥．线性时滞系统的稳定性和镇定问题［Ｊ］．系统科学与数学， 参考文献 ２００５（８）：４６６－４７０ ［５］史忠科，等．鲁棒控制理论［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２００３ ［１］Ｎｉｃｕｌｅｓｃｕ Ｓ Ｄｅｌａｙ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｍ］Ｌ０ｎｄｏｎ：Ｓｐ ｒｉｎｇｅｒ— Ｖｅｒｌａｇ，２００１ ［６］廖晓昕稳定性的理论、方法和应用［Ｊ］．武汉：华中科技大学出版社， ［２］ＰａＩｍｏｒ Ｚ Ｊ． １９９９ 『收稿日期：２０１ １．４．１７］ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ Ｓｍｉｌｈ ｄｅａｄ ｔｉｍｅ ｃｏｍｐｅｎ—
