双星和三星问题

在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下

间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为

，质量分

别为M1和M2，试计算：（1）双星的轨道半径；（2）双星的运行周期；（3）双星的线速度。

双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。

设行星转动的角速度为ω，周期为T

（1）如图，对星球M1和M2，由向心力公式可得：

Fn1=G

M1M2L2M1M2L2=M1ω2R1 ， =M2ω2R2

Fn2=G

RM

两式相除得：1=2（即轨道半径与质量成反比），又因为L=R1+R2，

R2

M1

1G(M1+M2)M2M1L，R2=L， ω= LLM1+M2M1+M2

2π2πL，所以T= =2πLωωG(M1+M2)所以R1=

（2）因为T=

（3）因为v=ωr，所以v1=

1G(M1+M2)M2G ×L=M2LLM1+M2L(M1+M2) v2=

1G(M1+M2)M1G ×L=M1LLM1+M2L(M1+M2) 处理双星问题必须注意两点（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不

等于引力距离（这一点务必理解）。弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误。

三星问题

三星问题有两种情况：第一种情况三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同；第二种情况三

颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三星运行周期相同。设三颗星的质量相等，每个星体质量均为m 。

（1）第一种形式下，星体A受星体B和星体C两个的万有引力，它们的合力就充当向心力，线速度与周期满足方程： Gmm+Gmm

v2

R2(2R)2=mR，解得 v=

5Gm2πR44R，T=v

=2πRR5Gm (2)在第二种情形下，星体之间的距离为R，那么圆R

周运动半径r=2Rcos300=3，星体A受的合力为：FGmm合=3R2，故有

3Gmmmv2

R2=r

3GmmR2=3mv2

R

，

解得v=

Gm2πrR，T=v=2πRR3Gm