电磁感应中地单杆切割问题

（2013·16）如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1Ω。一导体棒MN垂直于导轨放置，质量为0.2kg，接入电路的电阻为1Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8T。将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力

2

加速度g 取10m/s，sin37°＝0.6)（B） A．2.5m/s 1W B．5m/s 1W C．7.5m/s 9W D．15m/s 9W

（2013全国Ⅰ·16）如图，在水平面（纸面）有三根相同的均匀金属棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a点接触，构成“V”字型导轨。空间存在垂直于纸面的均匀磁场。用力使MN向右匀速运动，从图示位置开始计时，运动中MN始终与∠bac的平分线垂直且和导轨保持良好接触。下列关于回路中电流i与时间t的关系图线.可能正确的是（D）

（2013·17）如图，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度V向右匀速滑动, MN中产生的感应电动势为El;若磁感应强度增为2B,其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E2。则通过电阻R的电流方向及E1与E2之比El：E2分别为（C） A．c→a，2:1 B．a→c，2:1 C．a→c，1:2 D．c→a，1:2

（2013·15）磁卡的词条中有用于存储信息的磁极方向不同的磁化区，刷卡器中有检测线圈，当以速度v0刷卡时，在线圈中产生感应电动势。其E-t关系如右图所示。如果只将刷卡速度改为v0/2，线圈中的E-t关系可能是（D）

A．B．C．D．

根据感应电动势公式E＝BLv可知，其他条件不变时，感应电动势与导体的切割速度成正比，只将刷卡速度改为卡器的时间tv01，则线圈中产生的感应电动势的最大值将变为原来的。磁卡通过刷22s与速率成反比，所用时间变为原来的2倍．故D正确。 v

（2013全国Ⅰ·25）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： （1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； （2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。

答案：（1）Q＝CBLV（2）vm(sincos)gt

mB2L2C解析：

（1）当棒下滑速度为v时，感应电动势为：E＝BLv 平行板电容器两极板之间的电势差为：U＝E 此时电容器极板上积累的电荷量为：Q＝CU 解得：Q＝C BLv

（2）当电流为i时，棒受到的磁场作用力方向沿导轨向上，大小为：f1＝BLi

QCBLvv式中：a tttm(sincos)据牛顿第二定律有：mgsinf1mgcosma解得：ag 22mBLCm(sincos)棒做初速度为零的匀加速运动，有：vatgt

mB2L2C在Δt，流经棒的电荷量为ΔQ，有：i

（2013·7）小明在研究性学习中设计了一种可测量磁感应强度的实验，其装置如图所示。在该实验中，磁铁固定在水平放置的电子测力计上，此时电子测力计的计数为G1，磁铁两极之间的磁场可视为水平匀强磁场，其余区域磁场不计。直铜条AB的两端通过导线与一电阻连接成闭合回路，总阻值为R。若让铜条水平且垂直于磁场，以恒定的速率v在磁场中竖直向下运动，这时电子测力计的计数为G2，铜条在磁场中的长度L。 （1）判断铜墙条所受安培力的方向，G1和G2哪个大？

（2）求铜条匀速运动时所受安培力的大小和磁感应强度的大小。

答案：（1）安培力的方向竖直向上，G2＞G1（2）安培力大小F大小B=安培力

＝G2－G1；磁感应强度的

1（G2－G1）R

Lv

（2012·20）『不定项』如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B。将质量为m的导体棒由静止释放，当速度达到v时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P，导体棒最终以2v的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g。下列选项正确的是（AC） A．P＝2mgvsinθ B．P＝3mgvsinθ C．当导体棒速度达到

vg时加速度大小为sin 22D．在速度达到2v以后匀速运动的过程中，R上产生的焦耳热等于拉力所做的功

（2012·20）『不定项』半径为a右端开小口的导体圆环和长为2a的导体直杆，单位长度电阻均为R0。圆环水平固定放置，整个部区域分布着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。杆在圆环上以速度v平行于直径CD向右做匀速直线运动，杆始终有两点与圆环良好接触，从圆环中心O开始，杆的位置由θ确定，如图所示。则（AD） A．θ＝0时，杆产生的电动势为2Bav B．3时，杆产生的电动势为3Bav

3B2avC．θ＝0时，杆受的安培力大小为

(2)R03B2avD．时，杆受的安培力大小为

3(53)R0

（2012·33）如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R0。以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在t＝0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a。 （1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式； （2）经过多长时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？

（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量。

答案：（1）感应电流的表达式ε＝BL at；感应电流随时间变化的表达式

（1）B2L2BLvBLatBLatFmaxMamg（2）I212R总R2R(at2)RR0at02EkMasMa（WQ） mga（3）RR0解析：

（1）感应电动势ε＝BLv

导轨做初速度为零的匀加速直线运动v＝at

所以感应电流的表达式ε＝BL at

s12at 2回路中感应电流随时间变化的表达式IBLvBLatBLat 21R总R2R(at2)RR0at02（2）导轨受外力F，安培力FA，摩擦力Ff。其中

B2L2at FABIL2RR0atB2L2at FfFN（mgBIL）（mg）RR0at2由牛顿第二定律F－FA－Ff＝Ma

B2L2at FMaFAFfMamg（1）2RR0at上式中，当

RR时外力F取极大值 R0at，即taR0ta RR0（1）B2L2∴FmaxMamg2（3）设在此过程中导轨运动距离s，由动能定理 W合＝△Ek W合＝Mas

由于摩擦力Ff＝μ（mg＋FA），所以摩擦力做功W＝μmgs＋μWA＝μmgs＋μQ ∴sWQ

mgMa（WQ） mgEkMas

（2012·11）如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面，导轨间距l＝0.5m，左端接有阻值R＝0.3Ω的电阻。一质量m＝0.1kg，电阻r＝0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝0.4T．棒在水平向右的外

2

力作用下，由静止开始以a＝2m/s的加速度做匀加速运动，当棒的位移x＝9m时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求 （1）棒在匀加速运动过程中，通过电阻R的电荷量q； （2）撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2； （3）外力做的功WF。

答案：（1）4.5C（2）1.8 J（3）5.4J 解析：

（1）设棒匀加速运动的时间为△t，回路的磁通量变化量为△Φ，回路中的平均感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律得E其中△Φ＝Blx②

设回路中的平均电流为I，由闭合电路的欧姆定律得

① tIE③ Rr则通过电阻R的电荷量为qIt④

联立①②③④式，代入数据得q＝4.5C⑤

2

（2）设撤去外力时棒的速度为v，对棒的匀加速运动过程，由运动学公式得v＝2ax⑥ 设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做功为W，由动能定理得W＝0－

12

mv⑦ 2撤去外力后回路中产生的焦耳热 Q2＝－W⑧

联立⑥⑦⑧式，代入数据得 Q2＝1.8J⑨

（3）由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2＝2∶1，可得Q1＝3.6J⑩ 在棒运动的整个过程中，由功能关系可知WF＝Q1＋Q2⑪ 由⑨⑩⑪式得WF＝5.4J

（2011全国新课标·18）『不定项』电磁轨道炮工作原理如图所示。待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触。电流I从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回。轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面的磁场（可视为匀强磁场），磁感应强度的大小与I成正比。通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出。现欲使弹体的出射速度啬至原来的2倍，理论上可采用的办法是（BD） A．只将轨道长度L变为原来的2倍 B．将电流I增加至原来的2倍 C．只将弹体质量减至原来的一半

D．将弹体质量减至原来的一半，轨道长度L变为原来的2倍，其它量不变

（2011·17）如图，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角（0＜θ＜90°),其中MN平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中（B）

A.F运动的平均速度大小为 B.平滑位移大小为

12qR BLC.产生的焦二热为qBLv

B2L2sin D.受到的最大安培力大小为R

（2011·5）如图所示，水平面有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计。匀强磁场与导轨一闪身垂直。阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触。T＝0时，将形状S由1掷到2。q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度。下列图象正确的是（D）

当开关S由1掷到2时，电容器开始放电，此时电流最大，棒受到的安培力最大，加速度最大，此后棒开始运动，产生感应电动势，棒相当于电源，利用右手定则可以判断出棒上端为正极，下端为负极，与电容器的极性相同，当棒运动一段时间后，电路中的电流逐渐减小，当电容器极板电压与棒两端电动势相等时，电容器不再放电，电路电流等于零，棒做匀速运动，加速度减为零，所以C错误，B错误，D正确；因电容器两极板间有电压，q＝CU不等于零，所以A错误。

（2011全国大纲·24）如图，两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置，导轨间距离为L，电阻不计。在导轨上端并接两个额定功率均为P、电阻均为R的小灯泡。整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直。现将一质量为m、电阻可以忽略的金属棒MN从图示位置由静止开始释放。金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好。已知某时刻后两灯泡保持正常发光。重力加速度为g。求： （1）磁感应强度的大小：

（2）灯泡正常发光时导体棒的运动速率。

答案：（1）Bmg2LR2P（2）v Pmg解析：

2

（1）设小小灯泡的额定电流为I0，有P＝I0R①

由题意，在金属棒沿导轨竖直下落的某时刻后，小灯泡保持正常发光，流经MN的电流为I＝2I0②

此时金属棒MN所受的重力和安培力相等，下落的速度达到最大值，有mg＝BIL③ 联立①②③式得Bmg2LR④ P（2）设灯泡正常发光时，导体棒的速率为v，由电磁感应定律与欧姆定律得 E＝BLv⑤ E＝RI0⑥

联立①②③④⑤⑥式得v2P mg

(2010全国新课标·21) 如图所示，两个端面半径同为R的圆柱形铁芯同轴水平放置，相对的端面之间有一缝隙，铁芯上绕导线并与电源连接，在缝隙中形成一匀强磁场。一铜质细直棒ab水平置于缝隙中，且与圆柱轴线等高、垂直。让铜棒从静止开始自由下落，铜棒下落距离为0．2R时铜棒中电动势大小为E1，下落距离为0．8R时电动势大小为E2。忽略涡流损耗和边缘效应。关于E1、E2的大小和铜棒离开磁场前两端的极性，下列判断正确的是（D） A．E1＞E2，a端为正 B．E1＞E2，b端为正 C．E1＜E2，a端为正 D．E1＜E2，b端为正

将立体图转化为平面图如图所示

由几何关系计算有效切割长度L

L12R2h12R2(0.2R)22R0.96 L22R2h22R2(0.8R)22R0.36

由机械能守恒定律计算切割速度v，即：mgh221mv2，得v2gh，则： 2v12g0.2R0.4gR，v22g0.8R1.6gR

根据E＝BLv，E1B2R0.61.60.4gR， E2B2R0.361.6gR，可见E1＜E2。又根据右手定则判断电流方向从a到b，在电源部，电流是从负极流向正极的，所以选项D正确。

（2010全国Ⅰ·17）『不定项』某地的地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下，大小为4.5

－5

×10T。一灵敏电压表连接在当地入海河段的两岸，河宽100m，该河段涨潮和落潮时有海水（视为导体）流过。设落潮时，海水自西向东流，流速为2m/s。下列说确的是（BD） A．岸的电势较高 B．岸的电势较高

C．电压表记录的电压为9mV D．电压表记录的电压为5mV

（2010·16）如图5所示，平行导轨间有一矩形的匀强磁场区域，细金属棒PQ沿导轨从MN处匀速运动到M＇N＇的过程中，棒上感应电动势E随时间t变化的图示，可能正确的是（A）

（2010·20）『不定项』如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒a、b垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。现用一平行于导轨的恒力F作用在a的中点，使其向上运动。若b始终保持静止，则它所受摩擦力可能（AB） A．变为0

B．先减小后不变 C．等于F

D．先增大再减小

（2010·13）如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L,一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直.一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻。求： （1）磁感应强度的大小B；

（2）电流稳定后，导体棒运动速度的大小v；

（3）流经电流表电流的最大值Im。

mg2ghI2Rmg答案：（1）B（2）v（3）Im

mgIRIL解析：

（1）电流稳定后，导体棒做匀速运动BIL＝mg，解得B（2）感应电动势E＝BLv② 感应电流Img① ILE③ RI2R由①②③解得v

mg（3）由题意知，导体棒刚进入磁场时的速度最大，设为vm 机械能守恒

12mvmmgh 2Em R感应电动势的最大值Em＝BLvm 感应电流的最大值Im解得Immg2gh IR

（2009·18）『不定项』如图所示，固定放置在同一水平面的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量为m(质量分布均匀)的导体杆Ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离l时，速度恰好达到最大（运动过程中杆始终与导轨保持垂直）。设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g。则此过程（BD）

（Fng）R

B2d2BdlB.流过电阻R的电量为

RrA.杆的速度最大值为

C.恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量

D.恒力F做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量

（2009·4）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间，力F做的功与安培力做的功的代数和等于（A） A.棒的机械能增加量 B.棒的动能增加量 C.棒的重力势能增加量 D.电阻R上放出的热量

（2009·15）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为α，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未画出)。线框的边长为d(d＜l)，电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。求：

(1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q； (2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1；

(3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm。

答案:(1)4mgdsinα－BIld

2B2d32m(BIld2mgdsin)R (2)

mgsin(3)

BIld

BIlmgsin解析:

(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中,作用在线框上的安培力做功为W

由动能定理mgsinα·4d＋W－BIld＝0 且Q＝－W

解得Q＝4mgdsinα－BIld.

(2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1,则接着向下运动2d 由动能定理mgsin•2dBIld0装置在磁场中运动时受到的合力 F＝mgsinα－F′ 感应电动势ε＝Bdv 感应电流I12mv1 2R

安培力F′＝BI′d

由牛顿第二定律,在t到t＋Δt时间,有vFt mB2d2v]t 则v[gsinmR2B2d3有v1gt1sin

mR解得t12B2d32m(BIld2mgdsin)R

mgsin(3)经过足够长时间后,线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动 由动能定理mgsinα·xm－BIl(xm－d)＝0 解得xm

BIld

BIlmgsin