专题13 抛物线(解析版)

专题13 抛物线

一、单选题

1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为y1的抛物线的标准方程是( ) A．x22y B．y22x

C．x24y D．y24x

【答案】C 【解析】

根据题意，抛物线的准线方程为y1，即其焦点在y轴负半轴上，且

p21，得p2， 故其标准方程为x24y.

故选：C

2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线y2x2的焦点坐标为（ ） A．(0,1) 12B．(0,8) C．(12

,0) D．(1,0)

【答案】B 【解析】

整理抛物线方程得x212y， 焦点在y轴，P1

4

，

焦点坐标为10,8，故选B.

3．（2020·北京高三月考）抛物线x24y的准线与y轴的交点的坐标为（ ）

A．(0,12) B．(0,1) C．(0,2) D．(0,4)

【答案】B

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1

【解析】 准线方程为：

，与y轴的交点为(0,1)，故选B.

24．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线x4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（ ） A．2 【答案】D 【解析】

抛物线x4y焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1，因为点A的纵坐标

2B．3 C．4 D．5

为4，所以点A到抛物线准线的距离为415，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.

5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线点坐标为（ ） A．

B．

C．

D．

的准线经过点

，则抛物线焦

【答案】B 【解析】 由抛物线

所以抛物线焦点坐标为

得准线

，因为准线经过点

，所以

，

，故答案选

26．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线C:y2px(p0)的焦点为F,准线为l,且l过点

2,3,M在抛物线C上,若点N1,2,则MNMF的最小值为

A．2 C．4 【答案】B

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2

B．3 D．5

【解析】

由题可得,l:x2.

由抛物线的定义可知,MFxM2,

所以MNMF=MNxM2123.故选B．

2227．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线C：x2py(p0)的准线l与圆M：(x1)(y2)16相切，则p（ ） A．6 【答案】D 【解析】

因为抛物线C:x2py的准线为y222B．8 C．3 D．4

p， 2又准线l与圆M:x1y216相切， 所以

p24 ，则p4. 2故选D

228．（2020·天津高三一模）已知抛物线y4x与x2pyp0的焦点间的距离为2，则p的值为（ ）

A．23 【答案】A 【解析】

B．4 C．6 D．12

22抛物线y4x的焦点坐标为1,0，抛物线x2pyp0的焦点坐标为0,p， 2p由已知条件可得1002，222p0，解得p23. 故选：A.

9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线C:x6y的焦点为F直线l与抛物线C交获取WORD版请加QQ群52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库

3

2于A,B两点，若AB中点的纵坐标为5，则|AF||BF|（ ） A．8 【答案】C 【解析】

抛物线C:x6y中p＝3， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y1+ y2+p＝y1+ y2+3， 又线段AB中点M的横坐标为∴y1y2＝10， ∴|AF|+|BF|＝13； 故选：C.

210．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C：y12x的焦点为F，A为C上一点且在第一

B．11 C．13 D．16

2y1y25， 2象限，以F为圆心，FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则AF（ ） A．16 C．12 【答案】C 【解析】

因为A，F，B三点共线，所以AB为圆F的直径，ADBD． 由抛物线定义知|AD||AF|B．10 D．8

1|AB|，所以ABD30．因为F到准线的距离为6， 2所以|AF||BF|2612． 故选：C．

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4

二、多选题

11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线y2pxp0上一点M到其准线及对称轴的距离分别为10和

26，则p的值可取（ ）

A．1 【答案】BD 【解析】

2设M(x0,y0)，所以有y02px0，由点M到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有x0B．2 C．9 D．18

p10，2y022px0py06，所以有x010p220p360p2或p18.

2y06故选：BD

212．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线x2py(p0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A．抛物线的方程是x2y C．sinQMN的最小值是【答案】BC

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5

2B．抛物线的准线是y1 D．线段AB的最小值是6

1 2【解析】

抛物线C:x2pyp0的焦点为F0，，得抛物线的准线方程为y，

22p2p2到焦点F的距离等于3，可得2点Et，2p3，解得p2， 2则抛物线C的方程为x4y，准线为y1，故A错误，B正确； 由题知直线l的斜率存在，F0，1，

设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l的方程为ykx1，

ykx1由 ，消去y得x24kx40， 2x4y所以x1x24k，x1x24，

2k1， 所以y1y2kx1x224k2，所以AB的中点Q的坐标为2k，22ABy1y2p4k2224k24，故线段AB的最小值是4，即D错误；

所以圆Q的半径为r2k22， 在等腰QMN中，sinQMN当且仅当k0时取等号，

yQ2k211112121， r2k22k2221sinQMN所以的最小值为，即C正确，

2故选：BC.

13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线C：y2pxp0的焦点为F，直线的斜率为3且经过点F，

2直线l与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限）、与抛物线的准线交于点D，若AF4，则以下结论正确的是（ ） A．p2 【答案】ABC

B．F为AD中点

C．BD2BF

D．BF2

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6

【解析】

如图所示：作AC准线于C，AMx轴于M，BE准线于E. 直线的斜率为3，故tanAFM3，AFM3，AF4，故MF2，AM3. pA2,23，代入抛物线得到p2； 2NFFM2，故AMFDNF，故F为AD中点；

BDE6，故DB2BE2BF；

BD2BF，BDBFDFAF4，故BF故选：ABC.

4； 3

三、填空题

14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线y2x上一点P到x轴的距离是4，则点P到

2该抛物线焦点的距离是______. 【答案】

33 8【解析】

抛物线方程的标准形式为：x2y1，准线方程为y，

827

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由抛物线的定义得：点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y因为点P到x轴的距离是4，所以d41的距离d， 813333，故填：.

888215．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线yax的准线方程是y2，则a＝________. 【答案】 【解析】

2抛物线yax的标准方程为x2181y, a则a＜0且2＝－得a＝－

1， 4a1. 8216．（2020·北京高三其他）如果抛物线y2px上一点A4,m到准线的距离是6，那么m______. 【答案】42 【解析】

抛物线y2px的准线方程为x由题意得42p， 2p6，解得p4. 22∵点A4,m在抛物线y2px上， ∴m2244，∴m42， 故答案为：42.

17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线y4x的焦点F坐标为_____，过F的直线交抛物线y4x于A、B两点，若AF2FB，则A点坐标为_____. 【答案】1,0 2,22 【解析】

抛物线y4x的焦点F的坐标为1,0；

222获取WORD版请加QQ群52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库

8

设点Ax1,y1，Bx2,y2，设直线AB的方程为xmy1，

AF1x1,y1，FBx21,y2，由AF2FB得y12y2，y12y2，

联立xmy12xy4my40，y1y24， ，消去得2y4xy1y24y12所以，解得y122，x12，

y2y421因此，点A的坐标为2,22. 故答案为：1,0；2,22. 四、解答题

y218．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线y12x，双曲线x1，它们有一个共同的

m22焦点.

求：（1）m的值及双曲线的离心率；

（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.

【答案】（1）m8，e3；（2）准线方程为x3，渐近线方程为y22x 【解析】

2（1）抛物线y12x的焦点为(3,0)，

y2由双曲线x1(m0)，可得1m9，解得m8，

m2双曲线的a1，c3，则e2c3； a2y2（2）抛物线y12x的准线方程为x3，双曲线x1的渐近线方程为y22x.

819．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．

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9

（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；

（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．

【答案】（1）抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）；（2）M的轨迹方程为 y2=2x﹣1． 【解析】

（1）抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），

设抛物线解析式为y2=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2 ∴抛物线标准方程为：y2=4x，焦点坐标为F（1，0）

（2）设M（x，y），P（x0，y0），F（1，0），M是PF的中点，则x0+1=2x，0+y0=\"2y\" ∴x0=2x﹣1，y0=2y

∵P是抛物线上一动点，∴y02=4x0

∴（2y）2=4（2x﹣1），化简得，y2=2x﹣1． ∴M的轨迹方程为 y2=2x﹣1．

20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线C:y2pxp0上的点M5,m到焦点F的距离为6.

2（1）求p,m的值；

（2）过点P2,1作直线l交抛物线C于A,B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程. 【答案】（1）p2，m25；（2）2xy30. 【解析】

（1）由抛物线焦半径公式知：MF5p6，解得：p2， 2C:y24x，m25420，解得：m25. （2）设Ax1,y1，Bx2,y2，

y124x1则2，两式作差得：y1y2y1y24x1x2，

y4x2210

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kly1y24，

x1x2y1y2P2,1为AB的中点，y1y22，kl2，

直线l的方程为：y12x2，即2xy30.

21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l与抛物线C:x2py(p0)相交于D、

2E两点，已知当l的斜率为

12时，PE4PD. （1）求抛物线C的方程；

（2）设DE的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围. 【答案】1x24y；2b2

【解析】

1由题意可知,直线l的方程为y12x4,

与抛物线方程C:x22py(p0)方程联立可得,

2y28py80,

设Dx1,y1,Ex2,y2,由韦达定理可得,

y1y28p2,y1y24, 因为PE4PD,PEx24,y2,PDx14,y1, 所以y24y1,解得y11,y24,p2, 所以抛物线C的方程为x24y;

2设l:ykx4,DE的中点为x0,y0,

由x24yykx4,消去y可得x24kx16k0, 所以判别式16k264k0,解得k4或k0, 由韦达定理可得,xDxE0x22k,y0kx042k24k, 获取WORD版请加QQ群52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库

11

所以DE的中垂线方程为y2k4k21x2k, k2令x0则by2k4k22k1,

2因为k4或k0,所以b2即为所求.

222．（2020·广东省高二期末）已知直线x4与抛物线C:y2px（p0）相交于A，B两点，且OAB是等腰直角三角形． （1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l过定点(2,1)，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？

2【答案】（1）y4x（2）k0或k1或k1 2【解析】

2（1）直线x4与抛物线C:y2px（p0）相交于A，B两点，

可设A(4,22p)，B(4,22p)，

又OAB是等腰直角三角形，可得OAOB， 则22p22p1，解得p2， 442即有抛物线的方程为y4x；

（2）直线l过定点(2,1)，斜率为k，可设直线l的方程为y1k(x2)， 当直线l平行于抛物线的对称轴x轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即k0； 当直线l与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点， 由ykx12k222可得kx[2k(12k)4]x(12k)0，k0， 2y4x222由[2k(12k)4]4k(12k)161k2k2， 0，解得k1或k12综上可得k0或k1或k1，直线l与抛物线C只有一个公共点． 2223．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线C：y2pxp0的焦点为F，准线为l，获取WORD版请加QQ群52714787，更多资料关注公众号：高中数学优质讲义库

12

若点P在C上，过点P作PE垂直于l，交l于E，PEF是边长为8的正三角形. （1）求C的方程；

（2）过点M1,0的直线m与C交于A，B两点，若MA3MB，求直线m的方程. 【答案】（1）y28x（2）y6x6或y6x6 【解析】

（1） 由PEF是边长为8的等边三角形， （2） 得|PE||PF||EF|8， 又由抛物线的定义可得PEl． 设准线l与x轴交于D，则PE//DF， 从而PEFEFD60，

在RtEDF中，|DF||EF|cosEFD8124，即p4． 所以抛物线C的方程为y28x；

（2）设直线m：xty1，代入y28x得y28ty80，

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13

设A(x1,y1)，B(x2，y2)则y1y28t，y1y28， 因为MA3MB， 所以y13y2，

设y13y2，则y112t，y24t，12t4t8 解得t66， 所以直线方程为x66y1， 即y6x6或y6x6

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