点击分段函数 常见题型 。刘国飞 分段函数是自变量在不同的取值范围内，其对应法则 也不相同的函数。分段函数是一类表达形式特殊的函数， 因为 ＝１＞０，所以－厂（１）＝ｌｇｌ＝０，又因为 对分段函数的考查是高考数学考查热点之一。下面举例 说明分段函数的常见类型与解题方法，希望对同学们有所 帮助。 一）＝ ＋』 ３ ＝ ＋ｃｚ３， 所以厂（Ｏ）＝ａ ，所以ａ ＝１，即ａ＝１。 点评分段函数的单调性 ｒｎ （ ＞１）， 求分段函数的值时，一定要认真分析自变量所 在的区问，因为各段上的解析式是不相同的。 三、分段函数的零点ｔ＇．－Ｊ题 ＋ｌ ｌ＋ａ（≤。）有三个不 例３ 已知函数，（ ）＝ Ｉｘ Ｉ．．、例 若，（ ｛（４一÷） ＋２（ ≤１）是Ｒ上的单调 递增函数，则实数ａ的取值范围为—解析因为，（ ）是定义 ｙ —。 同零点，则实数ａ的取值范围为——。 ｘ ＋ ｌｌ‘解析 如图２，画出ｇ（ ）＝【ｌＩ 。图像，在Ｒ上的增函数，故Ｙ＝ａ 和Ｙ＝（４一 ） ＋２均为增 二 （ 则当 ＞０时 厂（ ）的图像与 轴只有一个交点，要使函数 ＝函数，所以０＞１且４一— ＞ 二 ／ ０ １ ｊ｛ 嚣 ’有 一ｙ ０，即ｌ＜ａ＜８。画出该分段 ｒ １ 三个不同零点，只有当 ≤０ 时，函数的图像与 轴有两 个交点即可，而Ｙ＝Ｉｘ＋１ｌ＋ 而得到，因此一１≤ａ＜０，所 函数图像（图１），由图像可 ＼／ ／ １ ０ ｔ 得，该函数还必须满足：０ ≥（４一＿ａ）×１＋２，即０＞『１４。综 ａ是由Ｙ＝Ｉ ＋１Ｉ上下平移 图２ 上，ａ的取值范围为４≤ａ＜８。 以本题答案为一１≤。＜０。 点评要判断分段函数的单调性，首先应该判断各段 点评本题考查图像的平移、函数与方程的关系以及 函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点 处函数值的关系，若符合单调性定义，则该函数在整个定 利用数形结合解决分段函数的零点问题。四、分段函数新定义题 义域上单调递增或递减，若不符合，则必须分开说明单调 性。 例４具有性质 （ ）、＝一，（ ）的函数，我们称为满 ｒｌ ＞０ 二、分段函数求值 足“倒负”交换的函数，下列函数： ， ，例２设 ） ｛ｌ ＋ｆ 十Ｉ ３ｔＺｄｔ Ｌ 』０ ＝ｕ 若，（，（ ）） …（０＜ ＜１） １，则ａ＝——。 ÷ …１ ；③ ＝｛Ｉ０，（ 中满 一 ，解析分段函数求值时，要特别注意要代入哪个解析 （ ＞１） ） 式。分段函数问题通常需要分步进行计算或判断，从 ＝１ 足“倒负”变换的函数是（Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②③算起是解答本题的突破口。 Ｄ．只有① ２６高中生之友・上半月刊９／２０１２ 责编周 数学慧１６３ Ｉ＿ｃｏｍ 皿 售 责编周￣／ｇｚｓｚｙｚｙｙ＠解析解决本题需要充分应用“倒负”的定义进行判 解析本题是分段函数，涉及指数函数、对数函数，又 断，①②可以直接进行判断，③需要结合分段函数的性质 考查函数的奇偶性、单调性，解决本题首先根据奇函数的 分段进行判断。 性质得到一２≤ ＜０时ｆ（ ）的最值，从而可以转化到 对于① ÷）＝戈 —｝一 ＝一（ 一÷）＝一厂＿（ ），所以 性确定当 ＝２时，函数／（ ）与ｇ（ ）同时取得最大值，从而 满足“倒负”变换； 解决问题。 ０＜ ≤２函数，（ ）的最值，再根据ｙ＝ｌ０ｇ ‘ ／ 的单调 ｘＣＴ＠Ｊ（ｉ ）＝÷＋ ＝”１ ＝ ）≠一 ）。 ； 所以不满足“倒负”变换； 由于＿厂（ ）为奇函数，当一２≤ ＜０时 ，）＝２ｘ有最小 值为－厂（一２）＝２～＝＿＿１故当０＜ ≤２时，厂＿（ ）＝ｇ（ ）一 ｌ。ｇ５ ／ ：ｌ。ｇ （ ＋厕对于③，当０＜ ＜１时，一１＞１， 有最大值为 ２）＝一 １而当０＜ ≤２时，ｙ ，所以＿厂（÷）＝一÷＝一 ：一，（ ）， 当 ＝１时 ）＝０＝－ｆ（ ）， 为增函数，考虑到ｇ（ ）：ｆ（ ）＋ ｌ。ｇ５ ｌ。 厢，结合当０＜ ≤２时，，（ ）与ｙ＝ｌｏ ‘ ／５ ） ）＿一在 ＝２时同时取到最大值，故［ｇ（ ）］ ＝ｆ（２） 当 １时，÷ １所以，（÷）＝ １＝一（一÷）＝Ｉ厂（ 所以满足“倒负”变换。故答案应选Ｂ。 点评新定义型题的特点是依据定义来进行运算或 判断，故理解定义是解题的关键。 四、分段函数的奇偶性 ÷＋ｌ－｝。 点评练习 本题考查了函数的奇偶性和对称性，还考查了 利用单调性求函数在定义域下的最值。 １．设 ）＝【ｌｇ ｘ，ｘ＞０１≤。，则 一２））＝一。 已知函数，（ （ ） ，该函数是 ２．已知函数－厂ｃ ＝｛ ６ ’：三 ’贝ｕ，ｃ。，＋ ｆ（一１）＝（ ） Ａ．偶函数，且单调递增 Ａ．９ Ｂ＿１Ａ ７０ｃ３ ．Ｄ． Ｂ．偶函数，且单调递减 Ｃ．奇函数，且单调递增 Ｄ．奇函数，且单调递减 解析由于函数＿厂（ ）＝１—２一（ Ｉ＞０）是增函数， ．已知，（ ）＝｛Ｉ ａ‘ 一 】一 ２ Ｂ．［ １２） ，ｌ ｌ： ， Ｊ 满足对任意 ＞０成立，那么ａ的取值范 ｃ．（ １２）Ｄ．［ ３，，围是（１≠ ２成立， ） 都 －厂（ ）＝２ 一１（ ＜０）也是增函数， ＞２Ｘ所以函数，（ ）＝Ｉ ２１ － （ｘ所以函数，（ ） Ｉ ２ ￣一Ｏ）是增函数ｌ＜。）ｌ（（ ＜０） 是增函数；； Ａ．［ １２］ ，２） 当 ＜０时，一 ＞０，所以ｆ（一 ）＝１—２ ＝一（２ 一１） ＝一 参 ），当 ＞０时，一 ＜０，所以 １・一２。解析厂（一２）＝１０～＝而ｌｌｔ￣＂ｆｉｆ（ｆ（一２）） ，￣－厂（一 ）＝２一 一１＝一（１—２一 ）＝一－厂（ ）， ＞ （ｘ又＿厂（０）＝一ｆ（ｏ），所以函数＿厂（ ）＝【２１ －２Ｘ一Ｏ）是 ： ）＝ｌｇ而１＝ ２．Ｃ。解析ｆ（０）＋－厂（一１）＝１０。＋１—６＋７＝３。 ｌ（＜。）奇函数，故答案选Ｃ。 点评分段函数奇偶性的判断要分别从 ＞０或 ＜０ ３．Ｄ。解析 对任意 ，≠ ：，都有 成立， 来寻找等式＿厂（一 ）： ）或－厂（一 ）＝一，（ ）成立，只有当 说明此函数是一个增函数，对于函数 对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定 的奇偶性。 五、分段函数的最值问题 ｒ２ ．一２≤ ＜０ ｒ。＞１ ）＝ Ｌ ａ Ｌ 声Ｊ） ，只要满足不等式 １． ｔ￣ｌＪ ５设函数 ｉＬｇ（Ｌ 一）一 ｌｏｇ５（＊＋ ） ，’０ｕ＜ ≤２ｚ 若 ＿厂（ ）为奇函数，则当０＜ ≤２时，ｇ（ｘ）的最大值是一。 ｛【２一。＞ｏ 解得—争≤。＜２，故答案选Ｄ。 ２一ｏ＋１≤０ （作者单位：江西省新干县第二中学） ９／２０１２高中生之友・上半月刊２７
