[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P21～P26的内容，回答下列问题． (1)观察教材P21“思考”中的4个语句： ①这4个语句中是命题的有哪几个？ 提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题． ②语句(3)和语句(1)之间有什么关系？
提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定． ③语句(4)和语句(2)之间有什么关系？
提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定． (2)观察教材P22“思考”中的4个语句： ①这4个语句都是命题吗？
提示：(1)(2)不是命题；(3)(4)是命题． ②语句(3)和语句(1)之间有什么关系？
提示：语句(3)在语句(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定． ③语句(4)和语句(2)之间有什么关系？
提示：语句(4)在语句(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定． (3)写出教材P24“探究”中三个命题的否定．
提示：命题(1)的否定：存在一个矩形不是平行四边形； 命题(2)的否定：存在一个素数不是奇数 ； 命题(3)的否定：∃x0∈R，x20－2x0＋1<0． (4)写出教材P25“探究”中三个命题的否定．
提示：命题(1)的否定：所有实数的绝对值都不是正数； 命题(2)的否定：每一个平行四边形都不是菱形；
第 1 页 共 14 页
命题(3)的否定：∀x∈R，x2＋1≥0． 2．归纳总结，核心必记 (1)全称量词和全称命题
全称量词 符号 全称命题 形式 (2)存在量词和特称命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些 符号表示 特称命题 形式
(3)含有一个量词的命题的否定
∃ 含有存在量词的命题 “存在M中的元素x0，使p(x0)成立”， 可用符号简记为∃x0∈M，p(x0) 所有的、任给、每一个、对一切 ∀ 含有全称量词的命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”， 可用符号简记为∀x∈M，p(x)
[问题思考]
(1)命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？ 提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题． (2)命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？ 提示：是全称命题，且是假命题． (3)下列命题是特称命题的有哪些？ ①有一个平行四边形是菱形； ②任何一个平行四边形是菱形； ③某些平行四边形是菱形； ④有的平行四边形是菱形． 提示：①③④．
(4)全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？
第 2 页 共 14 页
提示：全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点．
(1)全称量词： ， 全称命题： ； (2)存在量词： ， 特称命题： ； (3)全称命题及其否定的形式： ， 特称命题及其否定的形式： ．
[思考] 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？
名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．
讲一讲
1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； (4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[尝试解答] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
第 3 页 共 14 页
判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题． (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质． 练一练
1．下列语句是特称命题的是( ) A．整数n是2和7的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除 C．x>7
D．∀x∈M，p(x)成立
解析：选B B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．
2．判断下列命题是全称命题还是特称命题： (1)负数没有对数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)∃x0∈Z，log2x0>0.
解：(1)和(3)为全称命题．(2)和(4)为特称命题．
[思考1] 如何判定一个全称命题的真假？
名师指津：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
[思考2] 如何判定一个特称命题的真假？
名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
讲一讲
2．(1)下列命题中的假命题是( )
A．∃x0∈R，lg x0＝0 B．∃x0∈R，tan x0＝1
第 4 页 共 14 页
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0 (2)判断下列命题的真假：
①任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；
2②∃x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0；
③在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P. [尝试解答] (1)当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．
(2)①因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉>0，所以cos〈a，b〉>0，又0≤〈a，b〉≤π，所以π
0≤〈a，b〉<，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．
2
2②因为x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0，故它是假
命题．
③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． [答案] (1)C
判断全称命题与特称命题真假的方法
(1)全称命题真假的判断
对于全称命题“∀x∈M，p(x)”：
①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例)
(2)特称命题真假的判断
对于特称命题“∃x0∈M，p(x0)”：
①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例)
②要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立． 练一练
3．判断下列命题的真假． 1
(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>；
2
(2)∃α0，β0，使cos(α0－β0)＝cos α0－cos β0；
第 5 页 共 14 页
(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.
11211
解：(1)真命题．因为x－x＋1－＝x－2＋≥>0.
244
2
1
所以x2－x＋1>恒成立．
2
ππ
(2)真命题．例如，α0＝，β0＝，符合题意．
42(3)假命题．例如，x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.
讲一讲
3．写出下列命题的否定，并判断其真假． 1
(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0;
4(2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x0∈R，x20＋4x0＋6≤0； (4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. [尝试解答] (1)
2－x＋1<0，假命题． ：∃x0∈R，x00
4
因为∀x∈R，x2－x＋(2) (3) (4)
112
＝x－≥0恒成立． 42
：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． ：∀x∈R，x2＋4x＋6>0，真命题． ：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
练一练
4．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
第 6 页 共 14 页
(1)有一个奇数不能被3整除； (2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0； (3)有些三角形的三个内角都为60°； (4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除． (2)是全称命题，否定为：∃x0∈Z，x20与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°. (4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
讲一讲
4．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围． [尝试解答] 法一：由题意，∀x∈[－1，＋∞)， 令f(x)＝x2－2ax＋2，则f(x)≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为∀x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立， 而∀x∈[－1，＋∞)，
2
2－a，a≥－1，
f(x)min＝
22
（1＋a）＋2－a，a<－1.
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3，1]． 法二：x2－2ax＋2≥a， 即x2－2ax＋2－a≥0， 令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)， f(x)≥0恒成立，
第 7 页 共 14 页
所以Δ≤0或a<－1，
f（－1）≥0，
即－2≤a≤1或－3≤a<－2. 所以－3≤a≤1.
Δ＝4a2－4（2－a）>0，
综上，所求实数a的取值范围是[－3，1]．
求解含有量词的命题中参数范围的策略
(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或a 5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围． 解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0； 当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1 ——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————— 1．本节课的重点是全称命题、特称命题的否定及真假判断，其中全称命题、特称命题的否定又是本节课的易错点． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)全称命题、特称命题的真假判断，见讲2. (2)全称命题、特称命题的否定，见讲3. 3．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词． 第 8 页 共 14 页 (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定． 课时达标训练（五） [即时达标对点练] 题组1 全称命题、特称命题及其真假判断 1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2>0 C．任意无理数的平方必是无理数 1 D．存在一个负数x，使>2 x 解析：选A 只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题．因为2是无理数，而(2)2＝2不是无理数，所以C为假命题． 2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1D．存在一个负数x，使>2 x 解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任1 一个负数x，都有＜0，所以D是假命题． x 3．有下列四个命题：①∀x∈R，2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0；③ * ∃x0∈N，使x20≤x0；④∃x0∈N，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0 第 9 页 共 14 页 恒成立，故①为真命题； 对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题； 对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x20≤x0成立，故③为真命题； 对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题． 题组2 全称命题、特称命题的否定 4．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( ) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0 D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0 解析：选C 全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0. 5．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是( ) A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m>0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0 C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0 D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m>0 解析：选D 特称命题的否定为全称命题，否定结论．故选D. 6．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形 C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形 解析：选C 在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故三角形不是等腰三角形”．故选C. 7．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________________________． 解析：“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”． 答案：∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0 题组3 全称命题、特称命题的应用 为“所有 是( ) 第 10 页 共 14 页 1 8．已知命题“∃x0∈R，2x20＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是2________． 1 解析：由题意可得“对∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2 2－4<0，得－1 9．已知p：∀x∈R，2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围． 解：由命题p为真可知2x>m(x2＋1)恒成立， 即mx2－2x＋m<0恒成立， m<0，所以解得m<－1. 2 Δ＝4－4m<0， 由命题q为真可得 Δ＝4－4(－m－1)≥0， 解得m≥－2， 因为p∧q为真， 所以p真且q真， m<－1，所以由得－2≤m<－1， m≥－2， 所以实数m的取值范围是[－2，－1)． [能力提升综合练] 1．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0 解析：选C 命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”． 2．下列四个命题中的真命题为( ) A．若sin A＝sin B，则A＝B B．∀x∈R，都有x2＋1>0 第 11 页 共 14 页 是( ) C．若lg x2＝0，则x＝1 D．∃x0∈Z，使1<4x0<3 解析：选B A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命13 题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得 1 3．已知命题p：∀x∈R，2x2＋2x＋<0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝2.则下列 2判断正确的是( ) A．p是真命题 B．q是假命题 C． 是假命题 D． 2 是假命题 解析：选D 1 p：2x2＋2x＋＝2 为真命题． x2＋x＋1＝2x＋1≥0， 42 2 ∴p为假命题， π q：sin x0－cos x0＝2sinx0－＝2， 4 3 ∴x0＝π时成立． 4故q为真，而 为假命题． 4．已知命题p：∀b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题q：∃x0∈Z，使log2x0>0，则下列结论成立的是( ) 解析：选D f(x)＝x2＋bx＋c bbx＋＋c－， ＝24 2 2 b 对称轴为x＝－≤0， 2 所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，命题p是真命题．令x0＝4∈Z，则log2x0＝2>0，所以命题q是真命题， 为假命题，p∨( )为真命题．故选D. 5．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为 ：________． 22解析：命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5<0是特称命题．因为x＋2x＋5＝(x＋1)＋4>0恒 第 12 页 共 14 页 成立， 所以命题p为假命题， 命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0. 答案：特称命题 假 ∀x∈R，x2＋2x＋5≥0 6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列四个命题中假命题的序号是________． ①∃x∈R，f(x)≤f(x0)； ②∃x∈R，f(x)≥f(x0)； ③∀x∈R，f(x)≤f(x0)； ④∀x∈R，f(x)≥f(x0)． b 解析：由题意：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即 2a对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的． 答案：③ 7．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若值范围． 解：∵ 为假命题，∴p为真命题． 是假命题，求实数m的取 即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解． 由4x＋2x·m＋1＝0， 11 2x＋x≤－2. 得m＝－2x－x＝－22即m的取值范围为(－∞，－2]． 8．已知p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，q：“∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围． 解：p为真时，x2－a≥0， 即a≤x2. ∵x∈ [1，2]时，上式恒成立，而x2∈[1，4]，∴a≤1. q为真时，Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0， 即a≥1或a≤－2. ∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题． 第 13 页 共 14 页 ∴a＝1或a≤－2. 即实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤－2}. 第 14 页 共 14 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容