全息术实验讲义

光学全息图和计算机全息图的制作及再现

1.实验内容

1.1 记录菲涅耳全息图和彩虹全息图,并实现光学再现。

1.2 应用Matlab设计并制作辐射聚焦型计算机全息图，并实现光学或数字再现。

2．实验原理

2.1 彩虹全息图的记录和白光再现原理 2.1.1 全息术的基本原理

全息术按其物理意义又可称为波前的记录和重现，这是英国物理学家丹尼斯.盖伯于1948年提出的两步成像技术。盖伯从理论和实验上证明，用一个参考光波和物体衍射的光波（称为物光波）干涉，可以完全记录物光波的振幅和位相信息，并且由这样一张记录的干涉图（即全息图）对照明光波的衍射，可以重现原来物体的像。 全息术和普通摄影之间的联系和区别：首先，全息术和普通摄影都是以光波作为信息的载体，（当然全息术也可以用射线或声波），以光信息的存储和显示作为目的。但是二者之间在下述几个方面却存在着根本的区别。在原理上,普通摄影是将光强分布记录在二维感光材料上,只保留了物体的振幅信息,而丢失了位相信息,因此从普通“照片”完全得不到深度和视差的感觉。而全息术是利用物光波与参考光波的干涉，或者物光波对参考光波的调制，完全记录物光波的复振幅。全息图上不仅存储了物体的振幅信息，而且存储了物体的位相信息。这样的记录结果（即全息图）完全不同于“照片”，一般来说，不可能在全息图上直接观察到物体的像。但是，如果用一束适当的光波照射全息图，通过衍射，就可以重现原来记录的光波。人眼接受到重现的光波，就如同通过“全息图”这个窗口直接观察真实物体一样，利用体视视差效应，获得真正的三维效果。其次是成像方法和工艺上的区别。普通摄影基于几何光学原理，利用透镜等光学元件，在物体的共轭像面上记录，记录的物体信息是非冗余的，照片的缺损会造成信息的永远丢失。而全息术对物体信息的记录和编码可在物光波传播途径中的任意位置进行，编码方式是不惟一的，从而衍生出各种类型的全息图。此外，全息术对物体信息的记录是高度冗余的，因此从全息图的局部可以再现完整的物体像。除此之外，全息术和普通摄影在光源性质、记录装置、记录材料等方面，也存在着不同程度的差别。下面，从波前的记录和重现两个方面，来讨论全息术的基本原理。

（1） 波前记录

全息术和普通摄影最根本的差别是,不仅要记录物体的振幅信息,而且要记录物体的位相信息,这也是波前记录所要解决的关键问题。因为迄今为止,一切光记录材料都是“位相盲”，即只能对光波的强度起反应。因此，只有将物体的位相分布转化为非负的实数形式（比如说转化为光强度分布），才能记录或储存下来。这一转化过程称为位相编码。

从光的干涉基本理论可知，双光束干涉的强度分布与两束光的位相差或光程差有关，等强度线即是等位相差线。如果一束相干光（通常是参考光波）为简单光波（比如平面波或者球面波），它在记录平面的位相分布为已知，于是干涉强度分布就和另一束光(即物光波)的位相分布形成简单的对应关系。由此不难想到，利用参考光波和物光波的干涉，可以实现对物光波的位相编码。设在记录平面上，物光波和参考光波的复振幅分别为：

Ox,yO0x,yexpj0x,y （1） Rx,yR0x,yexpjrx,y （2）

1

于是，对记录材料曝光的两束光干涉的强度分布为： Ix,yOx,yEx,y Ox,yRx,yOx,yR

2x,yOx,yRx,y

O02x,yR02x,y2O0x,yR0x,ycos0x,yrx,y (3)

22控制曝光时间T，使曝光量EIT的动态范围处于底片t--E曲线的线性区段，于是显影后底片的振幅透射系数tx,y与曝光光强分布成正比,表示为：

tx,ytbTIx,ytbIx,y

22Ox,yRx,yOx,yRx,yO tbx,yRx,y 00

22tb0x,yrx,y O0x,yR0x,y2O0x,yR0x,ycos (4)

为负值；式中是底片t--E曲线在偏置点处斜率与曝光时间T的乘积，对于负片，对于正片，为正值。式(4—4)表示了全息图的振幅透射系数。在通常情况下，记录全息图所用的参考光波均为简单波，即可将R0x,y作为复常数，于是从式(4—4)不难看出，全息图不过是一个记录了物体光波振幅和位相信息的复杂光栅，光栅条纹的位置编码了物体光波的位相0x,y，光栅的反衬度编码了物体光波的振幅O0x,y。 （2）波前重现

波前的重现是以全息图对再现光波的衍射为基础。为此，用一束相干光波

Bx,yB0x,yexpjbx,y

照射全息图，则从全息图衍射的光波可以表示为： ux,yBx,ytx,y tbBx,yO0

Bx,yOx,yRx,yR02x,yx,yBx,y Ox,yRx,yBx,y

2 u1u2u3 u (5)

若再现光波Bx ,y就是记录时的参考光波Rx,y，则衍射的第三项成为： u3R02x,yOx,y (6)

这正是原始物体光波的重现。对观察者来说，由全息图重现的物光波和从原始物体发出的物光波是没有区别的，人眼接收到物光波，就如同通过全息图窗口观察原始物体一样，所以由u3项产生了一个原始物体的虚像。同样，如果用一个和参考波共轭的相干光波来照射全息图，即 Bx,yR则衍射的第四项成为： u4R02x,y

x,yOx,y (7)

这一项重现了物体光波的共轭Ox,y，它相应于衍射光在空间会聚所成的一个实像。 值得注意，每次重现过程中当照明光波Bx,y确定之后，衍射光中通常只有一项是有

2

用的信息，而其余各项则成为背景噪音，因此保证各衍射项在空间分离就成为全息术中一个重要的问题。

下面以一个点物的记录和重现为例，来说明上述的两步成像过程。图1(a)表示由平面参考波R与Px0,y0,z0点发出的球面波干涉，在H上记录点物P的全息图。按图示的几何关

图1 点物全息图的记录和重现

(a) 记录； （b）重现虚像； (c) 重现实像

系，物光波为发散球面波，表示为： Ox,yO0expjkzo2 (8)

当采用图(b)的光路重现时，由于照明光波BR，因此衍射的第三项u3Ox,y，

xx0yy022这是一个从虚像点Px0,y0,z0发出的发散球面波，人眼接收到该衍射波，就可以通过全息图观察到位于Px0,y0,z0的虚像。当采用图(c)的光路重现时，由于照明光波

BR，因此衍射的第四项表示为：

222 u4O0expjkxx0yy0z0 （9）

这是一个向Px0,y0,z0点的镜像点Px0,y0,z0会聚的会聚球面波，因此，在P处可以

探测到一个实像点。对于复杂物体，应用点基元分析方法，将物体看做是大量具有不同振幅和初位相的点源的线性叠加，每个点物都形成各自的点基元全息图，按照记录过程的线性性质，每个基元全息图都按照上述原理再现各自的虚像或实像，最后综合出完整的再现像。

2.1.2 平面全息图理论 (1) 平面全息图分类

首先，按照全息图干涉条纹的空间周期和记录介质厚度的关系，可以分为平面全息图和体积全息图。平面全息图是指用薄记录介质记录的空间频率较低的全息图，通常为透射全息图，这种全息图的条纹间距通常与记录介质的厚度相当，再现时可以作为一个二维平面衍射光栅来处理。体积全息图则是用厚记录介质记录的空间频率较高的全息图，可以是透射型，也可以是反射型，总之，记录介质的厚度比全息图条纹间距要大得多，再现时必须作为三维光栅来处理。 ．

按照记录平面上物体光波与被摄物体关系，可以划分为：菲涅耳全息图，傅里叶变换全息图和像全息图。 ’ ’

按照全息图对再现照明光波的调制方式，可以分为振幅全息图和位相全息图。

按照全息图的制作方法，还可以分为光学全息图和计算机全息图。

3

下面介绍几种重要的平面全息图。 (2) 同轴菲涅耳全息图

图2为同轴菲涅耳全息图记录和再现光路，这种全息图只能记录透明物体(比如带有悬浮杂质的透明液体)。在图2(a)的记录光路中，透明物体0由平面波(或球面波)正入射照明，被物体上散射点(例如A点)衍射的光波为物光波，直接透射的光波为参考波，用这两个波的干涉强度分布对底片曝光，经过后续处理，即得到一张同轴全息图。由图2(a)看出，如果物体上只有一个散射点A，则底片H上记录的是一个由A点发出的球面波和参考平面波的干涉，按照双光束干涉理论，全息图的微观结构是一个干涉型同轴菲涅耳波带板。图2(b)画出了该全息图的再现光路图，它和菲涅耳波带板的成像光路完全相同。当用单色平面波B正入射照明时，从全息图H衍射的光波由三项组成：直接透射的平面波；从虚像点A发出的发散球面波和会聚到实像点A的会聚球面波，它们分别对应于“零级”和“±l级”衍射波。对于由众多散射物点组成的复杂物体，可以应用记录和再现过程的线性性质，逐点进行分析，最后得出完整的再现结果。

从上面对点物同轴全息图的分析可知，同轴全息图衍射的零级和±l级光波沿相同的方向传播，不能在空间分离。尽管观察时可以调焦到虚像A或实像A，但别的衍射光波仍会进入观察系统形成背景噪音。这是同轴全息图在应用上受到的主要。

图2 同轴菲涅耳全息图

(3) 离轴菲涅耳全息图

为了解决上述问题，利思和乌帕特尼克斯发明了离轴全息图。图3(a)和(b)分别画出了对透射物体和散射(反射)物体的离轴菲涅耳全息图记录光路。其中物光波

图3 离轴菲涅耳全息图的记录

（a）透射物体记录光路； (b)散射物体记录光路

Ox,y表示由物体透射或者反射的光波在记录平面H上的分布，参考光波通常为平面波或球面波。参考光波与物光波之间有一适当的夹角，称为参考角。在记录平面H上取直角坐标x,y，设参考光波的波矢位于x,z平面，于是参考波的复振幅可表示为：

Rx,yR0expj2sinx (10) 4

代入基本公式(4)，全息图的振幅透射系数可表示为：

2tx,ytbR02O02x,yR0O0expj0x,ysinx



R0O0x,yexpjx,y02sinx 2sinx (11) 

tbR02O02x,y2R0O0x,ycos0x,y

其中O0x,y和0x,y分别表示物光波的振幅和位相分布。上式表明，离轴菲涅耳全息图的微观结构是一组复杂的余弦光栅。余弦项中的2sinx是参考波(类比于通讯系统中的载波)的位相，它决定了全息图上光栅的基本结构，即光栅线条大致沿y轴方向，x方向的空间频率(称为载频)为

sin。物光波的位相0x,y是通过对

参考波的位相调制，或者说通过对余弦条纹的位置调制被记录下来。物光波的振幅O0x,y则是通过余弦光栅的局部反衬度被记录下来。 图4是散射物体菲涅耳全息图的再现光路，设照明光波和参考波相同，即： Bx,yRx,yR0expj

图4 离轴全息图的再现

于是全息图衍射的光波可以表示为： ux,yBx,ytx,y

tbR0

R0Ox,yR0O222sinx 222jsinxOx,yRexpjsinxRexp 2000x,yexpj4sinx  u1u2u3u4 (12)

其中u1和u2为直接透射光波，它基本上沿着照明光波的方向传播，这一项不包含

5

物光波的位相信息，成为背景噪声。第三项u3除了一个常系数之外，完全再现了原始物体光波，人眼接收到这一光波，就观察到原始物体虚像。第四项u4为物光波的

4sinx的乘积，这一束衍射光波综合出了原始物体的共轭实像。只要选择合适的参考角，则可以保证以上各衍射项在空间

共轭光波Ox,y与一个倾斜因子expj分离，这就有效地解决了同轴全息图的“孪生像”干扰问题。

下面以离轴菲涅耳全息图为例，更深入地讨论全息图的几个重要

性质。

a) 再现像分离的条件

从上面的分析可知，离轴全息图之所以能有效地避免各个衍射项的相互干扰，其关键是在参考波和物光波之间引入了一个离轴参考角，或者说增大了载波相对于物光波的空间频率。显然，参考角越大，各衍射项在空间分开的角度越大，越有利于消除各衍射项的相互干扰。但是，参考角的增大是以提高记录材料的空间分辨率为代价的，因此，必须了解使各衍射项在空间完全分离的最角min。

按照傅里叶分析的观点，保证各衍射项在空间分离的前提是它们在传播方向上分离，也就是要求各衍射项的空间频谱互不重叠。如果没有这样的重叠，原则上总可以在频谱面上进行空间滤波，去掉干扰项的频谱，最后得到没有其他项干扰的再现像。为此对公式(12)表示的再现衍射光波作傅里叶变换。设物光波的频谱为

Of,f，则衍射波的频谱为：

sinUf,ftbR02R0f,f

sinR0Of,f★Of,ff,f2sinR02Of,fR02Of,ff,f

 U1U2U3U4 （13） 设物光波在x和y方向的截止频率分别为fc和fc，则衍射波的频谱分布如图5所示。

图5 离轴全息图的频谱

其中U1是位于sin,0的函数；U2正比于物体频谱的自相关，因此它的频带宽度6

sin,0；U3正比于物体的频谱，中心频率为2sin(0，0)；U4正比于物体频谱的共轭，且中心频率移到了,0处。考察图5

可知，保证U3，U4和U1U2分离的条件是：

sin2fcfc 为物体频带宽度的二倍，其分布中心仍在

也就是说，最角应满足：

sin3fc （14） 上述结论虽然是对菲涅耳全息图导出的，但对别种类型的全息图也是正确的。

b) 全息图的冗余性和再现像的三维特性

在记录菲涅耳全息图时，物体上一个物点衍射或散射的光波，可以沿不同方向传播到记录面上的不同位置，即是说，物体上任一点的振幅和位相信息都记录在全息图上物光波所覆盖的面积上，全息图上所记录的物体信息是高度冗余的。所以，全息图的任一局部都有可能再现完整的物体像。不过，全息图的不同局部记录了不同视角方向的物体信息。因此，从全息图的不同局部只能观察到相应视角方向的物体像。此外，按照光栅的衍射理论，全息图再现像的分辨本领与光栅条纹数N有关，也即是说，与全息图的面积有关，因此，通过全息图的局再现时，必然伴随着分辨本领的下降。

全息记录过程信道的冗余性，带来了全息图再现像的三维视觉特性。首先，用双眼观察时，左眼和右眼接收到全息图上不同局部衍射的物体光波，形成左眼像和右眼像，由于这两个像之间存在着视差，因而能产生双眼立体视觉，即对物体像的深度感觉。其次，还可以改变观察方向，接收再现的不同视觉方向的物光波，因而能看到原物体不同方向的视图。总之，和许多建立在几何光学原理上的体视合成技术不同，全息图再现像是真三维的，观察全息图的再现像就如同通过全息图窗口去观察真实的三维物体一样。

c) 赝实像

从公式（4）可以看出，当全息图再现时，如果再现照明光波等于原参考波BR，

或者等于参考波的共轭光波BR，从衍射波的第四项都可以得到原始物的共轭光波

Ox,y，公式（12）和图4给出了用原参考波再现的结果。下面，我们应

用点基元全息图的分析方法来讨论由Ox,y综合的像的特性。

在图1中,当物体是位于Px0,y0,z0的物点时，物光波是式(8)表示的发散球面波，这样记录的点源全息图用参考波的共轭光波再现时，衍射的第四项u4再现了物光



波的共轭O（见公式（9）及图（1）（c））这是向Px0,y0,z0会聚的会聚

球面波，因此p为一实像点，且p和p到全息图的距离相等。由于全息术两步成像的线性性质，当记录三维散射物体时，每一个物点对应一个点基元全息图，可以再现一个共轭实像点，并且每一个实像点和对应的物点都位于全息图的两侧，且到全息图的距离相等。所有实像点的综合，就形成了物体的共轭实像。当迎着衍射再现光波的方向观察时，可看到共轭实像和原始物体像具有相反的深度感觉(见图4)，这种反体视的再现实像称为赝实像。

7

d) 多重记录特性

全息图的多重记录特性是指通过改变参考角或记录波长，可以在记录材料的公共体积中记录多个全息图。对于平面全息图，这一性质可以从图5得到解释，图中物光波的截止频率为fc，全息图的频带宽度为8fc，当fc不很大时，总可以通过逐次改变载波频率

sin，使得多次记录的全息图的频谱不发生混叠，再现像不发生串扰。对于体

积全息图，多重存储的动态范围更大，则必须利用体积全息图的衍射理论来解释。

e) 全息图的物像关系

利用全息术基本公式(5)，可得出一组表示全息图物像关系的公式：

11211zizb1z0zrxxxx ib20r （15）

zizb1z0zry0yryiyb2zizb1z0zr

上式中，“＋”号代表原始像,“－”号代表共轭像。当zi0时，再现像点在全息图的左边，为虚像点；当zi0时，再现像点在全息图右边，为实像点。当zr和zb为无穷大时，表示参考波和照明光波为平面波。根据全息术的线性性质，物体上每一个物点的像都可以由这组公式求得，所以公式(15)实际上是任意物体的物像关系式，适用于各种类型的全息图。

(4) 傅里叶变换全息图

顾名思义，傅里叶变换全息图所记录的物光波是物体的傅里叶变换(空间频谱)，这种全息图在合成复空间滤波器和光信息存储方面具有重要的作用。

图6 傅里叶变换全息图的记录光路

图6是记录傅里叶变换全息图的常见光路之一。设被记录的物体是二维透明片， 将此透明片放置在傅里叶变换透镜L1的前焦面,上，用单色平面波正入射照明，在透镜L1的后焦平面x,y上放置全息底片H，因此底片H上记录的物光波Ox,y应是物体透射系数T,的准确傅里叶变换。只要对全息图函数再作一次傅里叶变换，即可以再现原始物体的像。

8

图7 傅里叶变换全息图的再现光路

傅里叶变换全息图的再现，可以采用图7的光路，将全息图H放在傅里叶变换透镜L2的前焦平面，用波长为2的单位振幅单色平面波正入射照明，在L2后焦面的光分布则可再现原始物体像。

2.1.2 彩虹全息图的记录方法及白光再现原理

前面介绍的几种平面全息图必须用相干光记录，用相干光再现，因此在全息显示等应用中受到了一定的。下面介绍几种可用白光再现的全息图。 (1) 像全息图

图8是记录像全息图的两种可能的光路。其中图(a)是利用透镜L将物体0成像到全息底片H上；图(b)则是利用另一个菲涅耳全息图Hl(称为主全息图)再现实像，并将全息底片H放置在实像平面上，由成像光波Ox,y与离轴参考光R干涉进行记录。再现时，用白光光束沿参考光R的方向照明，在适当的透射方向即可以观察到准单色的物体像，稍微改变观察方向，像的颜色会随之变化。

图8 像全息图记录光路

像全息图的白光再现原理可利用物像关系式来说明。设参考光波和再现照明光波都是平面波，即zrzb,yryb0,(15)成为下面的形式。对于原始像，有：

xxrtanr,btanb，于是物像关系式zrzb zi1z021z0tanb2 (16)

xix0z0tanryiy0当再现照明光波是非单色波，设中心波长为2，波带宽度为，于是物点x0,y0,z0的

9

像在坐标轴方向的弥散量为：

1zzi202 xi12z0tanb (17)

2yi0这种弥散将引起像的模糊，称为色模糊。公式(17)表明，色模糊和及z0成正比，对于像全息图来说，由于z0接近于零，所以即使用很大的白光光源再现，也能得

到比较清晰的再现像。

(2) 彩虹全息图

彩虹全息图的记录可通过两步完成，第一步采用图3的光路，记录物体O的菲涅耳全息图H1，称为主全息图。第二步按图9的光路，用参考光R1的共轭光波B1照明，再现物体的膺实像O，并在实像平面附近放置全息底片H2，用参考波R2与H1的衍射成像光波干涉。记录彩虹全息图的关键技术是在主全息图H1之后放置一个狭缝S,H1的衍射成像光波在x方向的宽度，其结果是了全息图沿x方向的视差，而仅保留了沿y方向的视差。

由图9看出，全息图H2上不仅记录了H1的衍射成像光波O，而且记录了狭缝





S，因此，当用参考光R2的共轭光波B2照明时，全息图H2不仅可以再现一个原

始物体像O(即O的共轭)，而且可以再现一个狭缝S的实像S(如图10所示)，人眼通过狭缝像S即可观察到原始物体像。由于全部衍射成像光波都通过狭缝像S，所以接收到的像异常明亮，但是，人眼瞳孔离开S,即看不到再现物体像O。所以说S了人眼沿x方向改变观察方向的自由度，但保留了沿y方向改变视角方向的自由度。

图9 两步彩虹全息图的记录 图10 彩虹全息图的再现

当用白光光束沿B2方向照明时，由于H2的离轴参考角在x,z平面内，所以再现物体像O和狭缝像S都要在x,z平面内发生色散，各种波长的狭缝实像S按彩虹色序排列，形成一个彩色观察窗。人眼位于彩色观察窗上的不同位置，即可以观察到对应颜色的物体像。虽然彩色观察窗上的颜色是连续变化的，但由于人眼瞳孔的，进入人眼成像的光波波长范围并不大，这样，既保证了所观察到的物体像的单色性，又降低了再现像的色模糊。可以说，彩虹全息图是以牺牲x方向的视差为代价，换取了白光再现的好处。

在两步彩虹全息图的基础上，又发展了一步彩虹全息图，象散彩虹全息图，合成全息图等新技术，这些技术在全息显示和全息干涉测量等领域得到了广泛应用。

10



2.2 计算机全息图

2.2.1 计算机全息图的基本原理

计算机全息图是指通过计算机的计算和图形输出手段制作的全息图、全息光栅、全息复空间滤波器、全息光学元件等衍射光学元件的总称。 计算机全息图和光学全息图比较，除了制作方法不同之外，还存在下述的差别。首先，光学全息图只能记录真实存在的物体和实际发生的波面，而计算机全息图则可以记录并再现非物理实在的物体或波面。这种高度的灵活性非常适合于制作各种复空间滤波器，特殊的波面发生器或波面变换元件。第二，光学全息图通常具有连续的灰阶或位相分布，而计算机全息图的灰度或位相分布大多是二元的或多阶离散的。第三，光学全息图是利用干涉条纹的位置和反衬度实现对物光波位相和振幅的编码，而计算机全息图除了可以模拟光学全息图的编码方式，还可以采用多种不同的编码方式。一般说来，凡是能将复数形式的全息图函数映射为非负的实函数分布，并用适当物理介质记录下来的方法，就是一种成功的编码方法。

计算机全息图的制作可分为三个步骤，即数值计算，信息编码和图形输出。下面以计算机傅里叶变换全息图为例，说明其原理及制作方法。 （1） 物光波的计算

由于制作傅里叶变换全息图，物光波应是物函数的傅里叶变换。在进行数字计算时，首先必须应用抽样定理，对物函数及其频谱作等间隔抽样。

设物函数为fx,y，其空间宽度为XY；相应的频谱函数为F,，其频带宽度为。按照抽样定理，物函数的最大抽样间隔和总抽样数为：

x011X,y01 MNXY 1 JKXY Y频谱函数的最大抽样间隔和总抽样数为：

0,0应用Matlab软件编写计算程序，即可算出物体的离散频谱分布Fj,k。 （2） 物光波的编码

由于计算得到的物光波函数Fj,k通常是复函数，必须按照某种方法或规则将它转变为非负的实值函数，然后才能利用某种记录介质将其记录下来。这一过程称为编码。

（3） 图形输出

利用计算机控制的图形输出设备，将编码结果的全息图函数记录在物理介质上，形成计算机全息图。

2.2.2 几种典型的计算机全息图

(1) 迂迥位相法计算机全息图（即罗曼型编码方法）

,yjx,y设全息图函数为Hx,yaxexp，其中ax,y和x,y分别表

示归一化的振幅分布和归化到为：

,范围的位相分布，其抽样形式

j,mxny

,xnya,mexpn Hm或简写为：

11

MM1m22 Hm,nam,nexp (18) jm,nNN1n22其中x,y分别是x和y方向的抽样间隔，m,n为x和y方向的抽样序号，

MN为总抽样数。按照抽样定理，总抽样数应等于物光波的空间带宽积，但在

实际制作计算机全息图时，由于受计算机容量和输 出设备的，MN通常小于 空间带宽积。

从图11 的不规则光栅 衍射可以说明迂迥位相原理。 图中一维振幅光栅的光栅常数 为d，用波长为A的平面波以入 射角倾斜照明，按照光栅方 程，相邻栅缝的第m级衍射 光之间光程差为：

mdsinsinmm (19) 图11 迂回位相原理 当某处(如图中A点)的光栅间距出现误差d时，该处的第m级衍射光将产生一个附加光程差

mdsinsinm与此相应的附加位相差为：

ddm (20)

2md (21)

d由于位相误差m可以用光栅间距误差d这一非负的实数来表示，所以称m为迂

m2m迥位相，这种迂迥位相效应可以用来编码物光波的位相。具体作法是：将全息图划分为MN个面积为xy的面元，在每一个面元中开出一个矩形衍射孔径，用矩形孔的两个不同的自由度来分别编码物光波的振幅am,n和位相m,n。图12 画出了三种不同的迂迥位相编码方法，分别称为罗曼Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型编码方法。图(a)表示罗曼Ⅰ型编码方法，其中，序号为m,n的面元中，矩形孔径的高度Ly为常数，宽度Wmnx与归一化的振幅有关，

图12 迂迥位相编码方法

12

矩形孔的中心偏差pmnx与归一化的位相值有关，具体表示为：

Lc0L1 Wmnarcsinam,n (22)

pmnm,n2图(b)表示罗曼Ⅱ型编码方法，在序号为m,n的面元中，用两个形状相同、高度和

宽度均为常数的矩形孔径来编码，两矩形孔的间距Dmnx编码物光波的振幅，衍射孔径的中心偏差

pmnx编码物光波的位相，表示为：

Lc1Wc2 Dmnarcsinam,n (23)

pmnm,n2

图(c)的罗曼Ⅲ型是应用较多的编码方法，矩形孔的宽度W为常数，高度Lmny编码物光波的振幅，矩形孔中心偏差pmnx编码物光波的位相，表示为：

Lmnam,nW12pm,n2mn

(24)

图13是应用罗曼Ⅲ型编码方法制作的用于图像消模糊的维纳滤波器。

图13 计算全息维纳滤波器

(2) 改进的离轴计算机全息图

这是直接用计算机和图形输出设备模拟离轴全息图的记录，因此可看作是光学全息图的计算机仿真。

从全息图的基本公式可知，普通离轴全息图的衍射波中第1和第2项为背景噪声，只有第3和第4项对再现物体像有意义。如果用计算机直接编码式(11)的全息图函数，不仅增大了计算全息图的空间带宽积，还不可避免背景噪声的干扰。由图5看出，如果物光波的截止频率为

fc,fc，则全息图的空间频带宽度为

8f

c4fc，设全息图空间尺寸为xy，则空间带宽积为32xyfcfc。这也

是再现物光波所必需的最小抽样数。改进的离轴计算机全息图去掉了全息图函

13

数中的直流项Ox,y。，构造了一个新的全息图函数：

21sinx (25) 1O0x,ycos0x,y22由于Hx,y本身是非负的实函数，只要将Hx,y输入计算机，通过等间隔抽样和

Hx,y编码输出，就可制作出计算机全息图。

对离散全息图函数Hm,n的编码有两种基本方法：第一种方法是灰阶型编码（即Burch型编码方法），传统的方法是利用显微密度计或激光束扫描仪等记录设备，通过线性曝光，直接将第m,n个抽样单元的函数值Hm,n以灰度的形式记录在感光材料上。现在则可以在计算机中将全息图函数Hm,n量化为256个灰度等级，直接用高分辨率激光打印机输出，然后缩版到感光材料上，形成振幅全息图，或者进一步漂白成为位相全息图。这种编码方法和光学全息的惟一区别是：光学全息是以连续灰阶的方式记录，而计算全息只能以离散化的灰阶(例如256个灰阶)进行记录。第二种是面积型编码，即利用光绘仪，图形发生器等设备，在每一个抽样单元处开一个衍射孔径，使孔径的面积正比于Hm,n，形成一种二元振幅全息图。但是面积型编码全息图不能通过漂白成为位相全息图。

改进的离轴计算机全息图的再现像只有±1级，减小了背景噪音。更有意义的是，大大地压缩了全息图的空间带宽积。如图5所示，当去掉了频谱中的自相关项U2之后，全息图的空间频带宽度压缩为4fc.2fc于是全息图的空间带宽积为8xyfcfc，数据量仅为原来的1／4。

（3）辐射聚焦型计算机全息图

辐射聚焦型计算机全息图又称为计算机相息图，是二元光学元件的一种。它的基本成像原理是利用光的衍射和逆衍射。众所周知，光照射物体，在物体的透射空间或反射空间将产生衍射光场分布。计算二维平面上的衍射复振幅分布，并应用某种方式进行编码，形成一个新的衍射屏，利用该衍射屏对读出激光束的反衍射，即可再现原始物体的像。精确设计的辐射聚焦型计算机全息图可以实现纯位相编码，零级同轴再现，具有极高的衍射效率。

二元光学元件的设计，本质上是求解逆衍射问题，即已知入射光波和衍射光波，求解衍射物体复振幅透射系数的问题。对于较简单的点对点的成像问题，可以直接应用标量衍射理论求出二元光学元件位相函数x,y的解析解。如图14 所示，二元光学元件将A点发出

图14 二元光学元件的位相函数

的发散球面波变换为会聚到B点的会聚球面波，二元光学元件的波面变换作用可用位

14

相函数x,y来表示。设入射球面波在二元光学元件平面上的位相分布为inx,y；衍射波的位相分布为outx,y，于是，二元光学元件的位相分布为：

x,youtx,yinx,y （26） 对于平面型二元光学元件，其位相的变化范围被在0,2之间，所以将二元光学元件的位相函数定义为：

x,yx,ybx,yMod2 （27） 其中bx,y是偏置位相。应用球面波的波函数，计算出入射波的位相inx,y和衍射波的位相outx,y，即可求出二元光学元件的位相函数x,y。

对于复杂二元光学元件的设计，必须采用优化设计方法，比如误差下降法(又称为G—S算法)，梯度搜寻法，输入一输出法，模拟退火法，遗传算法等。其基本过程是，已知输入函数分布，首先给出一组二元光学元件的初始位相值，应用衍射理论计算出相应的输出光场分布以及按输出要求设计的评价函数值。若评价函数未达到设计要求，则可按一定的规则调整各抽样单元的位相分布，通过反复迭代，逐次逼近，最后得出一组满足输出函数要求的最优解。 图 是利用G—S算法计算傅里叶变换型相息图的步骤： Gerchberg-Saxton AlgorithmHologram PlaneInverse FTAmplitudePhaseImage PlaneTargetAmplitudeRandom phasePhaseUnity amplitudeAmplitudePhaseFTAmplitudePhaseInverse FTAmplitudePhaseTargetAmplitudePhase 图15 G—S算法的计算步骤 1）首先对毛玻璃化的目标图像作逆傅里叶变换，将频谱的振幅设置为1，仅保留位相；（2）对得到的频谱函数作傅里叶变换，将振幅置换为目标图像，而保留位相；（3）对新的目标图像作逆傅里叶变换，将频谱的振幅设置为1，仅保留位相；（4）对位相分布函数再次傅里叶变换，如果输出图像逼近原始目标图像，则终止迭代；否则迭代继续进行。

早期的二元光学元件制造工艺，主要是应用图形发生器，光刻，离子束蚀刻等超大规模集成电路加工技术和掩模套刻技术，可以制作具有多位相等级的二元光学元件。20世纪90年代以后，发展了激光束和电子束直写技术，利用激光束直写装置或电子束直写装置，可以在基底材料上刻蚀出具有多阶位相分布乃至连续位相分布的表面浮雕结构。近年来发展的位相型液晶空间光调制器，是制造计算机相息图的最佳选择。直接将设计计算得到的相息图的离散位相分布以灰阶的形式加载于位相型液晶空间光调制

15

器上，通过液晶的光折变效应，即可实时生成位相型衍射光学元件。

3. 实验方法及步骤

3.1 彩虹全息图的记录工艺和白光再现方法 3.1.1 主要实验装置及参数

光学全息摄影的实验装置包括：激光器，自动曝光定时器和电子快门，防震台，分束器，扩束器，空间滤波器，反射镜，准直透镜，成像透镜，傅里叶变换透镜，底片夹持器，光栏等。 （1） 激光器：光学全息实验常使用氦－氖激光器作为相干光源。这是一种连续波激光器，输出波长为632.8nm,垂直偏振,普通氦－氖激光器的相干光程可达300mm至数米,是一种优良的相干光源。

（2） 防震台：由于全息图上干涉条纹的空间频率高达1000cy/mm以上，要求曝光期间干涉条纹的移动量不大于条纹周期的110。因此，所有的记录装置和元件都必须固定在防震台上，以隔离或消除振动的影响。

（3） 分束器：分束器的作用是利用分振幅装置产生两束相干光，其主要性能是分束比： I2I1

常用的分束器有析光膜分束器和偏振分束器（如图16）两种。 PBS

E1

片

片22E2

图16 偏振分束器（PBS）

（4） 扩束－空间滤波系统：该系统的作用是产生均匀的发散球面波或平面波，其结构原理如图17 所示：

F 312

图17 扩束－滤波系统

激光细光束经过扩束镜1会聚在后焦点F处，在此放置针孔2，滤掉高频噪音，透射光成为均匀发散球面波。如果在针孔后面放置准直透镜3，并且使准直透镜3的前焦点与针孔重合，则可将球面波变换为均匀的平面波。

3.1.2 记录光路和光路调节方法

16

PBS

2片M5M12片

SF1 Laser

ObjSlitH1H2 M2 SF2L1L2

M3SF3

M4

图18 两步法彩虹全息图记录光路

图18 是两步法彩虹全息图记录光路。光路调节需遵循以下要点： （1）选择合适的光学元件，尽量提高光能利用率。

（2） 调节激光束的光轴平面使与防震台平面平行，并保证各个光学元件表面与激光束的主光线垂直。

（3） 光程调节：保证参考光与物光严格等光程。

（4） 扩束－滤波系统调节：选择合适的扩束镜放大倍率和针孔尺寸，仔细调节针孔位置，产生均匀的平面波或发散球面波。

（5） 被摄物体的选择及照明。尽量选择表面散射性能好，且变形小的物体，设计广角的均匀照明，使物光波尽可能均匀散射到整个全息底片上。

（6） 选择合适的光束比，使全息图上记录的干涉条纹有最高的反衬度。 （7） 根据所用全息干板的感光灵敏度，选择合适的曝光量，实现线性记录。

3.1.3 底片处理技术 （1） 显影：采用D19显影液，常规显影工艺为：显影3－5分钟，20C温水冲洗30秒。

（2）停显：一般用水冲洗即可停显，若采用酸性停显液，效果会更好。 （3）定影：采用F-5定影液，温度1620C，定影5分钟。

（4）水洗：在流水中冲洗5－10分钟。

（5）漂白：若需将振幅全息图转变为位相全息图，则需进行漂白处理。常用铁漂白液，漂白时间3－5分钟，到全息图透明为止。 （6）水洗：在流水中冲洗5－10分钟。

（7）干燥：通常采用自然干燥，但如果采用无水乙醇脱水干燥，效果会更好。

3.1.4 白光再现装置及再现像的观察

采用如图19 所示的观察装置，用白光点光源发出的准直的白光光束，沿参考光的共轭方向照射全息图，人眼位于狭缝实像位置，即可观察到明亮的再现像。人眼沿Y方向移动，像的颜色将按彩虹色序变化；人眼沿X方向移动，由于视差变化，可产生体视感。

00 17

???

Ima

图19 彩虹全息图的白光再现装置

3.2 改进的离轴计算机全息图的设计，制造和再现方法

H2SYZE3.2.1 制作改进的离轴计算机全息图的基本步骤：CGH 的制作可分为物光波计算，物光波编码和图形输出等三个步骤，下面以Burch型傅里叶变换全息图为例, 介绍应用不同编码方法时的设计原理和方法。 3.2.2 物光波的建模和计算

傅里叶变换全息图所记录的物光波为原始物体的傅里叶频谱, 所以制作CGH 的第一步就必须计算原始物体分布的傅里叶变换, 由于是作数值计算, 所以首先应对计算过程作离散化处理。 (1) 数据输入

实验中, 利用画图软件产生一幅M×N的原始图像作为输入物体, 采用Mat lab中的imread ( ) 函数读入M×N抽样的物体数据, 这样原始物体就以离散数据形式保存在一个M×N的二值矩阵X中。

(2) 计算离散傅里叶变换

计算离散傅里叶变换是基于快速傅里叶变换算法(FFT) 完成的,直接调用Matlab软件中的fft2( )函数, 即可快速完成二维FFT的计算。

若直接计算输入物体fx,y的傅里叶频谱Fm,n, 其振幅A(m,n)往往具有很大的动态范围, 这样会降低对物光波编码的精度。为解决这一问题, 可以在作离散傅里叶变换前, 对物函数乘以一个随机位相因子, 以平滑傅里叶谱。具体做法: 调用随机函数rand(J,K)，生成一个在（0, 1） 之间均匀分布，且和物函数矩阵X元素相等的随机矩阵R, 将输入物函数毛玻璃化, 即YXexp(j2R)。

18

另外在作FFT时, 由于在x 和y 方向分别引入了J2和K2的平移, 按照傅里叶变换的平移定理,必然在Fm,n中引入一个附加位expj(JKMN), 从而改变

Fm,n的分布。具体来说, 附加位相因子将使Fm,n的低频成分移到谱平面的边缘。为

解决上述问题,只需要在编码前用一个移谱函数fftshift( )将频谱的低频部分移到中心即可。 3.2.3 物光波的编码

在制作CGH过程中，最重要的步骤就是编码。无论针对何种输入物体，其傅立叶变换通常是复函数，所以对物光波的编码，总包含着对振幅和位相的编码。编码就是将复函数形式的全息图函数转变为非负的实函数，并通过某种物理介质记录下来。设物光波OmnCmnjDmn，Cmn,Dmn分别为实部和虚部，则全息图上各点的幅值和相位为：

AC2mnD2mnmnDmn mnarctanCmn (28)

下面介绍Burch型全息图的编码方法

这种方法完全是对离轴光学全息图的计算机仿真，即用物光波与参考光波的干涉图来编码物光波的振幅和位相，只需要在CGH各抽样单元上用灰度变化来编码这个非负的实函数，即可完成编码。设物光波表示为O,，离轴的平面参考光波为R,,则有：

expj,O(,)A, (29) R,Rexpj2在线性记录的条件下，光学离轴全息的透过率函数为：

h,F,R,2222,RA(,)2RA,cos (30)

在透过率函数所包含的三项中，第三项通过对余弦型条纹的振幅和相位调制，记录了物波的全部信息。第一，二项是这种光学全息方法不可避免伴生的直流项，这个均匀的偏置分量除了具有使h,成为实的非负函数的作用外，在制作全息图时，它们占用了信息通道，增加了计算和编码的数据量，因此可以人为地将它们删除而重新构造全息函数，即

h,0.51A(,)cos2, (31)

这样改进的结果，将使全息图空间带宽积减少34。

19

3.2.4 图形输出和再现

下面以Burch型计算机全息图为例，介绍图形输出和再现的方法。

(1) 计算机全息图的图形输出

由公式（4）计算得到的全息图函数是（0，1）分布的实函数，MATLAB自动将其量化为256个灰度等级，并存储在内存中间。应用MATLAB的 Figure(1),imshow(CGH Burch)

语句，即可在显示器上显示灰阶型的计算机全息图（如图2(b)所示）。 (2) 傅立叶计算全息图的数字再现

计算机数字再现是直接对数字全息图函数做傅里叶逆变换。若输入图像为汉字“光”，在MATLAB中利用函数fftshift(fft2())即可方便的实现傅立叶逆变换。图2(c)和3(c)分别为李奇型和罗曼Ⅲ型计算机全息图的计算机数字再现像。 (3) 傅立叶计算全息图的光学模拟再现

应用高分辨率激光打印机，直接打印计算机显示的灰阶型全息图，并用照相机将全息图精缩到照相底片上，即可进行光学模拟再现。

首先用准直的激光束照射全息图，衍射光通过一个傅立叶变换透镜，实现对全息图衍射光波的傅里叶逆变换，在透镜后焦面上即可得到再现像。

(a) 原始图像 (b) 李奇型全息图 (c) 李奇型再现像

图20 李奇型全息图及再现像

(a) 原始图像 (b) 罗曼Ⅲ型全息图 (c) 罗曼Ⅲ型再现像

图21 罗曼Ⅲ型全息图及再现像

4. 撰写实验报告要点

4.1 对全息学原理的理解,认识和思考

4.2 光学全息图和计算机全息图的制作方法及技术 4.3 实验结果的分析

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4.4 主要收获和存在的问题 4.5 思考题

(1) 全息摄影和普通摄影有何异同? 全息图有那些类型?

(2) 对物光波进行编码和记录的基本原理是什么?光学全息图是如何实现对物光波的编

码和记录的?

(3) 离轴全息图为何能够使再现的零级像和孪生像分离?实现零级像和孪生像分离的基

本条件是什么?

(4) 制作一张高质量的光学全息图必须满足的基本条件是什么?如何在技术上保证这些

条件得到满足?

(5) 记录两步法彩虹全息图的方法步骤是什么? 普通全息图为何必须用激光再现?彩虹

全息图的白光再现原理是什么?

(6) 比较光学全息图和计算机全息图,各自存在哪些优点和缺点?

(7) 计算机全息图对物光波进行编码的基本原理是什么? 对物光波编码的方法是唯一

的吗? 试提出一种新的编码方法。

(8) 计算机全息图的分辨率和衍射效率与哪些因素有关?如何提高计算机全息图的分辨

率和衍射效率?

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