数学分析第一章 1.1汇总

第一章 教学安排的说明

章节题目：实数集与函数 学时分配：共5学时

§ 1 实数（1学时）

§ 2 数集.确界原理 （2学时） § 3 函数概念 ( 1学时 )

§ 4 具有某些特性的函数 (1学时 )

教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟

练掌握极限的运算。

教学要求：

1、掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。 3、掌握基本初等函数的性质及其图形。

4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。 5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。 其他：

注: 第一章大部分内容中学学过。

1

课 堂 教 学 方 案

课题名称、授课时数：

§ 1 实数 1学时 § 2 数集  确界原理 2学时

授课类型：理论课

教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学） 教学目的与要求：

1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式

2. 掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解

实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。

教学重点： 1.实数集的概念性质及应用,；

2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。

教学难点：数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。 教学内容

首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数

2

的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分.

数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础.

第一章 实数集与函数

§ 1 实 数

复习引新：

一、实数集及性质1.实数集

：回顾中学中关于实数集的定义.

2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes性； 稠密性: 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的 几何表示 ─── 数轴: 3.两实数相等的充要条件:0,|ab|ab

二. 重要不等式

1. 绝对值不等式: 定义

[1]P3 的六个不等式.

3

2. 其他不等式: （1）

（2） 均值不等式 （3） Bernoulli 不等式:（4) 由二项展开式

对

(1h)nn(n1)...(nk1)kkkhCnh,k!

有不等式

有

(k1,2...n) .在应用时根据需要确定

右边的某一项(k的值)。 教学内容：

数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先简要叙述实数的有关概念.

一 实数及其性质：

回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数：

无理数：无限十进不循环小数.

4

为了以下讨论的需要，把无限小数（包括整数）也表示为无限小数.对此作如下规定：对于正有限小数（包括正整数）x，当xa0.a1a2an时，其中

0ai9,i1,2,n,a,n0,a0为非负整数，记

xa0.a1a2而当xa0为正整数时，则记

(an1)9999

x(a01).999 9例如：2.001记为 2.000999 ；对于负无限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 7.999999；又规定数0 记为0.000000.于是任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.先定义两个实数的大小关系.

实数大小的比较

定义1 给定两个非负实数

其中 a0,b0为非负整数，ak,bk(k1,2,)为整数，0ak9,0bk9. 若有

则称 与 相等，记为xy；若a0b0，或存在非负整数 ，使得

5

（或

）.

则称 大于 （或 小于 ），分别记为

对于负实数x,y，若按上述规定分别有xy与xy，则分别称xy与

xy（或yx）.另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数.

实数的有理数近似表示 定义2 设xa0.a1a2an为非负实数，称有理数xa0.a1a2_an

为实数的位不足近似值，而有理数xnxn对于负实数xa0.a1a2a3...an....

1称为的位过剩近似值。 10的位不足近似值规定为：xa0.a1a2a3...an_1； 10n的位过剩近似值规定为：xna0.a1a2a3...an 例如 x1.3145 ，则它的

3位不足近似是x31.314，3位过剩近似是x3x3111.3141.315. 331010111.31451.3146. 1041044位不足近似是x41.3145，4位过剩近似是x4x4注 不难看出，实数x的不足近似xn当n增大时不减，即有x0x1x2而过剩近似xn当n增大时不增，即有x0x1x2_，

.

6

比如 ，则

的不足近似值； 的过剩近似值。

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为

1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为

我们有以下的

命题 设xa0.a1a2a3...an....， yb0.b1b2b3..bn.... 为两个实数，则

例1

设x,y为实数，xy.证明：存在有理数

xry

满足

证 由xy，故存在非负整数，使得xnyn ，令

1_ r(xnyn)

2_则 显然为有理数，且有

xxnryny

_即得 xry

实数有如下一些主要性质

1、四则运算封闭性:任两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数。

ab，ab，ab。 2、有序性:任意两个实数a,b必满足下面三个关系之一：

3、实数大小传递性：

7

4、 阿基米德性（Archimedes）： a,bR，若ba0，则nN，使得nab.

5、 稠密性: 有理数和无理数的稠密性.

6、实数集的几何表示 ─── 数轴（实数的连续性或完备性） 例2 设 a,bR.证明:若对0,abab

证 （反证）倘若结论不成立，则根据实数的有序性，有ab.令ab， 则为正数且ab，但这与假设ab相矛盾.从而必有ab.

练习：P4习题

3:设 a,bR.证明：0,|ab|ab

证 倘若结论不成立，假设ab,那么ab0,设ab，则0,取

2，有ab2,这与已知的0,|ab|矛盾. 从而必有ab..

二 绝对值与不等式 实数a的绝对值定义为：

从数轴上看，数a的绝对值a就是a到原点的距离. 实数的绝对值有如下一些主要性质

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性质4（三角不等式）的证明：

三. 几个重要不等式（补充）: 、

2、 对

记

(算术平均值) (几何平均值)

9

1

(调和平均值)

有均值不等式: 等号当且仅当

时成立.

3、 Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对x0由二项展开式

有: (1h)n。

课堂练习讨论：Ｐ４ １．（１）(2)２．（1） 5(1)(2) 作业：P4 3题,5题

n(n1)...(nk1)kkkhCnh,k!(k1,2...n)

§ 2 数集 确界原理

本节中先讨论R中两类重要的数集---区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。

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一、区间与邻域

无穷区间：(,a]{x|xa} 0 a (,a){x|xa}

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0

邻域：

a

设aR,0，满足绝对值不等式|xa|的全体实数x集合称为点a的邻域，记作U(a,)或U(a)，即

U(a,){x||xa|}(a,a)

点a的空心邻域为U0(a,){x|0|xa|}，简记U0(a)

点a的右邻域为U(a,)[a,a)，简记U(a)

a a 点a的空心右邻域为U0a,)(a,a)，简记U0((a) 点a的左邻域为U(a,)(a,a]，简记U(a)

点a的空心左邻域为U00(a,)(a,a)，简记U(a)  邻域：U(){x||x|M}，其中M为充分大的数。 -M M

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邻域：U(){x|xM}，邻域：U(){x|xM} 二 有界集确界原理

定义1 设S为R中的一个数集，若存在数M（L），使得对一切xS，都有xM(xL)，则称S为有上界（下界）数集，数M（L）称为S一个上界（下界）。

补充定义 对任意例如：

，存在x0S，使得|x0|M，则称S为无界集。

等都是无界数集,

若数集S即有上界又有下界，则称S为有界集。若数集S不是有界集，则称

S为无界集.

例1 证明数集Nnn为正整数有下界而无上界.

证 显然，任何一个不大于1的实数都是N的下界，故N为有下界的数集. 为证N无上界，按照定义只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0(N)，使得n0M.事实上，对任何正数M（无论多么大），取

n0M1,则n0N,且n0M.这就证明了N无上界.

读者还可自行证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集.

若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界.同样，有下界数集的最大下界，称为该

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数集的下确界. （直观定义）

下面给出数集的上确界和下确界的精确定义 定义2 设S是R中的一个数集，若数满足： （i） 对一切

，有x，即是数集S 的上界；

（ii）对任何，存在x0S，使得x0（即又是S的最小上界或任

何一个比小的数都不是S的上界）

则称数为数集S的上确界.记作

定义3 设S是R中的一个数集，若数满足： （i） 对一切

有x，即是数集S 的下界；

（ii） 对任何存在x0S,使得x0（即是S的最大下界或任何一

个比大的数都不是S的下界 ）

则称数为数集S的下确界.记作

上确界与下确界统称为确界。 补例 ⑴ ⑵

则

则

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例2 设S{x|x为区间（0,1）中的有理数｝。试按上、下确界定义验证：

supS1,infS0。

解 先验证supS1 （i） 对一切

有x1，即1是数集S 的上界；

（ii）对任何1，①若0，则任取x0S，都有x0；②若0， 则由有理数集在实数集中的稠密性，在,1内必有有理数x0,即存在x0S，使得x0.

类似可验证infS1

易证：闭区间0,1的上、下确界分别为1和0；对于数集

(1n)1En1,2,，有supE,infE1;正整数集N有下确界infN1，

n2而没有上确界.

注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S存在上（下）确界，则一定是 唯一的.又若数集S存在上（下）确界，则有infSsupS.

注2 由上面一些例子可见，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S

例3 设数集S有上确界，证明：

supSSmaxS

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证 )设supSS

则对一切xS，有x，而S，故是数集S的最大的数，即maxS.

)设maxS，则S；下面验证supS.

（i）对一切xS，有x，即是数集S的上界； (ii) 对任何，只需取x0S，则x0. 从而满足supS

确界与最值的关系:（补充） 设S是一个数集

（1）若S有最大值M（最小值m），则数集S存在上（下）确界，且

supSM(infSm) S的最值必属于S, 但确界未必,确界是一种临界点.

（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. （3）若S存在上（下）确界属于S，则S存在最大值M（最小值m），且

supSM(infSm)

定理1.1 设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下确界，则S必有下确界.

在本书中确界原理是极限理论的基础，读者应给予充分的重视.

例4 设A和B是非空数集，满足对xA和yB,都有xy, 证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且

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supAinfB. （2）

证 yB, y是A的上界；xA,x是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界.

现证不等式（2）.yB, y是A的上界，而由上确界的定义知，supA是数集A的最小上界，故有 supAy. 而此式又表明supA是数集B的一个下界，故由下确界的定义知， supAinfB.

例5 A和B为非空有界数集, SAB. 试证明: （i）supSmax supA , supB ;

（ii）infSmin infA , infB .

证 由于SAB.显然也是非空有界数集，因此S的上、下确界都存在. （i） 对xS,有xA或xB,xsupA或xsupB.从而有

 xmax supA , supB . 即 max supA , supB 是S的一个上界, 故得supSmax supA , supB ;

另一方面，对任何xA，有xS,xsupSsupAsupS;同理又有

supBsupS,所以supSmax supA , supB ;

综上，即证得supSmax supA , supB ;

（ii）xS,有xA或xB, 由infA和infB分别是A和B的下界,有

xinfA或xinfB.  xmin infA , infB .即min infA , infB 是S的下界,

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 infSmin infA , infB.

又SA,  S的下界就是A的下界,infS是S的下界,  infS是A的下

界,  infSinfA; 同理有infSinfB. 于是有infSmin infA , infB . 综上所述有 infSmin infA , infB .

若把,补充道实数集中，并规定任意实数a与,的大小关系为：

a,a,,则确界概念可扩充为：

若数集S无上界，则定义为S的非正常上确界，记作supS；若数集

S无下界，则定义为S的非正常下确界，记作infS.相应地，前面定义

2和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确界.

在上述扩充定义意义下，我们有

推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例如 对于正整数集N，有inNfSyy2x2,xR，有infS,supS2.

1,Nsup 对于数集



补充

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1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、 邻域等都是有界数集，集合 无界数集: 定义, 为有限数）、也是有界数集. 等都是无界数集,

集合

也是无界数集.

例3 设S和A是非空数集，且有SA. 则有

supSsupA, infSinfA.

练习：证明非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 小结：本节主要内容：

1.实数及其性质；

2.不足近似值与过剩近似值； 3.绝对值与不等式； 4.区间与邻域； 5.有界集及确界原理

课堂练习讨论：P9 1、3题 作业：P9 2，4，5，7题

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