东海高级中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学文试题

高二12月学分认定数学科试题

时间120分钟 满分160分 命题人 张碧宇 审核人 王广伟

注意事项：

所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。

一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.抛物线y4x2的焦点坐标为__________▲________.

2.在1与2之间插入10个数使这12个数成等差数列，则中间10个数之和为__▲________.

3.若等比数列{an}的前n项和Sn3n-1a，则a=_____▲_______.

y21的渐近线与右准线围成的三角形面积为____▲__________. 4.双曲线x325.为真命题，则a的取值范围是____▲______. “x（-1,1）使ax210”6.若直线l:yx1是y=f(x)在x=2处的切线，则f(2)f'(2)=______▲_______.

7.在ΔABC中，角A，B，C对应边分别a,b,c，且a=5 ,b=6 ,c=4 ,角A的平分线交BC于D，则线段AD长度为______▲_____.

8. 若双曲线ax2by21(ab0)的渐近线方程为y2x，则该双曲线的离心率为 ▲ .

9.设f(5)5,f'(5)3;g(5)4,g'(5)1则h(x)程为___▲___.

10.若点A、B分别为椭圆的左顶点和上顶点，B1、F分别为椭圆下顶点和右焦点，若直线B1F的斜率为3，直线AB与B1F交于点P(4,33),则椭圆的标准方程为______▲______.

11.若ΔABC的三顶点是A(a,a+1), B(a-1,2a),C (1,3)且ΔABC的内部及边界所有点均在3xy2表示的区域内，则a的取值范围为_______▲_____.

x40}若“xA”是5-x“xB”的充分条件，则a取值的范围是____▲__________.

f(x)g(x)2在x5处的切线方

g(x)12.已知非空集合A{x|3ax43a},B{x|13.已知关于x的一元二次不等式(a2)x22b1x10的解集为R，若a4，则

1

a22ab的取值范围是 ▲ . 22abx2y14.已知椭圆C：221(ab0)的左、右焦点分别F1、F2，过点F1的直线

ab3交椭圆C于A,B两点，若AF13F1B，且cosAF2B，则椭圆C的离心率是

5▲ .

二、解答题（本大题共5小题，计90分）

215．（本题满分14分）

在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且A,B,C成等差数列。

16. （本题满分14分） 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=10,S4=24. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令Tn=

17. （本题满分14分）解关于x的不等式

2

（1）若b23，c2，求ABC的面积；

（2）若sinA,sinB,sinC成等比数列，试判断ABC的形状。

111++...+，求Tn. S1S2Snxa(aR) 2x1

18. （本题满分16分）

今年的元旦有一个自驾游车队，该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），若车队匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s ，根据安全和车流的需要，当0x12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12x25时，

11（x2x)m的距离.自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车相邻两车之间保持63尾离开隧道所用的时间为y(s)． （1）将y表示为x的函数；

（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．

19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1,F2分别是椭圆

x2y2E:221(ab0)的左、右焦点，A,B分别是椭圆E的左、右顶点，且abAF25BF20.

（1）求椭圆E的离心率；

3

（2）已知点D1,0为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、

Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常

数，使得k1k20恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20. （本题满分16分）已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Snq(an1)q1（nN*，q是大于0的常数，且q1），数列{bn}是公比不为．．q的等比数列，

cnanbn.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设q2,bn3n，是否存在实数，使数列{cn1cn}是等比数列？若存在，求出所有可能的实数的值，若不存在说明理由；

（Ⅲ）数列{cn}是否能为等比数列？若能，请给出一个符合的条件的q和bn的组合，若不能，请说明理由.

参考答案

13,11. 5.a1 6.4 0， 2.15 3.- 4.

16347.32 8.11.1,3或

62 9.

23x8y710 10.

x2y21 43151524511 12.-1，, 13., 14. 2222317 4

2 215．解：因为A，B，C成等差数列，所以2BAC。 又A＋B＋C＝，所以

B.

3bc （1）解法一：因为b23，c2，所以 由正弦定理得，即sinBsinCbsinCcsinB，即23sinC213，得sinC.

22因为bc，所以BC，即C为锐角，所以C所以S△ABC

1bc23.……………………7分 26，从而A2.

解法二：由余弦定理得b2a2c22accosB， 即a22a80，得

a4.

所以S△ABC113acsinB4223.……………………7分 222

（2）因为sinA，sinB，sinC成等比数列，所以sin2BsinAsinC. 由正弦定理得b2ac； 由余弦定理得b2a2c22accosBa2c2ac.

222所以acacac，即ac0，即ac。又因为B3，所以△ABC为等边三

角形.……14分

17.解：原不等式可化为

(12a)xa0

2x15

1等价于[(12a)xa](2x1)0且x………………………2分

211当a时 x ……………………4分

221a1当a时 x1 x2

212a2a11x1-x20则有x1x2

12a212aa1x或x …………………..8分

12a21当a时x1-x20则有x1x2

2a1x ……………………..12分 12a211a)[,); 综上原不等式的解集为：当a时 x(,2212a11); 当a时 x(,221a1,). ……………….14当a时 x[212a2分 18.解：（1）当0x12时，

272553120(311)3480 y

xx112725531(x2x)(311)63当12x25时，y x5x210x288028805x10

xx3480(0x12)x所以，y „„„„„7分

28805x10(12x25)x3480290(s) （2）当0x12时，在x12（m/s）时， ymin12当12x25时，y5x当且仅当5x288028801025x10250(s) xx2880，即：x24(m/s)时取等号. x因为x24(12,25]，所以 当x24(m/s)时，ymin250(s) 因为290250,所以当x24(m/s)时，ymin250(s)

答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s，此时该车队的速度为

6

24m/s．„„„„16分 19．解：（1）

AF25BF20，AF25F2B.ac5ac，化简得2a3c，

23故椭圆E的离心率为. ------------4分

（2）存在满足条件的常数，l.点D1,0为线段OF2的中点，c2，从

x2y2而a3，b5，左焦点F12,0，椭圆E的方程为1. ------------6分

95x1设Mx1,y1，Nx2,y2，Px3,y3，Qx4,y4，则直线MD的方程为x1y1，

y15xx1x2y2代入椭圆方程1，整理得，21y21y40. ------------8分

y1y19547y1y3y1x11x15，y34y1. x15从而x35x94y5x19，故点P1,1. ------------10分 x15x15x155x294y2,. ------------12分 x5x522同理，点Q三点M、F1、N共线，y1y2，从而x1y2x2y12y1y2. x12x22从而

4y14y2xyx2y15y1y27y1y27k1yy4x5x25k23112x3x45x195x294x1x24x1x24x15x25.

------------14分 故k14k240，从而存在满足条件的常数，l. ------------16分 7720．（本题满分16分）

解：（Ⅰ）当n2时,

anSnSn1qq(an1)(an11),整理得anqan1 ------------2分 q1q1q(a11)，得a1q---------------------------------------------3分 q1结合q>0知，数列{an}是首项为q公比为q的等比数列， ∴

又由S1a1anqqn1qn-------------5分

(Ⅱ) 结合（Ⅰ）知，当q=2时，an2n,所以cn2n3n ---------------6分

假设存在实数，使数列{cn1cn}是等比数列，则对任意n≥2有 (cn＋1＋λcn)2＝(cn＋2＋λcn＋1)(cn＋λcn－1)，将cn＝2n＋3n代入上式，得：

[2n＋1＋3n＋1＋λ(2n＋3n)]2＝[2n＋2＋3n＋2＋λ(2n＋1＋3n＋1)]·[2n＋3n＋λ(2n－1

＋3n－1)]，

即 [(2＋λ)2n＋(3＋λ)3n]2＝[(2＋λ)2n＋1＋(3＋λ)3n＋1][(2＋λ)2n－1＋(3＋λ)3n－1］，

7

整理得(2＋λ)(3＋λ)·2n·3n＝0，解得λ=－2或λ=－3. ------------------------10分

故存在实数实数＝－2或－3，使使数列{cn1cn}是等比数列. -----------11分

（Ⅲ）数列{cn}不可能为等比数列. ----------12分

理由如下：

设等比数列｛bn｝的公比为p，则由题设知p≠q，则cn=qn＋b1pn-1 为要证｛cn｝不是等比数列只需证c22≠c1·c3. 事实上，

c22＝（q2＋b1p）2＝q4＋2q2b1p＋b12p2， ...........① c1·c3＝(q＋b1)(q3＋b1p2)＝q4＋b12p2＋b1q(p2＋q2），….②

②－①得

c1c3－c22＝b1q(p2＋q2－2pq)

由于p≠q时，p2＋q2＞2pq，又q及等比数列的首项b1均不为零，

所以 c1c3－c22≠0，即 c22≠c1·c3. 故｛cn｝不是等比数列. ------------------------16

分

16

8