初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-

二次函数专题训练（含答案）

一、 填空题

1yx22向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个 1.把抛物线

单位，得抛物线.

2y2xx图象的对称轴是，最大值是. 2.函数

3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y，那么y与x之间的函数关系是.

22y2x8x6ya(xh)k的形为. 4.二次函数，通过配方化为

2yaxc（c不为零）5.二次函数，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则

x1与x2的关系是.

2yaxbxc当b=0时，对称轴是，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，6.抛物线

当a，b异号时，对称轴在y轴侧.

2y2(x1)3开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y随x的增大而减小，那7.抛物线

么x的取值范围是.

a8.若a0，则函数y2xax5图象的顶点在第象限；当x4时，函数值随x的增

21 / 47

大而.

2yaxbxc（a≠0）当a0时，图象的开口a0时，图象的开口，顶9.二次函数

点坐标是.

1y(xh)2210.抛物线，开口，顶点坐标是，对称轴是.

11.二次函数

y3(x)(2)的图象的顶点坐标是（1，-2）.

1y(x1)22312.已知，当x时，函数值随x的增大而减小.

213.已知直线y2x1与抛物线y5xk交点的横坐标为2，则k=，交点坐标为.

14.用配方法将二次函数

yx22x23化成ya(xh)k的形式是.

2yx6xm的最小值是1，那么m的值是. 15.如果二次函数

二、选择题：

2y2x3x1上的点是（ ） 16.在抛物线

1,0A.（0，-1） B.2 C.（-1，5） D.（3，4）

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17.直线

y51x2yx2x22的交点个数是（ ） 与抛物线

A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个

2yaxbxc（a≠0）18.关于抛物线，下面几点结论中，正确的有（ ）

① 当a0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当

a0时，情况相反.

② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.

③ 只要解读式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.

22yaxbxc与x 轴交点axbxc0④ 一元二次方程（a≠0）的根，就是抛物线

的横坐标.

A.①②③④ B.①②③ C.①② D.①

19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）

A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3

2yax yaxb20.如果一次函数的图象如图代13-3-12中A所示，那么二次函

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bx-3的大致图象是（ ）

图代13-2-12

ayaxbxcx2,b21.若抛物线的对称轴是则（ ）

211A.2 B.2 C.4 D.4

22.若函数

ya2yax(a1)xa3的性 x的图象经过点（1，-2），那么抛物线

质说得全对的是（ ）

A. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与正半y轴相交

B. 开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与正半y轴相交

C. 开口向上，对称轴在y轴左侧，图象与负半y轴相交

D. 开口向下，对称轴在y轴右侧，图象与负半y轴相交

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2yxbxc中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） 23.二次函数

A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）

ax（a0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）

24.函数yax与

2y

图代13-3-13

2yxbxc与y轴交于A点，与x轴正半轴交于B， 25.如图代13-3-14，抛物线

C两点，且BC=3，S△ABC=6，则b的值是（ ）

A.b=5 B.b=-5 C.b=±5 D.b=4

图代13-3-14

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2yax26.二次函数（a0），若要使函数值永远小于零，则自变量x的取值范围是

（ ）

A．X取任何实数 B.x0 C.x0 D.x0或x0

2y2(x3)4向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解读式为 27.抛物线

（ ）

22y2(x4)6y2(x4)2 A. B.

22y2(x2)2y3(x3)2 C. D.

22yxykx9k28.二次函数（k0）图象的顶点在（ ）

A.y轴的负半轴上 B.y轴的正半轴上

C.x轴的负半轴上 D.x轴的正半轴上

12yxx（x0），（x0），其中图象经过原

29.四个函数：

yx,yx1,y点的函数有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

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2yaxbxc（a≠0）的值永远小于0的条件是（ ） 30.不论x为值何，函数

A.a0，Δ0 B.a0,Δ0

C．a0,Δ0 D.a0,Δ0

三、解答题

222yx2ax2b1yx(a3)xb1的图象都经过x 31.已知二次函数和

轴上两上不同的点M，N，求a，b的值.

12yaxbxc的图象经过点A（2，4）32.已知二次函数，顶点的横坐标为2，它

22xx13，12的图象与x轴交于两点B（x1，0），C（x2，0），与y轴交于点D，且

试问：y轴上是否存在点P，使得△POB与△DOC相似（O为坐标原点）？若存在，请求出过P，B两点直线的解读式，若不存在，请说明理由.

33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A，B两点，该

抛物线的对称轴x=-21与x轴相交于点C，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB的解读式；（2）抛物线的解读式.

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图代13-3-15

图代13-3-16

2yax3xc交x轴正方向于A，B两点，交y轴正方 34.中图代13-3-16，抛物线

向于C点，过A，B，C三点做⊙D，若⊙D与y轴相切.（1）求a，c满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙O的位置关系并证明.

35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示

意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD＇部分为一段抛物线，顶点C的高度为8M，AD和A＇D＇是两侧高为5.5M的支柱，OA和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15M，线段CD和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.

求（1）桥拱DGD＇所在抛物线的解读式及CC＇的长；

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（2）BE和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4M，相应的AB和A＇B＇为两个方

向的行人及非机动车通行区，试求AB和A＇B＇的宽；

（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4M，车

载大型设备的顶部与地面的距离均为7M，它能否从OA（或OA＇）区域安全通过？请说明理由.

图代13-3-17

2yx(m4)xm2与x轴交于两点A(a,0),B(b,0)（ab）.O 36.已知：抛物线

为坐标原点，分别以OA，OB为直径作⊙O1和⊙O2在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.

2yx2(m1)xm1与x轴都交于A，B两点，且A点在x轴 37.如果抛物线

的正半轴上，B点在x同的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b.

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（1） 求m的取值范围；

（2） 若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解读式；

（3） 设（2）中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

38.已知：如图代13-3-18，EB是⊙O的直径，且EB=6，在BE的延长线上取点P，使EP=EB.A

是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D，过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H，连结ED和FH.

图代13-3-18

（1） 若AE=2，求AD的长.

ADEDAHFH？试证（2） 当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，①是否总有

明你的结论；②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

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59yx2(m24m)x2(m24m)22的图象与x轴的交点为 39.已知二次函数

A，B（点A在点B右边），与y轴的交点为C.

（1） 若△ABC为Rt△，求m的值；

（2） 在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；

（3） 设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值.

40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，

满足OA∶OB=4∶3，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2.

图代13-3-19

（1） 求⊙C的圆心坐标.

（2） 过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解读式.

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2yaxbxc（a≠0）的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点为（3） 抛物线

B，求抛物线的解读式.

1x22和yxm，二次函数yxpxq图象的顶点为M.

41.已知直线

y（1） 若M恰在直线

y1x2与yxm的交点处，试证明：无论m取何实数值，

2yxpxq的图象与直线yxm总有两个不同的交点. 二次函数

（2） 在（1）的条件下，若直线yxm过点D（0，-3），求二次函数

yx2pxq的表达式，并作出其大致图象.

图代13-3-20

2yxpxq的图象与y轴交于点C，与x同 （3） 在（2）的条件下，若二次函数

的左交点为A，试在直线

y1x2上求异于M点P，使P在△CMA的外接圆上.

2yxaxb与x轴从左至右交于A，B两点， 42.如图代13-3-20，已知抛物线

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与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.

（1） 求点C的坐标；

（2） 求抛物线的解读式；

（3） 若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积.

参 考 答 案

动脑动手

1. 设每件提高x元（0≤x≤10），即每件可获利润（2+x）元，则每天可销售（100-10x）

件，设每天所获利润为y元，依题意，得

y(2x)(10010x)

10x280x20010(x4)2360.

∴当x=4时（0≤x≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元.

ymx23m2.∵4x43，

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∴当x=0时，y=4.

mx23m当44x40,m0m13,m233m. 时

4B,03m. 即抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为A（3，0），（1） 当AC=BC时，

443,m3m9.

4yx249∴

（2） 当AC=AB时，

AO3,OC4,AC5.

∴

3453m.

12m1,m263. ∴

当

m1111yx2x46时，66；

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当

m222yx2x43时，33.

（3） 当AB=BC时，

443423m3m，

2∴

m87.

844yx2x4721∴.

411122yx24,yx2x4,yx2x496633可求抛物线解读式为：或

844yx2x4721.

222[(m5)]4(2m6) 3.（1）∵

m22m21(m21)20

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图代13-3-21

∴不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点.

222x(m5)x2m60 令y=0，得

(x2)(xm23)0，

2x2,xm3. 12∴

∴两交点中必有一个交点是A（2，0）.

（2）由（1）得另一个交点B的坐标是（m2+3,0）.

dm232m21，

∵m2+100，∴d=m2+1.

（3）①当d=10时，得m2=9.

∴ A（2，0），B（12，0）.

yx214x24(x7)225.

该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB的中点E（7，0）.

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过点P作PM⊥AB于点M，连结PE，

1则

PEAB5,PM2b2,ME2(7a)22，

∴(7a)2b252.①

∵点PD在抛物线上，

∴

b(a7)225.② 解①②联合方程组，得b11,b20.

当b=0时，点P在x轴上，△ABP不存在，b=0，舍去.∴b=-1.

注：求b的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程.

②△ABP为锐角三角形时，则-25≤b-1；

△ ABP为钝角三角形时，则b-1，且b≠0.

同步题库

一、 填空题

1.y12(x2)2,y1112(x2)23； 2.x4,8； 3.

y(x3)29；17 / 47

4.

y2(x2)22； 5.互为相反数； 6.y轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x-1；

b4acb2b,,x2a4a2a8.四，增大； 9.向上，向下，； 10.向下，（h,0），x=h； 11.-1，11yx39； 15.10. -2； 12.x-1； 13.-17，（2，3）； 14.

2二、选择题

16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28.

C 29.A 30.D

三、解答题

31.解法一：依题意，设M（x1，0），N（x2，0），且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0

的两个实数根，

∴x1x22a，x1·x22b1.

22x(a3)xb10的两个实数根， ∵x1，x2又是方程

∴x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2.

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2aa3,22b11b. ∴

a1,a1,b0;解得 或b2.

当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴a=1，b=0舍去.

22当a=1；b=2时，二次函数yx2x3和yx2x3符合题意.

∴a=1，b=2.

2解法二：∵二次函数yx2ax2b1的图象对称轴为xa，

22yx(a3)xb1的图象的对称轴为二次函数

xa32，

又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N，

∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.

a32.

∴

a解得 a1.

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222yx2x2b1yx2xb1. ∴两个二次函数分别为和

依题意，令y=0，得

x22x2b10，

x22xb210.

①+②得

b22b0.

解得 b10,b22.

a1,a1,b0;∴或b2.

当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴a=1，b=0舍去.

22yx2x3yx2x3符合题意. 当a=1，b=2时，二次函数为和

∴a=1，b=2.

2yaxbxc的图象与x轴交于点B（x，0）32.解：∵，C（x2，0）， 1

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bcx1x2,x1x2aa. ∴

222xx13(xx)2x1x213， 1212又∵即

bc()2213a∴a.①

1又由y的图象过点A（2，4），顶点横坐标为2，则有

4a+2b+c=4， ②

b12a2.③

解由①②③组成的方程组得

a=-1,b=1,c=6.

∴y=-x2+x+6.

与x轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.

与y轴交点D坐标为（0，6）.

设y轴上存在点P，使得△POB∽△DOC，则有

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（1） 当B（-2，0），C（3，0），D（0，6）时，有

OBOP,OB2,OC3,OD6OCOD.

∴OP=4，即点P坐标为（0，4）或（0，-4）.

当P点坐标为（0，4）时，可设过P，B两点直线的解读式为

y=kx+4.

有 0=-2k-4.

得 k=-2.

∴ y=-2x-4.

OBOP,OB2,OD6,OC3或 ODOC.

∴OP=1，这时P点坐标为（0，1）或（0，-1）.

当P点坐标为（0，1）时，可设过P，B两点直线的解读式为

y=kx+1.

有 0=-2k+1.

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得

1yx12∴.

k

1

2.

当P点坐标为（0，-1）时，可设过P，B两点直线的解读式为

y=kx-1，

有 0=-2k-1，

12.

得

1yx12∴.

k（2） 当B（3，0），C（-2，0），D（0，6）时，同理可得

y=-3x+9，

或 y=3x-9，

1yx13或 ，

或

y1x13.

23 / 47

33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，

令y=0，得x=4.

∴A点坐标为（4，0）.

∴∠ABC=90°.

∵△CBD∽△BAO，

OBOAOCOB，即OB2=OA·OC. ∴

又∵ CO=1，OA=4，

∴ OB2=1×4=4.

∴ OB=2（OB=-2舍去）

∴B点坐标为（0，2）.

12.

将点B（0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得

1yx22∴直线的解读式为：.

k24 / 47

2ya(x1)h，函数图象过A（4，0）（2）解法一：设抛物线的解读式为，B（0，

2），得

25ah0,ah2.

125,h.1212

解得

a∴抛物线的解读式为：

y125(x1)21212.

2yaxbxc，又设点A（4，0）关于x=-1的对 解法二：设抛物线的解读式为：

称是D.

∵ CA=1+4=5，

∴ CD=5.

∴ OD=6.

∴D点坐标为（-6，0）.

将点A（4，0），B（0，2），D（-6，0）代入抛物线方程，得

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16a4bc0,c2,36a6bc0.

解得

a11,b,c2126.

∴抛物线的解读式为：

y121xx2126.

234.解：（1）A，B的横坐标是方程ax3xc0的两根，设为x1,x2（x2x1），C的

纵坐标是C.

又∵y轴与⊙O相切，

∴ OA·OB=OC2.

∴x1·x2=c2.

2又由方程ax3xc0知

x1x2ca，

∴

c2ca，即ac=1.

（2）连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD，

26 / 47

图代13-3-22

1AB2.

∴

AEACB1ADBADE2.

∵a0,x2x1，

∴

ABx2x194ac5aa.

AE52a.

又 ED=OC=c，

∴

tgAE5DE2.

（3）设∠PAB=β，

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53,∵P点的坐标为2a4a，又∵a0，

∴在Rt△PAE中，

PEa.

∴

tgPE5AE2.

∴ tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.

∵∠ADE+∠DAE=90°

∴PA和⊙D相切.

35.解：（1）设DGD＇所在的抛物线的解读式为

yax2c，

由题意得G（0，8），D（15，5.5）.

1a,8c,905.525ac.∴解得c8.

∴DGD＇所在的抛物线的解读式为

y12x0.

28 / 47

AD1AC4且AD=5.5, ∵

∴ AC=5.5×4=22(M). ∴cc2OC2(OAAC)2(1522）

=74（M）.

答：cc＇的长为74M.

EB1,BE4BC4（2）∵，

∴ BC=16.

∴ AB=AC-BC=22-16=6（M）.

答：AB和A＇B＇的宽都是6M.

12x0中，当x=4时，

（3） 在

yy13716879045.

3719(70.4)450. ∵45729 / 47

∴该大型货车可以从OA（OA＇）区域安全通过.

36.解:（1）∵⊙O1与⊙O2外切于原点O，

∴A，B两点分别位于原点两旁，即a0，b0.

2x∴方程(m4)xm20的两个根a，b异号.

∴ab=m+20，∴m-2.

（2）当m-2，且m≠-4时，四边形PO1O2Q是直角梯形.

1212ba2（或2或1）.

根据题意，计算得

S四边形PO1O2Qm=-4时，四边形PO1O2Q是矩形.

1212ba2（或2或1）.

根据题意，计算得

S四边形PO1O2Q22(m4)4(m2)(m2)40 （3）∵

2x∴方程(m4)xm20有两个不相等的实数根.

∵m-2，

30 / 47

abm40,∴abm20.

∴a0，b0.

∴⊙O1与⊙O2都在y轴右侧，并且两圆内切.

37.解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），

∵A，B两点在原点的两侧，

∴x1x20，即-（m+1）0，

解得 m-1.

2[2(m1)]4(1)(m1) ∵

4m24m814(m)272

当m-1时，Δ0，

∴m的取值范围是m-1.

（2）∵a∶b=3∶1，设a=3k，b=k（k0），

31 / 47

则 x1=3k，x2=-k，

3kk2(m1),∴3k(k)(m1).

解得

m12,m213.

∵

m14x1x23时，3（不合题意，舍去），

∴m=2

2yxx3. ∴抛物线的解读式是

2yx2x3与x轴的两个交点坐标是A（3，0）（3）易求抛物线，B（-1，0）

与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）.

设直线BM的解读式为ypxq，

4p1q,则 0p(1)q.

p2,解得 q2.

∴直线BM的解读式是y=2x+2.

32 / 47

设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），

∴SBCMSBCNSMNC

111111221. 设P点坐标是（x,y），

∵SABP8SBCM，

1ABy812∴.

14y8即 2.

∴y4.∴y4.

当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），

当y=-4时，-4=-x2+2x+3，

解得 x122.

∴满足条件的P点存在.

33 / 47

P点坐标是（1，4），(122,4),(122,4).

38.（1）解：∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，

∴ AD2=AE·AB=2×（2+6）=16.

∴ AD=4.

图代13-2-23

ADEDAHFH. （2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），总有

证法一：连结DB，交FH于G，

∵AH是⊙O的切线，

∴∠HDB=∠DEB.

又∵BH⊥AH，BE为直径，

∴∠BDE=90°

34 / 47

有 ∠DBE=90°-∠DEB

=90°-∠HDB

=∠DBH.

在△DFB和△DHB中，

DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB，∠DBE=∠DBH，

∴△DFB∽△DHB.

∴BH=BF， ∴△BHF是等腰三角形.

∴BG⊥FH，即BD⊥FH.

ADED∴ED∥FH，∴AHFH.

图代13-3-24

证法二：连结DB，

35 / 47

∵AH是⊙O的切线，

∴∠HDB=∠DEF.

又∵DF⊥AB，BH⊥DH，

∴∠EDF=∠DBH.

以BD为直径作一个圆，则此圆必过F，H两点，

∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH.

∴ ED∥FH.

ADED∴AHFH.

②∵ED=x，BH=，BH=y，BE=6，BF=BH，∴EF=6y.

又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，

∴△DFE∽△BDE，

EFEDEDEB，即ED2EFEB. ∴

36 / 47

1yx266∴x6(6y)，即.

2∵点A不与点E重合，∴ED=x0.

A从E向左移动，ED逐渐增大，当A和P重合时，ED最大，这时连结OD，则ODPH.

∴ OD∥BH.

又 POPEEO639,PB12，ODPOBHPB,BHODPBPO4，∴BFBH4,EFEBBF642，

由ED2=EF·EB得

x22612，

∵x0，∴x23.

∴ 0x≤23.

（或由BH=4=y，代入y16x26中，得x23）

37 / 47

⊥

1yx266故所求函数关系式为（0x≤23）.

599yx2m4mx2m24m(x2)[xm24m]222, 39.解：∵

99A(2,0),Bm24m,0,C0,2m24m22. ∴可得

（1）∵△ABC为直角三角形，∴

OCAOOB2，

994m24m2m4m22， 即22(m2)0.∴m=2. 化得

（2）∵AC=BC，CO⊥AB，∴AO=BO，即

m24m922.

9OC2m24m4ACBC522. ∴.∴

过A作AD⊥BC，垂足为D，

∴ AB·OC=BC·AD.

85.

∴

AD38 / 47

8∴

sinACBAD45AC255.

图代13-3-25

1ABCO2

（3）

SABC12992m4m22m4m222(u2)u(u1)21.

∵

um24m9122，

∴当

u152，即m2时，S有最小值，最小值为4.

40.解：（1）∵OA⊥OB，OA∶OB=4∶3，⊙D的半径为2，

∴⊙C过原点，OC=4，AB=8.

3224,00,5，B点坐标为5. A点坐标为39 / 47

1612,∴⊙C的圆心C的坐标为55.

（2）由EF是⊙D切线，∴OC⊥EF.

∵ CO=CA=CB，

∴∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO.

∴ Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.

OEOCOFOC,∴ABOAABOB.

∴

OE5,OF203.

200,E点坐标为（5，0），F点坐标为3，

420yx33. ∴切线EF解读式为

1612,4，可得 （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为50 / 47

b1652a5,a,322324acbb1,4a52424c.5c5.

∴

y5224xx325.

1612,4，得 ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为55b1652a5,a,8284acb,b4,54a2424c.5c5.

524yx24x85. ∴

综合上述，抛物线解读式为

y5224524xxyx24x325或85.

41.（1）证明：由

1yx,2yxm,

41 / 47

1xxm2有 ，

321xm,xm,ym33. ∴221M(m,m)∴交点33.

21yxmm33 此时二次函数为

2441x2mxm2m393.

由②③联立，消去y，有

424x2m1xm2m0933.

424m14m2m3 9321628168mm1m2m939310. 2yxpxq的图象与直线yxm总有两个 ∴无论m为何实数值，二次函数

不同的交点.

42 / 47

图代13-3-26

（2）解：∵直线y=-x+m过点D（0，-3），

∴ -3=0+m，

∴m=-3.

∴M（-2，-1）.

∴二次函数为

y(x2)21x24x3(x3)(x1).

图象如图代13-3-26.

（3）解：由勾股定理，可知△CMA为Rt△，且∠CMA=Rt∠，

∴MC为△CMA外接圆直径.

43 / 47

11Pn,nyx2上，可设2，由MC为△CMA外接圆的直径，P在这个圆上， ∵P在

∴∠CPM=Rt∠.

过P分别作PN⊥y，轴于N，PQ⊥x轴于R，过M作MS⊥y轴于S，MS的延长线与PR的

延长线交于点Q.

由勾股定理，有

2222MP2MPMQQP，即

(n2)212n1. 2CP2NC2NP213nn22.

CM220.

而

MP2CP2CM2，

22∴(n2)2112n132nn220，

5即 2n22n60，

44 / 47

2∴5n4n120，

(5n6)(n2)0.

∴

n16,n225.

而n2=-2即是M点的横坐标，与题意不合，应舍去.

65，

∴

n13n5. 此时 263,∴P点坐标为55.

42.解：（1）根据题意，设点A（x1，0）、点（x2，0），且C（0，b），x10，x20，b0，

2∵x1，x2是方程xaxb0的两根，

∴x1x2a,x1x2b.

在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴OC2=OA·OB.

∵ OA=-x1,OB=x2，

45 / 47

∴b2=-x1·x2=b.

∵b0,∴b=1，∴C（0，1）.

（2）在Rt△AOC的Rt△BOC中，

tgtgxx2aOCOC1112OAOBx1x2x1x2b.

∴a2.

2yx2x1. ∴抛物线解读式为

图代13-3-27

2yx2x1，∴顶点P的坐标为（1，2）（3）∵，

2当x2x10时，x12.

∴A(12,0),B(12,0).

46 / 47

延长PC交x轴于点D，过C，P的直线为y=x+1，

∴点D坐标为（-1，0）.

∴S四边形ABPCSDPBSDCA

12DBy1p2ADyc12(22)212(22)12322(平方单位). 47 / 47