(完整版)直线、平面垂直的判定及其性质习题

练习题1

2.3.1直线与平面垂直的判定

基础练习

1．填空。

(1) 过直线外一点可作_____条直线与该直线平行，可作______条直线与该直线垂直； (2) 过平面外一点可作_____条直线与该平面平行，可作______条直线与该平面垂直。 2．一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线

C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线

3．如果平面α外的一条直线a与α内两条直线垂直，那么 ( ) A. a⊥α B. a∥α C. a与α斜交 D. 以上三种均有可能 4．判断题：（对的打“√”，错的打“×”）

(3) 过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ( ) (4) 过已知平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行 ( ) (5) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( ) (6) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ( ) (7) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ( ) (8) 过已知直线外一点，有且只有一个平面与已知直线平行。 ( )

巩固练习

5．如图2－36：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径， C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E ， 求证：AE⊥平面PBC。

6．图2－37：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

7．如图2－38：AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则BC和PC_____________。

能力提高

8．如图2－39：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD 求证：BD⊥AC

9．如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。

求证：H是ABC的垂心。

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点，O为底面ABCD中心， 求证：B1O⊥平面PAC。

答案

基础练习

1．1，无数；无数，1 2．D 3．D 4．√；×；×；√；√；×。

巩固练习

5．证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE

∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。 6．

解：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD 可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共8个。

7．垂直

解：∵PA⊥平面ABC，而BC平面ABC ∴PA⊥BC

又∵AB是圆O的直径， ∴AC⊥BC

又∵PA∩AC＝A

∴BC⊥平面PAC，且PC平面PAC ∴BC⊥PC即BC和PC垂直

能力提高

8．证明：设BD的中点为K，连结AK、CK， ∵AB＝AD，K为BD中点 ∴AK⊥BD

同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K ∴BD⊥平面AKC

∴BD垂直于平面AKC内的所有直线 ∴BD⊥AC

9．证明：∵PA⊥PB，PB⊥PC， ∴PA⊥平面PBC，BC平面PBC ∴BC⊥PA

∵PH⊥平面ABC，BC平面ABC ∴BC⊥PH

∴BC⊥平面PAH，AH平面PAH

∴AH⊥BC，同理BH⊥AC，CH⊥AB， 因此H是△ABC的垂心。

10．证明：如图：连结AB1，CB1，设AB＝1 ∵AB1＝CB1＝2，AO＝CO，∴B1O⊥AC， 连结PB1，∵OB1OBBB12223 29 43OP2PD2DO2

4222PB1PD1B1D1∴OB1OPPB1 ∴B1O⊥PO，

∴B1O⊥平面PAC。

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