微积分基本定理

微积分基本定理

讲课人：杨枝莲

一、 教材分析

《微积分基本定理》是人教A版高中数学选修2-2第一章第六节的内容，它是在导数和定积分的学习之后，对定积分计算方法的探究，高中阶段主要是利用它进行定积分的运算。事实上，微积分基本定理在微积分学中占有极为重要的地位，它把定积分和微分（导数）这两个完全不同的概念建立起了精确的数学关系，从根本上超越了使用近两千年的“分割求和”方法，极大地简化了定积分的计算问题，它在微积分学的理论发展和实际应用中都有非常重大的贡献和意义。 二、 学情分析

本节课安排在导数和定积分的学习之后，学生对于导数已经能够熟练运用，对定积分的概念也基本掌握。然而计算定积分的定义法太过复杂，适用范围太小，学生对此法难于应用，它们正需要一种简便方法来计算定积分。 三、 教学设计理念

本节课循着知识的来龙去脉，遵循学生的认知发展规律，对微积分基本定理进行探讨。 四、 教学目标

1、 知识与技能：熟练运掌握定积分的定义，理解微积分基本定理，运用微

积分基本定理计算定积分的值。

2、 过程与方法：观察计算定积分的定义法，分析定义法的弊端，探讨微积

分基本定理并学会运用其计算定积分。

3、 情感态度与价值观：体会由复杂到简单的科学探究过程，培养积极思考，

细致耐心的好习惯。

五、 教学重点、难点

微积分基本定理及其运算。 六、 教学方法

探究启发式教学法，通过学生自主探索，交流合作，师生互动，共同学习。

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七、 教学工具

板书，PPT辅助教学。 八、 教学过程

1、复习：PPT展示定积分的几何意义图像（如下图），引导大家回顾定

积分的定义。

上节课我们学习了定积分的概念，还分析了定积分的几何意义，结合图像回忆一下，如果f(x)在区间[a,b]上连续且f(x)≥0恒成立，那么定积分

表示由直

线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线f(x)所围成的曲边梯形的面积。根据前面的学习，我们要求这个曲边梯形的面积，可以采用分割求和的方法。请同学一起回答分割求和方法的具体步骤，即分割，近似代替，求和，取极限。板书串联一遍：首先，把区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为

，在这些小区间里，

变化很小，我们可以取一个特殊点，用

面积，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积；然后，再把每个小面积加和，最后让n趋于无穷取极限。这样就得到了所要求的大曲边梯形的面积，也就是定积分

的值等于

，板书写下

=

端点。 2、引课：

=

。为了方便一般取每个小区间的左端点或者右

这个式子就是我们定积分的定义，

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这个定义也为我们提供了一种计算定积分的方法，即定义法。 现在老师给出一道题，请大家用定义法来计算这个定积分

。给同学们一分钟时间，并请两

位同学上黑板来做。具体解题过程应如下：

=

=

==。提醒：一般取每个小区间左端点1+或

者右端点，这里我们取的是右端点。显然，大家可以体会到，计算到

这一步时，再往下计算，非常复杂。类似的，再给出几个基本初

等函数，比如

，

，

等等，这些函数在区间[1,2]上的定积分计算到求和

取极限时，都非常复杂，很难再往下继续。这时我们就想啊，定义法的计算这么复杂，对于好多初等函数的定积分都没法计算出具体的值，那么我们找能不能去寻找一个比定义法更简单，更有效的方法来计算定积分呢？（插入小段数学史）早在300多年前，欧洲有两个伟大的数学家牛顿和莱布尼兹，他们就研究了这个问题，他们不但创立了微积分，还发现了定积分和导数这两个完全不同的概念之间存在着一种奇妙的联系，正是这个奇妙的联系，为我们定积分的计算提供了一种简洁有效的方法。今天这节课，我们一起来看看导数和定积分之间到底存在着怎样联系；我们又是如何用它来计算定积分的。

3、 探究：导数和定积分之间的联系。

我们先通过一个具体实例来分析导数和定积分之间的联系：这是一个作变速直线

运动物体的位移-时间图像，位移与时间

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的函数关系式为s=s(t)。那么根据导数的概念可知，速度与时间的关系式为v(t)=s’(t)。现在，我们来看在时间段[a,b]内位移s，请大家试着用s(t)和v(t)来表示这个位移s。①用s(t)表示s，显然[a,b]内的位移s=s(b)-s(a)。②用v(t)表示s，首先我们在物理学上，如果一个物体作匀速直线运动，那么它的位移s=vt，而我们这里速度v是变化的，s=vt这个公式不能直接运用，联想到1.5.2节中汽车行驶的路程这个问题的研究，汽车的速度是变化的，我们采用了分割求和方法来计算s。同样的，在这里，我们也可以把时间区间[a,b]等分成n个小区间。在每个小区间[

]里，速度几乎不变，我们可以近似认为物体以

)作匀速直线运

) ≈越小，

动，所得位移△近似于△。这样，在区间[•△t

=

△s=

和△

=

)

•=

近似程度越好，s和

]里，小位移△≈△=

s

=

。那么总位移

，当分划越细，n越大时，

越相近。于是有，。由定积分的定义知，

s==。结合①，得到 s(b)-s(a)。也就是说，s(t)的导

函数在[a,b]上的定积分就等于s(t)在两端点的函数值之差。这个就是我们探究得来的导数和定积分之间的联系。

4、定理：一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F’(x)=f(x)，那么

=F(b)-F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。

为了方便，我们常常把F(b)-F(a)记成F(x)|，即= F(x)|=F(b)-F(a)。分析

定理，我们在高中阶段所研究的定积分，一般都是满足“f(x)是区间[a,b]上的连续函数”这个条件的。这样的话，我们要求满足F’(x)=f(x)的F(x)，再把a,b带入求差即可。

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的定积分，就只要找到

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5、例题：计算下列定积分 （1）

; （2）

.

分析：先找出F(x),看哪个函数求导之后等于f(x)；再把上下限带入F(x)，求差。 解：（1）因为 (lnx)’ = ，所以

=

= ln2-ln1 = ln2 .

这是我们之前导课所用的例子，大家可以看到，我们的微积分基本定理确实要比定义法要简单。 （2）因为 (

)’ = 2x，()’ =

， 所以

=

= + | = (9 - 1) + () = .

6、总结：这节课，我们一起探究了微积分基本定理，微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，把导数和定积分这两个概念联系在一起，为定积分的计算提供了一个简便方法。在计算时，我们总是要先去找F（x），再代公式。在以后的学习中，这个定理非常有用，所以我们必须要熟练掌握，运用自如，作业就是课后练习（1），（3），（5），（7）。 九、 板书设计

1.6微积分基本定理 定理：一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F’(x)=f(x)，那么==F(b)-F(a).这=个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。为了方s=， 引课： =≈ =) •△t =) •。s 探究：①用s(t)表示s， [a,b]内s=s(b)-s(a)。②用v(t)表示s，△≈△ 复习： =

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便，我们常常把=F(b)-F(a)记成F(x)|，。s=即= =。结合①，得到 s(b)-s(a)。 例题：（1） ;（2）. = F(x)|=F(b)-F(a)。 解：（1）因为 (lnx)’ == ，所以 === ln2-ln1 = ln2 . ， 所 。 （2）因为 ()’ = 2x，()’ = 以 = = + | = (9 - 1) + () = .

十、 教学反思

教学设计方面不够好，经验不足，掌握不了探究式教学课堂，可以适当调整，比如设计成先给出定理，再进行论证。另外，对知识的把握不够，未能顺畅地引导课堂，导致讲课思路混乱，目标不够明确；教态不够自然大方，板书还要练习；一定要做足准备，提前试讲，发现问题，及时更正。

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