2007年海淀区九年级第二学期期末练习

海淀区九年级第二学期期末练习

数 学 2007.6 考生1．本试卷共4页，共五道大题，25个小题，满分120分,考试时间120分钟. 须知 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题（本题共32分，每小题4分．）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．-6的绝对值是

A. 6 B. -6 C.

16 D. -

16

2．大脑的表面由一层薄膜所覆盖，如果把这一层薄膜铺开，约有一张报纸版面那么大．它由约150亿个神经细胞构成，是信息接收和发送的庞大机构．150亿用科学记数法表示为 A．150108 B．15109 C．1.51010 D．0.151011 3．在函数yx3中，自变量x的取值范围是

A. x3 B. x3 C. x3 D. x3

4．如图1，BC平分∠ABD，AB//CD，点E在CD的延长线上.若 ∠C=28°，则∠BDE的度数为

A．28° B．56° C．62° D．84°

5． 某学校课外兴趣小组为了了解所在学校的学生对体育运动的爱好情况，设计了四种不同的抽样调查方案，你认为比较合理的是

A． 在图书馆随机选择50名女生 B． 在运动场随机选择50名男生 C．在校园内随机选择50名学生

D. 在八年级学生中随机选择50名学生 6．某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：如图2，假设赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量∠A的度数，则AB等于

ACcosAACsinA图1

（A）cosA （B）AC（C）sinA（D）AC

图2

7．小贝与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心，手背”游戏确定出场顺序.设每人每次出手心、手背的可能性相同.若有一人与另外两人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次,小贝

1

最后出场比赛的概率为 A．

12 B．

13 C．

14 D．

15

8．北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中，这一设计不仅是对获胜者的礼赞，也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比“德”的价值观．若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为k，则下列各数与k最接近的是

13122334图3

A． B． C． D．

图4

二、填空题（本题共16分，每小题4分．）

9．若关于x的一元二次方程 x25xm0有实数根, 则m的取值范围是 . 10．若圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2. 11．用“¤”定义一种运算：对于任意实数m、n和抛物线yax2，当

（m，n）后都可得到ya(xm)n．例如：当y3x2yax¤

¤（2，4）后得到y3(x2)24．当函数yx2¤（1，n）后得到了新函数的图象(如图5所示)，则n= .

12．已知：如图6，直尺的宽度为2， A、B两点在直尺的一条边上，AB=6， C、D两点在直尺的另一条边上.若∠ACB=∠ADB=90°，则C、D两点之间的距离为 .

三、解答题（本题共30分，每小题5分．） 13．计算：2sin452200822图5

图6

0131.

14. 解不等式组 15. 解分式方程：

2x35,63x0.

1．

2

4xx313x16.先化简，再求值：1224aa4a4a22a，·aa2其中a=.

17．已知：如图7，在四边形ABCD中，点E、F在BC上，

AB// DE, BE=FC,AB=DE. 求证：AF=DC．

18．已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=DC=2，∠ADC=120°，求梯形ABCD的周长.

四、解答题（本题共20分，第19题4分，第20题５分，第21题6分，第22题5分．）

19.在平面直角坐标系xOy中，直线l与直线 y= -2x关于y轴对称，直线l与反比例函数

ykx图7

图8

的图象的一个交点为M(3, m), 试确定反比例函数的解析式．

20. 某校为了了解九年级学生的体能素质,在400名学生中随机选择部分学生进行测试，其中一项为立定跳远.有关数据整理如下：

图9

（1） 依据图表信息，可知此次调查的样本容量为 ;

（2） 在扇形统计图(如图9)中表示立定跳远成绩为8分的扇形圆心角的度数为 °（精确到1°）；

（3） 已知测试成绩为10分的学生比成绩为7分的学生多10人，求m和n的值. 21．如图10，AB经过⊙O的圆心，弦DF⊥AB于E，BF切⊙O于F，⊙O的半径为2. （1）求证：BD与⊙O相切； （2）若∠ABD=∠DFC，求DF的长.

22．例.如图11-①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）

图10

3

和C（5，4），求△OBC的面积.

解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E.依题意,可得

S△OBC = S梯形BDEC + S△OBD- S△OCE ==

12(BDCE)(OEOD)12ODBD12OECE

12×(3+4) ×(5-2)+

12×2×3-

12×5×4=3.5.

∴△OBC的面积为3.5.

（1） 如图11-②，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在

同一条直线上. 仿照例题的解法,求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）； （2） 如图11-③，若三个点的坐标分别为A（2,5），B（7,7），C（9,1），求四边形

OABC的面积.

图11-① 图11-② 图11-③

五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分．） 23.阅读：

①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像.如果原图形

每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换.特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换.

问题1：我们学习过的平移、 、 变换都是正交变换.

②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转nº （0例如，图12一①中奔驰车标示意图具有120º,240º,360º的旋转变换.

图12-②的几何图形具有180º的旋转变换，所以它是中心对称图形.

问题2：图13-①和图13-②中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值.

4

答：(图13-①) ； 答：(图13-②) . 问题3：如果将图13-①和图13-②的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为 .

问题4：请你在图14中画出一个具有180º旋转变换的正多边形.（要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）

图14

24．已知：点P为线段AB上的动点(与A、B两点不重合).在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图15所示. （1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长； （2）若AB=12，tan∠C=

43，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相

似，求四边形CDFE的面积的最小值.

图15

25．在平面直角坐标系xOy中，已知直线ｙ＝－

33233ｘ＋交x轴于点C,交y轴于点A.

等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合，如图16-①所示.把三角板绕着点Ｏ顺时针旋转，旋转角度为(0180)，使Ｂ点恰好落在ＡＣ上的Ｂ＇处，如图16-②所示. （1） 求图16-①中的点B的坐标；

（2） 求的值；

（3） 若二次函数ｙ＝ｍｘ２＋３ｘ的图象经过（1）中的点B，判断点Ｂ＇是否在这条抛

物线上，并说明理由.

图16-① 图16-②

海淀区九年级第二学期期末练习

数学参考答案及评分标准 2007.6

5

一、选择题（本题共32分，每小题4分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A C A B C A C 二、填空题（本题共16分，每小题4分．） 9．m254；10．60；11．2；12.25．

三、解答题（本题共30分，每小题5分．） 13．解：原式=222213---------------------------4分

=2.----------------------------------5分

14.解：根据题意，得

∴原不等式组的解集为x2.--------------------------5分 15. 解：方程两边同时乘以x3,得

4-x-1= x-3，-----------------2分 解得 x= 3. -------------------3分

经检验，x=3是原方程的增根.------------------4分 ∴原方程无解. -------------------5分 16.解法一：原式=

4aa2a·

a2(a2)2·

a+

2a2a-----------------2分

=4a2+2 ------------------3分 =

2aa2.------------------4分

当a=

12时，原式=23. -------------------5分

解法二：原式=

4a2a(a2)·

a2(a2)2a-----------------2分

=

2a2(a2)2·

a2a

=

2aa2.------------------4分

当a=

1时，原式= 223. -------------------5分

8 B 6

17．证明：∵AB// DE,

∴∠B=∠DEC.-------------------1分 ∵点E、点F在BC上，BE=FC,

∴BF=EC.-------------------2分 在△ABF和△DEC中，

ABDE,BDEC,BFEC.

∴△ABF≌△DEC.-------------------4分 ∴AF=DC.-------------------5分

18．解法一：过点D作DE⊥BC于E. ----------1分 ∵∠B=90°， ∴AB∥DE.

∵ AD∥BC，

∴ ∠ADC+∠C=180°.

∵ ∠ADC=120°，

∴ ∠C=60°.-------------------2分 ∵AD=DC=2，

∴ BE=AD=2，DE=AB=3，EC=1.-----------------4分 ∴梯形ABCD的周长为2+2+3+2+1=7+3.--------5分 解法二：过点A作AE∥DC，交BC于E.--------------1分 ∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°， ∴∠C=60°，四边形AECD是平行四边形. ∴∠AEB=60°.-------------2分 ∵AD=DC=2， ∴AE=DC=EC=2.

∵在△ABE中，∠B=90°，∠AEB=60°， ∴BE=1，AB=3.-----------------4分

∴梯形ABCD的周长为2+2+3+2+1=7+3.--------5分

四、解答题（本题共20分，第19题4分, 第20题5分, 第21题6分, 第20题5分.） 19.解：由题意，直线l与直线y=-2x关于y轴对称， ∴直线l的解析式为y= 2x.-----------------1分 ∵点M（3，m）在直线l上,

∴m=2×3=6.

∴点M的坐标为（3，6）. -----------------2分 又∵点M（3，6）在反比例函数ykx的图象上,

7

∴6k3.

∴k=18. -----------------3分 ∴反比例函数的解析式为y18.-----------------4分

x20．解：(1)50; -----------------1分 (2)29; -----------------2分 (3)根据题意,得

mn26, mn10.解方程组,得

m18,8. n答： m=18,n=8. -----------------5分

21．（1）证明：连结OD,OF.-----------------1分BF切⊙O于点F，

∠OFB=90°. -----------------2分

弦DF⊥AB于E，且AB经过圆心O, DEEF.-----------------3分 BDBF.

∴∠1=∠BFD. ODOF,

∴∠3=∠4.

∠ODB=∠OFB=90°.

BD与⊙O相切.-----------------4分 （2）解： 由（1）可知∠3=∠5. ∠2=∠5，

∠2=∠3.

又∵∠6=2∠2， ∴∠6=2∠3. ∵∠6+∠3=90°， ∴3∠3=90°.

∴∠3=30°.-----------------5分 ∵OD2， ∴DE3.

∴DF23.-----------------6分 22.解：（1）过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E.--------1分

S△OBC = S梯形BCED + S△OBD- S△OCE ---------2分

=

12(y1+y2)(x2-x11)+

12x1y1-

2x2y2

8

==

1212(x2y1-x1y2) x2y1-1212x1y2。

12∴△BOC的面积为x2y1-x1y2.---------3分

（2）连结OB. ---------------4分 则有S四边形OABC = S△OAB +S△OBC =

12121212×7×5-×2×7+×9×7-×7×1

=38.5.

∴四边形OABC的面积为38.5. ------------5分

五、解答题（本题共22分，第23题6分，第24题8分，第25题8分．） 23.问题1：旋转，轴对称；-----------------2分 问题2：60，45；-----------------4分 问题3：180；-----------------5分

问题4：答案不唯一,例如正方形、正六边形等，图略. -----------------6分 24．解：（1）设DP=x，PF=y，------------------1分 ∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°， ∴CD=DP=x，EF=PF=y，PC=2x，PE=2y. ∴AB=AP+PB

=CD+DP+PC+PF+EF+PE

= x+x+2x+y+y+2y =(22)(xy).

∵DF=2，

∴xy=2. ------------------2分 ∴AB=(22)2=4+22.------------------3分

（2）连结CE. 由于tan∠C=

43，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似,因此分

两种情况考虑. 当∠DCP=∠PEF时,

设DP=4m，PF=4n，则CD=3m，EF=3n， 根据勾股定理，可得CP=5m，PE=5n. ∵AB=12(m+n)=12,

∴m+n=1. -----------------4分 ∵S四边形CDFE=

12(3m3n)(4m4n)

=6(mn)2

9

=6. -----------------5分 当∠DCP=∠EPF时，

设DP=4m，PF=3n，则CD=3m，EF=4n， 根据勾股定理，可得CP=5m，PE=5n. ∵AB=12(m+n)=12, ∴m+n=1. ∵m>0, n>0, ∴S四边形CDFE= = = =

12121212(3m4n)(4m3n)2

(12m25mn12n)2212(mn)(12mn)mn

=6+

12mn>6. -----------------7分

综上所述,四边形CDFE的面积的最小值为6. ------------------8分 25．解：（1）∵直线ｙ＝-∴点Ａ的坐标为（０，

23333ｘ＋

233交x轴于点C,交y轴于点A，

），点Ｃ的坐标为（２，０）. ---------------1分

∵等腰直角三角板OBD的顶点D与点C重合， ∴OD=２，BOD45. 过点B作BM⊥OC于M. ∴OM=

12OD1.

∴BM=1，OB=

2.

∴点Ｂ的坐标为（１，１）.------------------2分 （2）∵OA=

233，OC=2，AOC90，

∴∠ACO=30∘.

过点O作OE⊥AC于E.---------------3分 ∴OE=1.

∵在RtΔB＇EO中，OB＇=∴∠BOE=45∘. ∴∠EOD=90∘. 又∵∠EOC=60∘， ∴∠COD=30∘.

∴=30∘.--------4分

（3）判断：点Ｂ＇在这条抛物线上.------------------------5分 理由：∵点Ｂ＇在直线AC上，

‘

2，OE=1，

10

∴点Ｂ＇的坐标为（a，-3233ａ＋

3）.

∵ａ２＋（-33ａ＋233）２＝OB＇２， ∴ａ２

＋（-323２

3ａ＋

3）＝（

2）２

.

解方程，得ａ13131＝

2，ａ2＝

2（不合题意，舍去）.

∴点B＇的坐标为（132，

312）.--------6分

又∵二次函数ｙ＝ｍｘ２

＋３ｘ过Ｂ（１，１）， ∴ｍ＝－２.

∴二次函数的解析式为ｙ＝－２ｘ２

＋３ｘ.--------7分 把x=

13２

2代入ｙ＝－２ｘ＋３ｘ，得y=

312

∴点Ｂ＇在这条抛物线上.------------------------8分

(注：对于每题的不同解法,请老师们根据评分标准酌情给分.)

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