2016届辽宁省沈阳市高三教学质量监测(一)数学(文)试题(解析版)

数 学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.

3.考试结束后，考生将答题卡交回.

第Ⅰ卷

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z2（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） 1iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合P{0,1,2}，Q{x|x3x20}，则PIQ （ ） A．{1} B．{2} C．{0,1} D．{1,2} 3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S532，则a3（ ）

2325 B．2 C．42 D． 532logx，x0124．已知函数fx，则f(f(4))的值为（ ） x3，x011A． B．9 C． D．9

99A．

5．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体

的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（ ） A．三棱台 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 6．已知直线l过圆xy34的圆心，且与直线xy10垂

22直，则直线l的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy30 D．xy30

7.执行如图所示的程序框图，如果输入a1，b2，则输出的a的值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 8．从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如

图）．若要从身高在[120,130），[130，140）,[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

开始

输入a,b

a6aab

否 是 输出a 结束

第7题图 第8题图 9．若函数ylogaxa0,且a1的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（ ）

10．已知正四面体ABCD的棱长为a，其外接球表面积为S1，内切球表面积为S2，则S1:S2的值为（ ）

A．3 B．323 C．9 D．

49 4uuuruuur11. 已知抛物线y4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若AF3FB，O为坐标原点，则

△AOB的面积为( ) A．3432383B．C．D．

3 3 33

12．已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f(x)，且满足f(1)0，当x0时，xf(x)2f(x)，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（ ）

A．(,1)U(0,1) B．(,1)U(1,) C．(1,0)U(1,) D．(1,0)U(0,1)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二. 填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

x,y013．设x,y满足约束条件：xy1，若zxy，则z的最大值为 ；

xy3uuuruuur14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则ACBE= ；

15．函数f(x)2xlnx的单调递增区间是 ；

x2y216．已知双曲线C:221 (a0,b0)的右焦点为F，双曲线C与过原点的直线相交于

abA、B两点，连接AF，BF. 若|AF|6，|BF|8，cosBAF为 ．

三. 解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）

已知函数f(x)2cos23，则该双曲线的离心率5x3sinx. 2（Ⅰ）求函数f(x)的最大值，并写出取得最大值时相应的x的取值集合； （Ⅱ）若tan

18.（本小题满分12分）

如图所示，三棱锥DABC中，AC,BC,CD两两垂直，ACCD1,

1，求f()的值. 22BC3，点O为AB中点.

（Ⅰ）若过点O的平面与平面ACD平行，分别与 棱DB,CB相交于M,N，在图中画出该截面多边 形，并说明点M,N的位置（不要求证明）； （Ⅱ）求点C到平面ABD的距离.

D C A O B 19.（本小题满分12分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：

现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为

未注射疫苗 注射疫苗 合计 未发病 20 30 50 发病 合计 2． 5x y 50 A B 100 （Ⅰ）求22列联表中的数据x，y，A，B的值； （Ⅱ）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？ 附：2n(adbc)2 (ab)(ac)(cd)(bd)P(X2K0) 0.05 0.01 0.005 7.879 0.001 10.828 K0 3.841 6.635

20.（本小题满分12分）

0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O 未注射 注射

x2y2已知椭圆221(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|6，直线

abykx与椭圆交于A，B两点．

（Ⅰ）若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若k2，且A,B,F1,F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；

4（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设P(x0,y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1(2,1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围. 21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)12xalnxb(aR). 2（Ⅰ）若曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30，求实数a，b的值； （Ⅱ）若x1是函数f(x)的极值点，求实数a的值；

（Ⅲ）若2a0，对任意x1,x2(0,2]，不等式|f(x1)f(x2)|m|的最小值．

11|恒成立，求mx1x2请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M. (Ⅰ)证明：AB//CD；

(Ⅱ)证明：ACMDBDCM. T

N

A B

C D M

23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2. (Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程；

(Ⅱ)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M,N,切点为T.求TMTN的取值范围.

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知命题“abc，

11t”是真命题，记t的最大值为m， abbcac14命题“nR，nsinncosm”是假命题，其中(0,2).

(Ⅰ)求m的值； (Ⅱ)求n的取值范围.

2016年沈阳市高三教学质量监测（一）

数学（文科）参与评分标准

说明：

一、解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（每题给出一种解法仅供参考）

1.A 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.B 10.C 11. C 12.D 1．A 试题分析：z21i，在复平面内复数z对应点的坐标为(1,1)，在第一象限. 1i考点：复数的概念，复数的运算，复数的几何意义.

2．D 试题分析：因为Q{x|x3x20}{x|1x2}，P{0,1,2}，所以PIQ{1,2}． 考点：集合的概念，集合的表示方法，集合的运算，一元二次不等式的解法．

2S532. 55考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等差数列的性质.

logx，x01124．C 试题分析：因为fx即ff(4)f(2). x93，x03．A 试题分析：根据等差数列的性质，S55a3，所以a3考点：分段函数求值，指数运算，对数运算.

5．B 试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽几何体如右图所示．这是一个三棱柱. 考点：三视图，棱柱、棱锥、棱台的概念.

6．D 试题分析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜直线方程的斜截式得，yx3，即xy30，故选D.

考点：圆的标准方程，两条互相垂直直线斜率之间的关系，直线的方程. 7．B 试题分析：当a1，b2时， a相等．可得

率为1，由

(1)(2)26；当a2，b2时，

a2(2)46；当a4，b2时， a(4)(2)86，此时输出a8，

故选B.

考点： 程序框图的应用.

8．B 试题分析：依题意可得10(0.0050.010.02a0.035)1，解得a0.03，故身高在

[120,130），[130,140],[140,150]三组内的学生比例为3:2:1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.

考点： 统计的知识，分层抽样的方法，识别图表的能力.

9. B 试题分析：由函数ylogaxa0,且a1的图象可知，a3, 所以y3x，

y(x)3x3及ylog3(x)均为减函数，只有yx3是增函数，选B.

考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.

10．C 试题分析：如图所示，设点O是内切球的球心，正四面体棱长为a，

由图形的对称性知，点O也是外接球的球心．设内切球半径为r，外接球半径为R．

222在Rt△BEO中，BOBEEO，即R(2322a)r， 3又Rr6a，可得R3r，S1:S2R2:r29，故选C. 3(或由等体积法设内切球半径为r，外接球半径为R，正四面体的侧面积为S，易有

11S(Rr)4Sr，有R3r) 33考点：正四面体的定义，正四面体与球的位置关系，球的表面积.

11. C 试题分析：（解法一）如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所

o以直线AB的倾斜角为60，直线AB的方程为y3(x1)，

联立直线AB与抛物线的方程可得：

123y3(x1))， ，解之得：A(3,23)，B(,233y4x所以AB123216(3)2(23)，

333而原点到直线AB的距离为d32，

所以SAOB143ABd，故应选C． 23o当直线AB的倾斜角为120时，同理可求. （解法二）如图所示，设|BF|m，

则|AD||AF|3m，|AG|3m 2834，又|CD||BE|，

33又|AD||AG|2|OF|2，故m所以SAOB143OF|CD|，故应选C． 23考点： 抛物线的简单几何性质； 直线与抛物线的相交问题. 12．D 试题分析：根据题意，设函数g(x)f(x)f'(x)x2f(x)，当时，g'(x)0，x023xx说明函数g(x)在(0,)上单调递减，又f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，又f(1)0，所以

g(1)0，故g(x)在(1,0)U(0,1)的函数值大于零，即f(x)在(1,0)U(0,1)的函数值大于零.

考点：函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数解决问题，利用导数研究函数的性质. 二.填空题（每题给出一种解法仅供参考）

13.3 14.2 15． [,)（写成(,)也给分） 16.e5

13.3 试题分析：不等式组所表示的平面区域如图：目标函数（虚线）在点B(3,0)处取得最大值

1212zmax3.

考点：线性规划.

14．2 试题分析： (解法一) uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuurACBE(ABAD)(BCCE)(ABAD)(ADAB) 2uuur21uuur2ADAB422.

2(解法二)

以A为原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立直角坐标系，

uuuruuuruuuruuurAC(2,2),BE(1,2)，ACBE2.

考点：向量数量积

15． [,)（写成(,)也给分）

1212试题分析：函数f(x)2xlnx的定义域为(0,)，

f'(x)2

10，所以函数x1f(x)2xlnx的单调递增区间为[,).

2考点：利用导数研究具体函数的单调性．

16. e5 试题分析：AF6，BF8，cosBAF3，由余弦定理可求得AB10，5BFA90，将A，B两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知，2c10，利用双曲线定义，2a862，所以离心率e5.

考点：双曲线的定义，双曲线的离心率，余弦定理. 三.解答题 17.

（Ⅰ）f(x)1cosx3sinx2cos(x所以cos(x3)1, …………3分

3)1，即x32k，x2k3(kZ)时，

函数f(x)的最大值为3， …………5分 此时相应的x的取值集合为{x|x2k（或f(x)2sin(x3,kZ}. …………6分

6)1相应给分）

（Ⅱ）f(x)2cos2xxx23sincos2222cos2xxx23sincos222. ………10分

xxcos2sin222223tan1tan2x2x2 …………11分

8+43. …………12分 5考点：同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换，二倍角公式，辅助角公式，三角函数的性质. 18．（Ⅰ）当M为棱DB中点，N为棱BC中点时，平面a∥平面ACD.…………6分

（Ⅱ）因为CDAC，CDBC，

所以直线CD平面ABC， …………8分

ADAC2CD212122, BDBC2CD2312.

又ABAC2BC2132.

所以ABBD，……………………………………9分 设点E是AD的中点，连接BE，则BEAD,

所以BEAB2AE222(2/2)214， 2SABD11147ADBE2. 2222又VCABDVDABC， 而SABC113ACBC13， 222设点C到平面ABD的距离为h，则有SABDh131SABCCD， ……10分 3即217321h1，∴h，即点C到平面ABD的距离为. ……12分 2277考点：空间垂直关系的转化与证明，点到面的距离，线面平行，面面平行问题.

19． （Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A，

y302，所以y10，B40，x40，A60． ………5分 10002101（Ⅱ）未注射疫苗发病率为，注射疫苗发病率为．

603404由已知得P(A)发病率的条形统计图如图所示，由图可以

看出疫苗影响到发病率． …………10分

100(20103040)2（Ⅲ）…11分

50504060

210000005016.6710.828．

5020603所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.

…………12分

未注射 注射

考点：性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价． 20．（Ⅰ）由题意得c3， …………1分根据2a2c16，得a5． …………2分 结合abc，解得a25,b16.…………3分

222220.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O 0.66 0.25 x2y2所以，椭圆的方程为1． …………4分

2516x2y21,122a2b2222（Ⅱ）(解法一)由 得(ba)xab0．

8y2x,4a2b2设A(x1,y1),B(x2,y2)．所以x1x20,x1x2， …………6分

1b2a28由AB、EF互相平分且共圆，易知，AF2BF2，

uuuuruuuur因为F2A(x13,y1)，F2B(x23,y2)，

uuuuruuuur1所以F2AF2B(x13)(x23)y1y2(1)x1x290．

8a2b28, 即 x1x28，所以有122ba8结合b9a．解得a12，所以离心率e（若设A(x1,y1),B(x1,y1)相应给分）

(解法二)设A（x1,y1），又AB、EF互相平分且共圆，所以AB、EF是圆的直径，

2223． ………8分 222x1y19222x1 所以x1y19，又由椭圆及直线方程综合可得：y1422x1y11a2b2前两个方程解出x18,y11，…………6分

将其带入第三个方程并结合baca9，解得：a12，e22222223. …8分 2x2y21， …………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）结论，椭圆方程为123由题可设A(x1,y1),B(x1,y1)，k1y0y1yy,k201，

x0x1x0x1

y02y12…………10分 所以k1k222，x0x1x02x123(1)3(1)y02y1212121 ,k1， 又2即24k1x0x12x02x124由2k11可知，11k2. …………12分 84考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题. 21．（Ⅰ）∵f(x)12axalnxb，∴f'(x)x， …………2分 2x∵曲线yf(x)在x1处的切线的方程为3xy30， ∴1a3，f(1)0,∴a2，

11b0，∴a2，b. ……4分 22（Ⅱ）∵x1是函数f(x)的极值点，

∴f(1)1a0，∴a1； …………6分 当a1时，f(x)''12xlnxb，定义域为(0,)， 21x21(x1)(x1)f(x)x，xxx

当0x1时，f'(x)0，f(x)单调递减，

当x1时，f'(x)0，f(x)单调递增，所以，a1. …………8分 （Ⅲ）因为2a0，0x2 ， 所以f'(x)xa0，故函数f(x)在(0,2]上单调递增， x不妨设0x1x22，则|f(x1)f(x2)|m|11|， x1x2可化为f(x2)mmf(x1)， …………10分 x2x1m12mxalnxb，则h(x1)h(x2)． x2xam'所以h(x)为(0,2]上的减函数，即h(x)x20在(0,2]上恒成立，

xx设h(x)f(x)等价于xaxm0在(0,2]上恒成立，即mxax在(0,2]上恒成立，

33又2a0，所以ax2x，所以xaxx2x， 而函数yx2x在(0,2]上是增函数，

所以x2x12（当且仅当a2，x2时等号成立）.

所以m12．即m的最小值为12. …………12分

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值，恒成立问题，及参数取值范围等内容．

22．（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTBTAB, ……………3分 同理，NTBTCD,所以，TCDTAB, 所以，AB//CD. ……………5分 （Ⅱ）连接TM、AM,

T 因为CD是切内圆于点M，

所以由弦切角定理知，CMAATM，

又由（Ⅰ）知AB//CD，

所以，CMAMAB，又MTDMAB, 所以MTDATM. ……………8分

3333NA B C D M MDTD在MTD中,由正弦定理知, , sinDTMsinMCTC在MTC中,由正弦定理知, ,因TMC, sinATMsinTMCMDTDTDBD所以,由AB//CD知, MCTCTCACMDBD所以,即, ACMDBDCM.…………………………………10分 MCAC222y 23．（Ⅰ）依题,因xy, 所以曲线C1的直角坐标下的方程为xy1,

所以曲线C2的直角坐标下的方程为x(y1)1,…3分 又ysin，所以2sin0,

即曲线C2的极坐标方程为2sin.…………………5分

(Ⅱ)由题令T(x0,y0)，y0(0,1]，切线MN的倾斜角为，所以切线MN的参数方程为:

22222T o x

xx0tcos(t为参数). ……………………………7分 yytsin02联立C2的直角坐标方程得,t2(x0cosy0sinsin)t12y00 , …8分

即由直线参数方程中,t的几何意义可知,

TMTN12y0，因为12y0[1,1)所以TMTN[0,1]. …………10分 (解法二)设点Tcos,sin，则由题意可知当0 时，切线与曲线C2相交，

,时斜线的倾斜角为，则切线MN的参数方程为： 由对称性可知，当0 22xcostcoscostsin2（t为参数），…………………7分 ysintsinsintcos2与C2的直角坐标联立方程，得t2cost12sin0，…………………8分 则TMTNt1t212sin,

2,，所以TMTN0,1. …………………10分 因为0 2此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.

11t”是真命题， abbcac11t所以abc，恒成立， abbcac11又abc，所以t(ac)()恒成立，

abbc11所以，t[(ac)()]min.…………………………3分

abbc1111)(abbc)() 又因为(ac)(abbcabbcbcab24，“”成立当且仅当bcab时.

abbc24．（Ⅰ）因为“abc，

因此，t4，于是m4. ……………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“nR，nsinncosm”是假命题， 所以“nR，nsinncos142”是真命题. ………………7分

因为nsinncosnsincosnsincos因此，nsinncos即，n

2（(0,)），

22，此时sincos2，即4时. ……8分

222.…………10分 n2，由绝对值的意义可知，n222