四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(理)试题 Word版含答案

考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项． 1.命题“xR,|x|x20”的否定是（ ）

A.xR,|x|x20 B. xR,|x|x20 C. x0R,|x0|x00 D. x0R,|x0|x00 2．设集合A{x||x1|2}，B{y|y2x,x[0,2]}，则AA．[0,2] B. [1,3) C. (1,3) D.(1,4) 3．在极坐标系中，过点(2,A．ρ2 B.θ

22B（ ）

2)且与极轴平行的直线方程是（ ）



C. ρcosθ2 D.sin=2 2

4.已知实数x,y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是（ ） A．x3y3 B. sinxsiny C. ln(x21)ln(y21)

D.

11 22x1y15.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6. 对于函数f(x)，若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A． f(x)cos(x1)

D.f(x)x

3正（主）视图侧（左）视图俯视图B.f(x)x C. f(x)tanx

7.执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

1

xy708.设x,y满足约束条件x3y10，则z2xy的最大值为（ ）

3xy50A.10 B.8 C.3 D.2

9． 如图，设P为正四面体ABCD表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P

A 有（ ）

A．4个 B.6个 C. 10个

10.设函数fx3sinx.若存在fx的极值点x0满足

D.14个

B C

D

m. P 2x02fx0m，则m的取值范围是（ ）

2 A. ,66, B. ,22, C. ,44, D.,14,

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.设向量a,b满足|ab|10,|ab|6,则ab

cosC12.设△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且a=1，b=2，则sinB

1， 42y21的左顶点为13. 已知抛物线y2px(p0)上一点M（双曲线x1，m)到其焦点的距离为5，

aA，若双曲线一条渐近线与直线AM垂直，则实数a=

214.随机地向半圆0y2axx2（a为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于

/4的概率为 .

15、设函数f(x)在其定义域D上的导函数为f(x)，如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的

x∈D，都有h(x)>0，使得f/(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质(a)，给出下列四个

函数： ①f(x)=1324x-x+x+1； ②f(x)=lnx+； 3x+12xx2+x③f(x)=(x-4x+5)e； ④f(x)=

2x+12

其中具有性质(2)的函数

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 已知函数f(x)sin2x(sinxcosx)．

cosx（Ⅰ）求函数f (x)的定义域及最大值；

（Ⅱ）求使f(x)≥0成立的x的取值集合．

17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25，第2组25,30，第3组30,35，第4组35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

第（17）题图

PD平面ABCD，PDCDBC2AD,AD//BC,BCD90. 18.在四棱锥PABCD中，

P

3

DABC

19.已知等差数列{an}为递增数列，且a2,a5是方程x12x270的两根，数列{bn}的前n项和

21Tn1bn;

23nbn（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若cn，求数列{cn}的前n项和Sn. anan1

x2y2x2y220．巳知椭圆M:221(ab0)的长轴长为42，且与椭圆1

ab24有相同的离心率. (I )求椭圆M的方程；

(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在，说明理由.

21. 已知函数f(x)是奇函数，f(x)的定义域为(,)．当x0时，f(x)ln(ex)．这x里，e为自然对数的底数．

1(1)若函数f(x)在区间(a,a)(a0)上存在极值点，求实数a的取值范围；

3k(2)如果当x≥1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围；

x11n12(3)试判断 ln与2n的大小关系，这里nN*,并加以证明． n1n1234

成都七中2015届零诊模拟考试数学试卷(理科)

考试时间：120分钟 命题:张祥艳 审题：廖学军

二、

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. C 2． B 3． D 4. A 5. D 6. A 7. D 8. B 9． C 10. B

13.

1 41114. 

215、①② ③

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每小题12分，20题13分，21题14分） 16. 解：（Ⅰ） cosx≠0知x?kpp，k∈Z， 2即函数f (x)的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}．„„„„„„„„„3分 又∵ f(x)2sinxcosx(sinxcosx)1cos2x2sin2x2sinxcosx2sin2x

cosx21(sin2xcos2x)

12sin(2x)，

4∴ f(x)max12．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分

5

2ππ（II）由题意得12sin(2x)≥0，即sin(2x)≤，

244π9π3π解得2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，

444π整理得kπ≤x≤kππ，k∈Z．

4结合x≠kπ，k∈Z知满足f(x)≥0的x的取值集合为

{x|kπ17.解： (1)

第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数

为0.1×100=10. „„„„3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第3组:

302010×6=3; 第4组:×6=2; 第5组:×6=1. 606060π≤x≤kππ且x?kp4p，k∈Z}．„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 2所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. „„„„6分

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有: (A1,A2),

(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. „„„„8分 其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种,„„„10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

18. 证明：(Ⅰ)在四棱锥PABCD中，因为PD平面ABCD，BC平面ABCD,

所以PDBC. 因为BCD90， 所以BCCD.

因为PD93=.„„„„12分 155DCD, 所以BC平面PCD.

2.

因为PC平面PCD,所以BCPC. „„„4分

DCDBC(Ⅱ) 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz. 不妨设AD1，则P则D(0,0,0),A(1,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2).

6

uuruuruuur 所以PA(1,0,2)，PB(2,2,2),PC(0,2,2).

z 设平面PBC的法向量n(x,y,z).

Puur2x2y2z0,nPB0, 所以 uuu.即. r2y2z0nPC0 令y1，则x0,z1.

FEDAxBCyuur 所以n(0,1,1) 所以cosPA,n210 552所以PA与平面PBC所成角的正弦值为10. „„„8分 5 所

以DFPC. 因为BC平面PCD， 所以DFBC.

因为PCIBCC, 所以DF平面PBC. 所以AE平面PBC. 即在线段PB上存在点E,使AE平面PBC.

uuruur （法二）设在线段PB上存在点E,当PEPB(01)时，AE平面PBC.

uur 设E(x0,y0,z0)，则PE(x0,y0,z02).所以(x0,y0,z02)(2,2,2).

即x02,y02,z022.所以E(2,2,22).

uuur所以AE(21,2,22).由(Ⅱ)可知平面PBC的法向量n(0,1,1). uuuruuur1若AE平面PBC，则AE//n.即AEn.解得,1.

2uur1uur所以当PEPB，即E为PB中点时，AE平面PBC. „„„12分

2

19.已知等差数列{an}为递增数列，且a2,a5是方程x12x270的两根，数列{bn}的前n项和

27

1Tn1bn;

2

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

3nbn（2）若cn，求数列{cn}的前n项和Sn.

anan1

20．巳知椭圆有相同的离心率. (I )求椭圆M的方程；

(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与M有两个交点A、B，且圆的方程，并求

的取值范围，若不存在，说明理由.

？若存在，写出该

的长轴长为

，且与椭圆

8

21.

解：x>0时，f(x)f(x)ln(ex)1lnx ………2分

xx9

（1）当x>0时，有f(x)1x(1lnx)1lnx xx2x2f(x)0lnx00x1；f(x)0lnx0x1

所以f(x)在（0，1）上单调递增，在(1,)上单调递减，函数f(x)在x1处取得唯一的极值．由题意a0，且a1a1，解得所求实数a的取值范围为2a1 …4分 33（2）当x1时，f(x)k1lnxkk(x1)(1lnx)

x1xx1xxln)，由题意，kg(x)在1,上恒成立 令g(x)(x1)(1x(1)x g(x)(x1)(1lnx)x(x1)(1lnx)xxlnx

x2x2 令h(x)xlnx(x1)，则h(x)110，当且仅当x1时取等号．

x 所以h(x)xlnx在1,上单调递增，h(x)h(1)10．……6分 因此，g(x)h(x)0 g(x)在1,上单调递增，g(x)ming(1)2．

x2 所以k2．所求实数k的取值范围为,2 …………………8分 （3）(方法一)由（2），当x1时，即f(x) 从而lnx1令xk1(k1,2,k22 ln1,

12ln322， 12321lnx2，即．

x1xx1221．………..10分 x1x,n)，得

……

lnn112n

nn1 将以上不等式两端分别相加，得

123n

ln(n1)n2()234n11123nln2()n ………………………14分

n1234n1（方法二）n1时，ln1n12ln2< 2n110 n1n12310

猜想ln1n12*2n对一切nN成立。 n1n123欲证ln1n12*2n对一切nN成立， n1n123n12只需证明 ln(n1)n2

23n1nn2k112而ln(n1)ln，n21

n1k1k1k23k1n

11