华杯赛小高近5年真题(附详解)19A

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）

一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）

1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行．

A．0

2. 某次考试有50道试题，答对一道题得3分，答错一道题扣1分，不答题不得分．小龙得分120分，那么小

龙最多答对了（ ）道试题． A．40

3. 用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形．若在右下图的16个方格分别填入1，3，5，

7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是（ ）．

B．42

C．48

D．50

B．2

C．3

D．4

A．4

4. 小明所在班级的人数不足40人，但比30人多，那么这个班男、女生人数的比不可能是（ ）．

A．2:3

5. 某学校组织一次远足活动，计划10点10分从甲地出发，13点10分到达乙地，但出发晚了5分钟，却早到

达了4分钟．甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时间到达的，那么到达丙地的时间是（ ）． A．11点40分

6. 如右图所示，AF7cm，DH4cm，BG5cm，AE1cm．若正方形ABCD内的四边形EFGH的面积为

78cm2，则正方形的边长为（ ）cm．

B．11点50分

C．12点

D．12点10分

B．3:4

C．4:5

D．3:7

B．5

C．6

D．7

A．10

B．11

C．12

D．13

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二、填空题（每小题10分，满分40分）

7. 五名选手A，B，C，D，E参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，

5个编号之和等于35．已知站在E右边的选手的编号和为13；站在D右边的选手的编号和为31；站在A右边的选手的编号和为21；站在C右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是________．

8. 甲乙同时出发，他们的速度如下图所示，30分钟后，乙比甲一共多行走了________米．

米/分1008060402051015202530甲分1008060402051015202530乙分米/分

9. 四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成________种不同的2×2×2的正方体（经过旋

转得到相同的正方体视为同一种情况）．

10. 在一个圆周上有70个点，任选其中一个点标上1，按顺时针方向隔一个点的点上标2，隔两个点的点上标

3，再隔三个点的点上标4，继续这个操作，直到1，2，3，…，2014都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数，那么标记了2014的点上标记的最小整数是________．

2 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）

第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）

答案解析

1. 【答案】 C

【解析】 当4条直线都互相平行时，平面被分成5个部分，不满足要求，因此最多只能3条直线互相平行．构

造：有3条直线互相平行，另外一条直线与它们都互相垂直，此时平面被分成8个部分．

2. 【答案】 B

【解析】 得分120分，说明至少需要答对40道题，其余10道题不答，满足题意．若答对41道题，答错3道题，

其余题不答，此时得分也是120分．若答对42道题，答错6道题，其余题不答，此时得分也是120分．若答对43道题，得分依然为120分，需要再答错9道题，此时至少需要有52道题，52>50，因此不满足题意．

3xy120另一解答：设作对x题，做错y题，未答z题，则有：

xyz50合并两个等式，得到：4x170z, x42最多答对42道试题．

3. 【答案】 A

2z，x是非负整数，尽可能大，故z2, x42，即小龙4【解析】 如左下图，用M，N，P，Q标记16个方格图最下面4个方格，

因为135716，所以ABMN16，即ABMNCDPQ3CDPQ16，2．又因为MNPQ16，所以ABCD321616．右上图是一种满足要求的填法，且A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．

4. 【答案】 D

【解析】 如果男、女生人数的比是2:3，那么全班人数一定是5的倍数，男生14人，女生21人，满足题意．如

果男、女生人数的比是3:4，那么全班人数一定是7的倍数，男生15人，女生20人，满足题意．如果男、女生人数的比是4:5，那么全班人数一定是9的倍数，男生16人，女生20人，满足题意．如果男、女生人数的比是3:7，那么全班人数一定是10的倍数，但本班人数不足40人，但比30人多，所以男、女生人数的比不可能是3:7．

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5. 【答案】 B

【解析】 从10点10分到13点10分共有3个小时，比计划时间少用9分钟，即每小时少用3分钟，少用5分

钟的时候即是到达B点的时间．此时需要5(360)100分钟，即1小时40分钟，所以到达B点的时间是11点50分．

6. 【答案】 C

【解析】 用竖直线和水平线将正方形ABCD分割为如右图所示的5个长方形，中间长方形的面积是4312，

所以，正方形的面积7812212144，正方形的边长是12．

7. 【答案】 11

【解析】 由于31＞21＞13＞7，说明A在D的右边，E在A的右边，C在E的右边．由于，站在C右边的选手

的编号和为7，推出B站在C的右边．因此，D是最左侧的选手，B是最右侧的选手．所以，B，C，E，D和A的选手编号分别为7，6，8，4，10．B与D的选手编号和为11．

8. 【答案】 300

【解析】 由图所示，前10分钟，甲和乙速度相同；第10分钟至第20分钟，乙速度是100米/分，甲的速度是80

米/分，故乙多走了200米；第20分钟至第30分钟，乙的平均速度是80米/分，甲的平均速度是70米/分，故乙多走了100米；乙共计多走了300米．

9. 【答案】 7

两个正方体各有一个侧面相互完全贴合，则称为两个正方体有公共侧面，以公共侧面个数分类枚举： （1） 4个黑色正方体，每个与其他黑色正方体都没有公共侧面，此时只有1种2×2×2的正方体，如图5a

（是何道理，请读者思考）；

（2） 4个黑色正方体，每个最多与一个黑色正方体之间有公共侧面，且至少有1个黑色正方体和某个黑

色正方体有公共侧面，此时只有1种2×2×2的正方体，如图5b（是何道理，请读者思考）； （3） 4个黑色正方体中，至少有1个黑色正方体和另两个黑色正方体有公共侧面的情况：

①有1个且只有1个黑色正方体与另两个黑色正方体之间都有公共侧面，此时只有1种2×2×2的正方体，如图5c-1；

②有2个且只有2个黑色正方体，每个与另两个黑色正方体之间都有公共侧面，此时有2个2×2×2的正方体，如图5c-2和图5c-3，且正如图中的标记，图5c-2中的4个黑色正方体，从有1个公共

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第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题A（小学高年级组）

侧面黑色正方体到有2个公共侧面的黑色正方体是逆时针，而图5c-3则是顺时针，则图5c-2和图5c-3不可能旋转后相同；

③显然，不可能有且仅有3个黑色正方体，每个都和另两个都有公共侧面；

④有4个黑色正方体，每个都和另两个黑色正方体有公共侧面，此时，有1种2×2×2的正方体，如图5c-4；

图5c-1至图5c-4显然是不同的2×2×2的正方体．

（4） 4个黑色正方体中，有1个黑色正方体和其余3个黑色正方体都有公共侧面，此时，只有1种2×2×2

的正方体，如图5d．

共有7种2×2×2的正方体，除此之外，别无其他不同类型2×2×2的正方体．

图5a 图5b 图5c-1 图5c-2 图5c-3 图5c-4 图5d

10. 【答案】 5

【解析】 将70个点中某个点为起始点，然后按顺时针方向依次将这70个点记为第1个，第2个，第3个，…，

第70个．

第一种方法：用ai表示第i个点上标记的数字． 依题意 a1=1, a3=2, a6=3, a10=4,1232014，…，且按规律得：ak=2014，这里k是

201420152029105289877015，即： a155．2029105除以70的余数，

2因此第15个点上标记的最小整数为5．

第二种方法：用ai表示第ai个点上标记的数字是i． 依题意 a1=1, a2=3, a3=6, a4=10,a20141232014，…，且按规律得：

201420152029105，2029105289877015，a515． 2因此第15个点上标记的最小整数为5．

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