考点05 奇偶性(讲解)(解析式)

考法一：奇偶性的判断1.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,上递增的是（A．y2

x

）B．ylnx

C．yx31D．yx

1x【答案】C【解析】对A,y2x为偶函数.故A错误.对B,ylnx为非奇非偶函数函数,故B错误.对C,yx3为奇函数且在0,上递增.故C正确.对D,yx

11

为奇函数但在0,先减再增,故D错误.故选：Cx）D．fx

上是增函数的是（2.下列函数是偶函数，且在0，

A．fx＝x2x

2B．fx＝x

2

C．fx＝x

x1

x1【答案】C【解析】对于A:f(x)x22x,f(x)(x)22(x)x22x,所以f(x)不是偶函数;对于B:f(x)x2,f(x)(x)2x2f(x),f(x)是偶函数,但是根据幂函数的性质可知,f(x)在(0,)上是减函数;对于C:f(x)|x||x|f(x),f(x)是偶函数,当x0时f(x)x在(0,)上是增函数,符合题意;对于D:f(x)

x1x11

,所以f(x)不是偶函数,故选:C.x1x1f(x)考点二：利用奇偶性求解析式1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝x2－4x，x>0，【答案】0，x＝0，－x2－4x，x<0【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x.________.x2－4x，x>0，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，则f(x)＝－x2－4x(x<0)，∴f(x)＝0，x＝0，－x2－4x，x<0.2.已知f(x)是偶函数,若当x0时,f(x)exlnx,则当x0时,f(x)【答案】exln(x).【解析】当x0时,f(x)exlnx，f(x)是偶函数当x0时，则x0，f(x)f(x)exln(x)所以当x0时，f(x)exln(x)

考点三：求参数1．若函数f(x)

5x

为奇函数,则a=(4x3)(xa).【答案】345x5x

【解析】由函数f（x）为奇函可得，f（﹣x）=﹣f（x）∴=，4x3xa4x3xa∴﹣5x（4x﹣3）（x+a）=﹣5x（4x+3）（x﹣a）∴（4a﹣3）x2=0∴4a﹣3=0即a=3

4.2

2．若函数f(x)axbx1是定义在[a2,3a2]上的偶函数,则fx的值域为【答案】1,2【解析】依题意fx为偶函数，所以a23a20，解得a1，所以fxxbx1.另2fxfx，即x2bx1x2bx1，2bx0,b0，所以fxx211x1，根据二次函数的性质可知，当x1时，函数fx有最大值为2，当x0时，函数fx有最小值为1.所以函数fx的值域为1,2.x2

是奇函数，则f(a1)3.若函数f(x)xax22【答案】-。23a【解析】由fxfx得2

2

x2x2x2x，∴a0，∴fa1f1

2.312xa2xf(1)f()4.已知函数f(x)为偶函数，则(aR)

2x【答案】。3222xa2x【解析】由题意，函数fx为偶函数，又由函数yx为奇函数，x所以函数gx2a2为奇函数，则g01a0，得a1，x

x

所以fx

22xxx，得f1

3,f2121f2

212222，所以f1f

132。22

考点四：奇偶性与单调性的综合x2x

1．已知函数fx为偶函数，当x0时，fxxx，则（42A．f2f9.1C．f2f3【答案】D）0.2

f30.30.2

B．f3

0.3

f9.1f20.2

0.3

f9.12

D．f9.1

0.2

f3f20.3

x11xln2x2xx11

【解析】fxxxx，令gxxx0，gx.x22242224当0xlog2e时，gx0，gx单调递增；当xlog2e时，gx0，gx单调递减.因为g1g20，所以当0x1时，gx0，且gx单调递增.又09.10.290.230.430.31，所以g9.1

0.2

g3g10，0.2

fxgx

2

11

在,0上单调递减，且fxmin44f2f2g22

11

故f9.10.2f30.2f2.故选：D4453

,bf,cf(3)，则a,b,c的大小关系为22

2．已知函数g(x)exex，f(x)xg(x),若af（）B．c3．已知函数f(x)ex2,且f(3a2)f(a1)，则实数a的取值范围是355

fff(3)，222

.【答案】,





13,24

x2【解析】因为fxex，所以f(x)f(x), fx为偶函数，因为当x0时，fx单调递增，所以f3a2fa1等价于f3a2fa1，即3a2a1，9a212a4a22a1,8a210a30a

31或a，424．已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递增，若对于任意xR，flog2afx22x2恒成立，则a的取值范围是【答案】,2

2.1



22【解析】因为f(x)是偶函数，所以不等式f(log2a)f(x2x2)可化为f(log2a)f(x2x2)，2

又f(x)在[0,)上单调递增，所以log2ax2x2，而x22x2(x1)21的最小值为1，所以log2a1，1≤log2a≤1，解得1

a2．25.已知函数yfx是R上的奇函数，且在区间0,单调递增，若f20，则不等式xfx0的解集是__．【答案】2,00,2【解析】函数yfx是R上的奇函数，在区间0,单调递增∴函数fx在,0上单调递增，且f00，∵f2f20，即f20．∴当x2时，fx0，当2x0时，fx0，当0x2时，fx0，x0x0当x2时，fx0，那么：xfx0，即或，fx0fx0∴得：2x0或0x2．故答案为：2,00,2．2x16．若函数f(x)3xsinx，则f(2019)f(2019)

21【答案】8【解析】由题意得：fx3

.22x122x1sinx5

2

sinxx21222x

fx5xsinx5sinx

2112xfxfx1028f2019f20198

9．已知f（x）是定义在[m，n]上的奇函数，且f（x）在[m，n]上的最大值为a，则函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为【答案】6【解析】因为奇函数f（x）在[m，n]上的最大值为a，所以它在[m，n]上的最小值为－a，所以函数F（x）＝f（x）＋3在[m，n]上的最大值与最小值之和为a＋3＋（－a＋3）＝6..2019x13

10．已知a0,设函数f(x)(x[a,a])的最大值为M,最小值为N,那么MN=.x20191【答案】20222019x13201620162019x【解析】由题可知f(x)，f(x)20192019xx20191201912019x1fxfx201620162109x

2019x120162022，f(x)2019

2016

在x[a,a]为增函数，M+Nfa+fa2022x20191