三角、反三角函数图像及性质与三角公式

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1.六个三角函数值在每个象限的符号：

sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα

2.三角函数的图像和性质：

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2-2y1-1y--2-32-2o3222523724x

y=cosx-4-72-5-321-1o2322523724x

yy=tanxyy=cotx-32--2o232x--2o2322x 函数 定义域 y=sinx R y=cosx R y=tanx ｛x｜x∈R且x≠kπ+

y=cotx ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝ ,k∈Z｝ 2［-1，1］x=2kπ+值域 ymax=1 ［-1,1］  时x=2kπ时y=1 max2R x=2kπ+π时ymin=-1 周期为2π 偶函数 x=2kπ- 时ymin=-1 2 周期为2π 奇函数 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期为π 奇函数 1 / 5

周期性 奇偶性 周期为π 奇函数 在［2kπ-π，2kπ］,2kπ+ ］上都是增函数；在(kπ-，222在［2kπ，2kπ+π］上都是增函数；在单调性 kπ+)内都是增上都是减函数22［2kπ+ ,2kπ+π］(k∈Z) 函数(k∈Z) 23在［2kπ-上都是减函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z) 3.反三角函数的图像和性质：

arcsinx arccosx

名称 定义 理解

arctanx arccotx

反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 y=sinx(x∈y=cosx(x∈y=tanx(x∈(- , 〔0,π〕)的反函2〔-, 〕的反函数，叫做反余弦22 )的反函数，叫函数，记作数，叫做反正弦函2数，记作x=arsiny x=arccosy 做反正切函数，记作x=arctany arcsinx表示属于arccosx表示属arctanx表示属于于［0，π］，且［-,］ (-,)，且正切值余弦值等于x的2222且正弦值等于x的角 等于x的角 角 ［-1，1］ ［-［-1，1］ ［0，π］ (-∞，+∞) (-

反余切函数 y=cotx(x∈(0,π))的反函数，叫做反余切函数，记作x=arccoty arccotx表示属于(0，π)且余切值等于x的角 定义域 值域 性质 单调性 奇偶性 周期性 (-∞，+∞) (0，π) ，］ 22，) 22在〔-1，1〕上是增在［-1，1］上是函数 减函数 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx 都不是周期函数 在(-∞，+∞)上是增在(-∞，+∞)上是数 减函数 arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 2 / 5

恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈［-1，1］)arcsin(sinx)=x(x∈［-,］) 22cos(arccosx)=x(x∈［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈［0,π］) tan(arctanx)=x(x∈R)arctan(tanx)=x（x∈(-,)） 22cot(arccotx)=x(x∈R) arccot(cotx)=x(x∈(0,π)) 互余恒等式

arcsinx+arccosx=(x∈［-1,1］) 2arctanx+arccotx=(X∈R) 2arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2

sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=x x∈[0,π] arccos(cosx)=x x∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=x x∈(0, π) arccot(cotx)=x

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三角公式总表

1.正弦定理：

bca=== 2R（R为三角形外接圆半径） sinAsinBsinC

2222222222.余弦定理：a=b+c-2bccosA b=a+c-2accosB c=a+b-2abcosC

b2c2a2cosA

2bc

1111abc3.S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsinB==2R2sinAsinBsinC

22224Ra2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB====pr=p(pa)(pb)(pc)

2sinA2sinB2sinC1(其中p(abc), r为三角形内切圆半径)

2

4.同角关系：

cossin=sinsec ②ctgcoscsc cossin1tgcsc ③sincostg ④seccos1 ⑤cossinctg ⑥cscctgsec

sin⑵倒数关系：sincsccossectgctg1

222222⑶平方关系：sincossectgcscctg1

⑴商的关系：①tg=⑷asinbcos

a2b2sin() （其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且

tg

b） a5.和差角公式

)coscossinsin ①sin()sincoscossin ②cos(tgtg ④tgtgtg()(1tgtg)

1tgtgtgtgtgtgtgtg⑤tg() 其中当A+B+C=π时,有:

1tgtgtgtgtgtgABACBCi).tgAtgBtgCtgAtgBtgC ii).tgtgtgtgtgtg1

222222③tg()

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6.二倍角公式：(含万能公式)

①sin22sincos2tg1tg2 ②cos2cos2sin22cos2112sin21tg21tg2 ③tg22tg1tg2

④sin2tg21cos21cos21tg22 ⑤cos22

7.半角公式：（符号的选择由

2所在的象限确定） ①sin1cos21cos2 ②sin222 ③cos21cos2 ④cos21cos22 ⑤1cos2sin222 ⑥1cos2cos2 ⑦1sin(cos2sin2)2cos2sin2

⑧tg1cossin1cos21cos1cossin

8.积化和差公式：

①sincos12sin()sin()

②cossin12sin()sin()

③coscos12cos()cos() ④sinsin12cos()cos

9.和差化积公式：

①sinsin2sin2cos2

②sinsin2cos2sin2 ③coscos2cos2cos2 ④coscos2sin2sin2

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