贵州省贵阳一中2015-2016学年高二(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年贵州省贵阳一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科） 一．选择题

1．从一批产品中取出三件产品，设A为“三件产品全不是次品”，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A．B与C互斥 B．A与C互斥 C．任何两个均互斥

2．下列各数中，最小的数是（ ） A．111111（2）

3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）

B．105（8）

C．200（6）

D．75（10）

D．任何两个均不互斥

A．0

B．2 C．4 D．14

4．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（ ） A．

5．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x

甲

B． C． D．

，x乙，则下列正确的是（ ）

A．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲＜x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定 6．在区域A．

7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，2； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 关于上述样本的下列结论中，不正确的是（ ） A．①可能是分层抽样，也可能是系统抽样 B．②可能是分层抽样，不可能是系统抽样 C．③可能是分层抽样，也可能是系统抽样 D．④可能是分层抽样，也可能是系统抽样

8．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（ ） A．1

9．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin

，则（ ）

B．2

C．4

D．8

B．

内任意取一点P（x，y），则x2+y2＞1的概率是（ ） C．

D．

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

10．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A．（﹣，0）∪（0，+∞） B．（﹣，+∞） C．[﹣，0）∪（0，+∞）

11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜图象向右平移

）的部分图象如图所示，将f（x）的

D．（﹣，0）

个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ）

A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x

C．f（x）=sin（2x﹣） D．f（x）=sin（2x+）

12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣lgx的零点个数为（ ） A．6 二．填空题

13．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编

号 ， ， ， ． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 ．

14．程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入 ；

B．7

C．8

D．9

15．若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．

16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为 ．

三．计算题（共70分）

17．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 （Ⅰ）画出散点图； （Ⅱ）求回归直线方程；

（Ⅲ）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

（可能用到的公式： =， =﹣，其中、是对回归直线方程=a+bx中系

数a、b按最小二乘法求得的估计值）

18．已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，

（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C； （2）当|PQ|=2

19．已知函数f（x）=2sin（x+（1）求f（x）的值域；

（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=求cos（A﹣B）的值．

20．为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

，b=2，c=3，

）cosx．

时，求直线l的方程．

21．如图在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2点P是BM的中点，点Q在线段AC上且AQ=3QC （1）证明：PQ∥平面BCD；

（2）若∠BDC=60°，求二面角C﹣BM﹣D的大小．

，M是AD的中点，

22．对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{xn}． （1）若定义函数

，且输入

，请写出数列{xn}的所有项；

（2）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn；

（3）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=﹣1，求数列{xn}的通项公式xn．

2015-2016学年贵州省贵阳一中高二（上）第一次月考数学试

卷（理科）

参与试题解析

一．选择题

1．从一批产品中取出三件产品，设A为“三件产品全不是次品”，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A．B与C互斥 B．A与C互斥 C．任何两个均互斥

D．任何两个均不互斥

【考点】互斥事件与对立事件． 【专题】规律型；探究型．

【分析】本题中给了三个事件，四个选项都是研究互斥关系的，可先对每个事件进行分析，再考查四个选项得出正确答案

【解答】解：A为“三件产品全不是次品”，指的是三件产品都是正品，B为“三件产品全是次品”， C为“三件产品至少有一件是次品”，它包括一件次品，两件次品，三件全是次品三个事件

由此知，A与B是互斥事件，A与C是对立事件，也是互斥事件，B与C是包含关系，故选项B正确 故选B

【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关系是正确理解互斥事件与对立事件，事件的包含等关系且能对所研究的事件所包含的基本事件理解清楚，明白所研究的事件．本题是概念型题．

2．下列各数中，最小的数是（ ） A．111111（2）

B．105（8）

C．200（6）

D．75（10）

【考点】排序问题与算法的多样性． 【专题】计算题．

【分析】将四个选择支中的数均转化为十进制，比较其大小，即可得到结论． 【解答】解：111111（2）=1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1=63； 105（8）=1×82+0×81+5×1=77；

200（6）=2×62=72 ∵63＜72＜75＜77

∴最小的数是63，即111111（2）， 故选A．

【点评】本题考查的知识点是其它进制与十进制之间的转化，解答本题的关键是熟练掌握其它进制与十进制之间的转化法则．

3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（ ）

A．0 B．2 C．4 D．14

【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．

【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论． 【解答】解：由a=14，b=18，a＜b， 则b变为18﹣14=4，

由a＞b，则a变为14﹣4=10， 由a＞b，则a变为10﹣4=6， 由a＞b，则a变为6﹣4=2， 由a＜b，则b变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选：B．

【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．

4．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】等可能事件的概率． 【专题】计算题．

【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6种结果，而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有4种结果，根据概率公式得到结果 【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件是同时掷两枚骰子，共有6×6=36种结果，

而满足条件的事件是两个点数之和是5，列举出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4种结果，

根据古典概型概率公式得到P=故选B．

【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．

5．甲乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x

甲

=，

，x乙，则下列正确的是（ ）

A．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲＜x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定 【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差． 【专题】计算题；图表型．

【分析】根据茎叶图所给的两组数据，做出甲和乙的平均数，把两个人的平均数进行比较，得到乙的平均数大于甲的平均数，得到结论． 【解答】解：由茎叶图知，

甲的平均数是（72+77+78+86+92）/5=81， 乙的平均数是 （78+88+88+91+90）/5=87 ∴乙的平均数大于甲的平均数， 从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定， 故选C．

【点评】本题考查两组数据的平均数和稳定程度，这是经常出现的一个问题，对于两组数据通常比较他们的平均水平和稳定程度，注意运算要细心． 6．在区域A．

B．

内任意取一点P（x，y），则x2+y2＞1的概率是（ ） C．

D．

【考点】几何概型． 【专题】计算题． 【分析】由题意可得，区域

表示的是以1为边长的正方形OABC，其面积为1，而则x2+y2

＞1以1为半径，以原点为圆心的圆的外部且在正方形内的区域，求出其面积，代入几何概率公式可求

【解答】解：由题意可得，区域记“在区域

表示的是以1为边长的正方形ABCD，其面积为1

内任意取一点P（x，y），则x2+y2＞1”事件为A，则A包含的区域为正方形

内除去阴影部分，其面积为1﹣

P（A）=故选：C

=

【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的概率公式的应用，解题的关键是准确判断出各区域所对应的图象并求出面积．

7．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，2； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 关于上述样本的下列结论中，不正确的是（ ） A．①可能是分层抽样，也可能是系统抽样 B．②可能是分层抽样，不可能是系统抽样 C．③可能是分层抽样，也可能是系统抽样 D．④可能是分层抽样，也可能是系统抽样 【考点】系统抽样方法；分层抽样方法．

【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．

【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样． 【解答】解：观察所给的四组数据， ①，③可能是系统抽样或分层抽样，

②是简单随机抽样，

④一定不是系统抽样和分层抽样， 故选D．

【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．

8．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（ ） A．1

B．2

C．4

D．8

【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案． 【解答】解：∵数列{an}是各项不为0的等差数列， 由a4﹣2

+3a8=0，得

，

∴

则b7=a7=2．

又数列{bn}是等比数列， 则b2b8b11=故选：D．

【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．

9．若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin

，则（ ）

．

，解得：a7=2．

， ，

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．

【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0． 【解答】解：

，

由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0， 故选A

【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题．

10．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ） A．（﹣，0）∪（0，+∞） B．（﹣，+∞） C．[﹣，0）∪（0，+∞） 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】若设θ为与

的夹角，θ为锐角⇒cosθ＞0，且cosθ≠1，根据条件及两向量夹角的余

时，先求它的平方．

D．（﹣，0）

弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求【解答】解：=5+6λ+2λ2，∴设与cosθ=

；

的夹角为θ且θ为锐角，则：

=

＞0，且

=2）2+λ）=3λ+5，•（1，（1+λ，

∴解得：λ，且λ≠0．

．

∴实数λ的取值范围是故选A．

【点评】本题考查的知识点为：向量数量积的坐标运算，由坐标求模，向量夹角的余弦公式，不要漏了cosθ≠1的情况．

11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜图象向右平移

）的部分图象如图所示，将f（x）的

个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ）

A．f（x）=sin2x B．f（x）=﹣sin2x C．f（x）=sin（2x﹣） D．f（x）=sin（2x+）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质．

【分析】依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由

ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜

可求得φ，

从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向右平移

个长度单位，所得图象对应的函数解析式．

﹣

=

，

【解答】解：依题意，知A=1， T=∴T=又

=π，ω=2； ω+φ=2kπ+π（k∈Z），

（k∈Z），

∴φ=2kπ+又|φ|＜∴φ=

， ，

∴f（x）=sin（2x+），

个长度单位， ）+

]=sin（2x﹣

），

∴将f（x）的图象向右平移得y=f（x﹣故选：C．

）=sin[2（x﹣

【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．

12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（x﹣1），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣lgx的零点个数为（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】由f（x+1）=f（x﹣1），得f（x+2）=f（x），即函数y=f（x）的周期为2，作出函数y=f（x）和y=lgx的图象，利用数形结合法进行求解． 【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），

∴f（x+2）=f（x）， 即函数y=f（x）的周期为2， 当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1， 若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]， 则f（﹣x）=2﹣x﹣1，

∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（﹣x）=2﹣x﹣1=f（x）， 即f（x）=2﹣x﹣1，x∈[﹣1，0]， 作出f（x）的图象如图， 由g（x）=f（x）﹣lgx=0， 则f（x）=lgx，

函数y=f（x）的周期为2，

当x＞10时，y=lgx＞1，此时函数y=lgx与f（x）无交点， 由图象可知两个图象的交点个数为9个， 即函数g（x）=f（x）﹣lgx的零点个数为9个， 故选：D．

【点评】本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数形结合，本题属于中档题． 二．填空题

13．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号 301 ， 637 ， 169 ， 555 ． （下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 ． 【考点】收集数据的方法． 【专题】阅读型．

【分析】从随机数表第3行第6列的数3开始向右读第一个小于850的数字是390，第二个数字是737，也符合题意，第三个数字是924，大于850，舍去，以此类推，把大于850 舍去，把符合条件的写出来，得到这一个样本．

【解答】解：第8行第2列的数3开始向右读第一个小于850的数字是301， 第二个数字是637，也符合题意， 第三个数字是859，大于850，舍去， 第四个数字是169，符合题意， 第五个数字是555，符合题意， 故答案为：301，637，169，555

【点评】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为在随机数表中，每个数字在每一个位置出现的几率相等．

14．程序框图如图：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入 k≤10（或k＜11） ；

【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．

【分析】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．

【解答】解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10（或k＜11）， 故答案是k≤10（或k＜11），

【点评】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k值．

15．若x，y满足约束条件．则的最大值为 3 ．

【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）． 设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率， 由图象知OA的斜率最大， 由

，解得

，即A（1，3），

则kOA==3， 即的最大值为3． 故答案为：3．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为 2π ．

【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题．

【分析】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是面积．

【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成， 四棱锥的底面是边长是1的正方形， 四棱锥的高是

，

，

，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是

，求出表

∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是∴外接球的表面积是4×故答案为：2π

=2π

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查正多面体与外接球之间的关系，本题是一个考查的知识点比较全的题目．

三．计算题（共70分）

17．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据： x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 （Ⅰ）画出散点图；

（Ⅱ）求回归直线方程；

（Ⅲ）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？

（可能用到的公式： =， =﹣，其中、是对回归直线方程=a+bx中系

数a、b按最小二乘法求得的估计值） 【考点】线性回归方程． 【专题】应用题；概率与统计．

【分析】（Ⅰ）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，

（Ⅱ）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

（Ⅲ）把所给的广告费支出为9百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．

【解答】解：（Ⅰ）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图 （Ⅱ）=5， =50，

xiyi=1390，

=145，

∴b==6.5，a=17.5，

∴线性回归方程为=6.5x+17.5． （Ⅲ）当x=10时， =82.5．

即当广告费支出为10百万元时，销售额为82.5百万元．

【点评】本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法．

18．已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，

（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C； （2）当|PQ|=2

时，求直线l的方程．

【考点】直线和圆的方程的应用． 【专题】直线与圆．

【分析】（1）运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得l的斜率，可得直线l的方程，联立直线m的方程，可得交点N，代入圆心，可得直线l过圆心； （2）由|PQ|=2

得，圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x﹣ny+1=0，求得n的值，可

得直线l的方程．

【解答】解：（1）因为l与m垂直，直线m：x+3y+6=0的斜率为﹣， 所以直线l的斜率为3，

所以l的方程为y﹣0=3（x+1），即3x﹣y+3=0．

联立，解得，

即有N（﹣，﹣），

代入圆心（0，3），有0﹣3+3=0成立， 所以直线l过圆心C（0，3）． （2）由|PQ|=2

得，圆心C到直线l的距离d=1，

=1．

设直线l的方程为x﹣ny+1=0，则由d=

解得n=0，或n=，

所以直线l的方程为x+1=0或4x﹣3y+4=0．

【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．

19．已知函数f（x）=2sin（x+（1）求f（x）的值域；

）cosx．

（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=求cos（A﹣B）的值．

【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】三角函数的求值．

，b=2，c=3，

【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的值域； （2）由f（A）=

以及第一问确定出的f（x）解析式，求出A的度数，再由b与c的值，利用余

弦定理求出a的值，根据正弦定理求出sinB的值，进而确定出cosB的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵f（x）=（sinx+=sinxcosx+=sin2x+=sin（2x+

cos2x cos2x+）+

， ）≤1，

，）+

=

]；

，得sin（2A+

）=0，

cosx）cosx

∵﹣1≤sin（2x+

∴函数f（x）的值域是[（2）由f（A）=sin（2A+又A为锐角，∴A=又b=2，c=3，

，

∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=7，即a=

，

由正弦定理=，得sinB===，

又b＜a，∴B＜A， ∴cosB=

=

，

+

×

=

．

则cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=×

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

20．为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）． （Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 【专题】概率与统计．

【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5， 分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种， 分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1）， （a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）． 其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：

，

，x=0.100﹣0.004

（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5）， （a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．

∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率

．

【点评】本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．

21．如图在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2点P是BM的中点，点Q在线段AC上且AQ=3QC （1）证明：PQ∥平面BCD；

（2）若∠BDC=60°，求二面角C﹣BM﹣D的大小．

，M是AD的中点，

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定． 【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；

（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角．用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG，即可得出结论． 【解答】（1）证明：取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD ∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点

∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD ∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形 ∴PQ∥OF

∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；

（2）解：过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH ∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线 ∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM ∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线 ∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH

因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角， Rt△BCD中，CD=BDcos60°=60°，CG=由MD=1，BD=2

得BM=3，

=，

， ，

又HG=BGsin∠MBD=BCsin60°•Rt△CHG中，tan∠CHG=∴可得∠CHG=60°．

=

【点评】本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题．

22．对任意函数f（x），x∈D，可按如图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列{xn}． （1）若定义函数

，且输入

，请写出数列{xn}的所有项；

（2）若定义函数f（x）=xsinx（0≤x≤2π），且要产生一个无穷的常数列{xn}，试求输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn；

（3）若定义函数f（x）=2x+3，且输入x0=﹣1，求数列{xn}的通项公式xn．

【考点】程序框图；数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和． 【专题】图表型；等差数列与等比数列． 【分析】（1）函数{xn}只有三项

的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），由此能推导出数列

．

（2）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解，由此能求出输入的初始数据x0的值及相应数列{xn}的通项公式xn．

（3）f（x）=2x+3的定义域为R，若x0=﹣1，则x1=1，则xn+1+3=2（xn+3），从而得到数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列，由此能求出数列{xn}的通项公式． 【解答】解：（1）函数把

代入可得

，把

的定义域D=（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞）… 代入可得

，把

代入可得x3=﹣1

因为x3=﹣1∉D， 所以数列{xn}只有三项：

…

（2）若要产生一个无穷的常数列，则f（x）=xsinx=x在[0，2π]上有解， 即x（sinx﹣1）=0在[0，2π]上有解，则x=0或sinx=1，所以x=0或即当

故当x0=0时，xn=0；当

． …

…

（3）f（x）=2x+3的定义域为R，… 若x0=﹣1，则x1=1，

则xn+1=f（xn）=2xn+3，所以xn+1+3=2（xn+3），… 所以数列{xn+3}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以

即数列{xn}的通项公式

，所以

，

． …

【点评】本题考查数列的所有项的求法，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．