整式培优拓展题[含答案解析]

第二章《整式》培优

专题一、找规律题 （一）、代数式找规律

1、观察下列单项式：a,2a,3a,4a,5a，…

（1）观察规律，写出第2010和第2011个单项式； （2）请你写出第m个单项式和第n+1个单项式。（m为自然数）

20102011

答案：（1）-2010a；2011a

（2）ma^m(m为奇数)，-ma^m(m为偶数) #

2、有一个多项式为a6a5ba4b2a3b3…，按这种规律写下去，第六项是= ab ，

5

2345最后一项是= b 。

3、（1）观察一列数2,4,8,16,32，…发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是= 2 ，根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18= 2 ，an= 2 。

18

n

6

（2）如果欲求133233320的值，可令S133233320①，将①式两边同乘以3，得 3s=3+3+3+3+…+3 ，②

21

由②减去①式，得S= （3-1）/2 ;

（3）由上可知，若数列a1，a2，a3，…an，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an= a1q，（用含a1，q，n的代数式表示），如果这个常数q≠1，那么

n-1

2

3

4

21

。 a1+a2+a3+…+an= a1(1-q)/(1-q) （用含a1，q，n的代数式表示）

n

13574、 观察下列一组数：2，4，6，8，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一

组数的第n个数是 （2n-1）/2n ． （二）、图形找规律

5、用棋子摆成如图所示的“T”字图案． ~

（1）摆成第一个“T”字需要 5 个棋子，第二个图案需要 8 个棋子；

（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要 32 个棋子，第n个需要 (3n+2)个棋子．

6、如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字

中棋子个数是= 15 ，第n个“广”字中棋子个数是= 2n+5 。

@

7、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“●”的个数为 3n+2 ．

……

（1）

、

（2） （3）

……

8、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个

2

图形有___46______个小圆； 第n个图形有_(_n+n+4_)______个小圆.

…

第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形

9、观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（ D ） |

……

第1个 A. 2n2

第2个

第3个

B．4n4 C．4n4 D．4n

10、观察如下图的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

'

…

……

22

①1=1 ②1+3=22 ③1+3+5=3 ④1+3+5+7=4^2 ⑤1+3+5+7+9=5^2 ……

2

（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式1+3+5+……+（2n-1）=n $

11、下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子：

观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了[（n+1）+（2n-1）] 块石子。

2

解析：第一个小房子：5=1+4=1+2 2

第二个小房子：12=3+9=3+3

2

第三个小房子：21=5+16=5+4

2

第四个小房子：32=7+25=7+5

…………………… ；

第n个小房子：（n+1）+（2n-1）

专题二：整体代换问题

2

2

12、若a2a=2010，则2aa2010= 0 。 13、若式子3x24x6的值是9，则x224x16的值是= 17 。 314、 (2010•常州)若实数a满足a22a1=0，则2a4a5= 3 。

215、已知代数式xxy=2，yxy=5，则2x5xy3y的值是多少

2222解：∵xxy=2，yxy=5

《

2

2222 ∴2x5xy3y=2（xxy）+3（yxy）=4+15=19

16、当x=2010时，ax3bx12010，那么x=－2010时，ax3bx1的值是多少 解：∵当x=2010时，ax3bx12010时，

∴2010^3a+2010b=2009,

∴当x=－2010时，-2010^3a-2010b+1=-(2010^3a+2010b)+1 ∴原式=-2009+1=-2008

专题三：绝对值问题

!

17、a,b,c在数轴上的位置如图所示，

化简：|ab||b1||ac||1c||2b3|

解：|ab||b1||ac||1c||2b3|

=-(a+b)-(b-1)+(a-c)-(1-c)+(2b-3)

=-a-b-b+1+a-c-1+c+2b-3=2a-

18、有理数a、b在数轴上位置如图所示，试化简13b22b23b.

@

解：

13b22b23b=(3b-1)-2(2+b)+(3b-2)=3b-1-4-2b+3b-2=4b-7

19、有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：ababca2bc

<

ab0c解：

ababca2bc=-（a-b）

-(a+b)-(c-a)+2(b-c)=a-b-a-b-c+a+2b-2c=a-3c

专题四：综合计算问题 20、若2xm1y2与x2yn的和是一个单项式，则m= 3 ，n= 2 。

2221、如果关于x的代数式2xmxnx5x1的值与x的取值无关，则m= 5 ，n= 2 。

22、已知m、n是系数，且mx2xyy与3x2nxy3y的差中不含二次项，求

22m22mnn2的值。

!

22解：（mx2xyy）-（3x2nxy3y） =mx-2xy+y-3x-2nxy-3y

2

=(m-3)x-(2+2n)xy-2y

∵mx2xyy与3x2nxy3y的差中不含二次项

222

2

∴m-3=0,2+2n=0 ∴m=3,n=-1

即，m22mnn2=32+2×3×(-1)+(-1)2=4

23、已知abc1，求

\\

abc的值。 aba1bcb1acc1

解：∵a/(ab+a+1)＝a/(ab+a+abc)=1/(b+1+bc) ∴a/(ab+a+1)=1/b *b/(bc+b+1)

∴c/(ca+c+1)=c/(ca+c+abc)=1/(a+1+ab)=1／a* a/(ab+a+1) =1／a* 1/b *b/(bc+b+1)=1/ab* b/(bc+b+1) ∴a/(ab+a+1) +b/(bc+b+1) +c/(ca+c+1)

=1/b *b/(bc+b+1)+b/(bc+b+1)+1/ab* b/(bc+b+1) =(a+ab+abc)/(a+ab+abc) =1

—

222224、已知mmn15,mnn6，求3mmn2n的值。

解：∵mmn15,mnn6 ∴3mmn2n =3m^2-3mn+3mn-mn-2n^2 =3(m^2-mn)+2mn-2n^2 =3(m^2-mn)+2（mn-n^2） ∴原式=3*15-2*6=45-12=33

25、已知a,b均为正整数，且ab1，求

2222ab的值。 a1b1,

解：∵ab=1, ∴a=1/b ∴

ab=1/b(b/1+b)+(b/b+1)=(1/1+b)+(b/b+1)=(1+b/1+b)=1 a1b123226、已知mm10，求m2m2005的值。 解：∵mm10∴m+m=1

2

2∴m2m2005=m+m+m+2005=m(m+m)+m+2005=m+m+2005

3

2

2

2

2

2

32∴原式=1+2005=2006

2232

27、若（x+mx+8）（x-3x+n）的展开式中不含x和x项，求m和n的值。 $

解：∵（x+mx+8）（x-3x+n）

432322

= x -3x+nx +mx -3mx-24x +nx +mnx +8n

2

2

= x –(3-m) x+(2n-3m) x +(mn-24)x+8n

2232

又∵（x+mx+8）（x-3x+n）的展开式中不含x和x项 ∴(3-m)=0，(2n-3m)=0， ∴m=3,n=

24832

28、3(2+1)(2+1)(2+1)……(2+1)+1的个位数是多少。 。

解：3(2+1)(2+1)(2+1)……(2+1)+1

224832

=(2-1)(2+1)(2+1)(2+1)……(2+1)+1

44832

=(2-1) (2+1)(2+1)……(2+1)+1

8832

=(2-1) (2+1)……(2+1)+1

64

=2-1+1

6441616

=2= (2)=(16)

∵16的任何次方的个位数都是6

24832

∴3(2+1)(2+1)(2+1)……(2+1)+1的个位数是6.

/

432

24832

专题五：应用问题

29、一位同学做一道题：“已知两个多项式A，B，计算2A+B”。他误将“2A+B”看成“A+2B”，求得的结果为9x2x7。已知B=x3x2，求原题的正确答案。 解：∵A+2B=9x2x7，B=x3x2

∴A=(9x-2x+7)-2(x3x2)=9x-2x+7-2x-6x+4=7x-8x+11

2

2

2

2

22222∴2A+B=2(7x-8x+11)+ x3x2=15x-13x+20

2

2

230、某地电话拨号入网有两种收费方式，用户可以任选其一。A：计时制：元/分；B：包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）。此外，每一种上网方式都加收通信费元/分。 (1)某用户每月上网时间为x小时，请你分别写出两种收费方式下改用户应该支付的费用； {

(2)若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算 解：（1）A=+=;B= +50 (2)A-B=( +50)=

当x=20时，A-B=×20-50=-49<0

∴当上网的时间为20小时，采用A方式较为合算. 31、小星和小月玩猜数游戏，小星说：“你随便选定三个一位数，按这样的步骤去算：①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数。只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数。”小月不相信。但试了几次，小星都猜对了，你知道小星是怎样猜的吗如果小月告诉小星的数是484，你知道小月所想的三个一位数是什么吗

分析:设这三个数分别是abc，再根据①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数，把所得的式子化简，再减去250把第一个数除以100，第二个数除以10即可．

解答：解：设这三个数分别是a、b、c，

∵①把第一个数乘以2；②加上5；③乘以5；④加上第二个数；⑤乘以10；⑥加上第三个数,

∴[（2a+5）×5+b]×10+c =[10a+b+25]×10+c

=100a+10b+c+250，再减去250，把第一个数除以100，第二个数除以10即可得出这三个数． ∴484-250=234=2×100+3×10+4 ∴a=2,b=3,c=4

32、七年级一班的小明和小王是好朋友。有一次，小王拿出一副扑克牌，让小明从中任意抽出一张牌，且让他将牌上的点数默记心中。小王说：“请你将点数乘2加3后再乘5，再减去25，算出答案后告诉我，我就知道你所抽的牌是几点。”小明算完后说“100”。小王马上宣布：“你抽的牌是J。”小明很佩服。你能帮小明分析其中的奥秘吗若小明算出的答案是120，他抽到的是哪张牌

分析:设这个数为x，在根据“将点数乘2加3后再乘5，再减去25”，设计算后所得到数是y，那么y=（2x+3）×5-25。

解答：设这个数为x，计算后所得到数是y， ∵将这个数乘2加3后再乘5，再减去25 ∴（2x+3）×5-25=y 10(x-1)=y X=y/10+1

∴当y=120时，x=120/10+1=13

即，答案是120时，他所抽到的牌是K。