第３６卷第２期 吉首大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．３６ Ｎｏ．２ ２０１５年３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｍａｒ．２０１５ 文章编号：１００７—２９８５（２０１５）０２—００１ｔ一０５ 分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性 黄 羿，陈国平 （吉首大学数学与统计学院，湖南吉首４１６０００） 摘要：运用临界点理论中的山路引理，研究一类具有狄利克雷边值问题的分数阶脉冲微分方程解的存在性，证明了解 的存在性结果． 关键词：脉冲；分数阶；微分方程；狄利克雷边值条件；临界点理论 中图分类号：Ｏ１７５．８ 文献标志码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—２９８５．２０１５．０２．００３ 作为整数阶微分方程的推广，分数阶微分方程用来描述复杂物理和动力学问题时，可以更加准确地描述非线性非保守 的动力学行为．同时，分数阶微积分的全局相关性可以更优美地刻画现实世界中的现象和规律［１ ］．因而，近几十年来，分数 阶微积分被广泛地应用于生物、物理、电子、工程及控制论等领域 ］．目前，关于分数阶微分方程的研究包括解的存在性和 唯一性、解的稳定性、边值问题等解的动力学性质 “ ，主要研究方法包括不动点定理、拓扑度理论（延拓定理和重合度理 论）、比较方法（上下解方法和单调迭代方法）和临界点理论 “ ］．脉冲微分方程能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的 影响，更深刻、精确地反映事物的变化规律，具有很强的现实意义 ，在医学、生物、控制论及航天运动模型中广泛存 在［２４－２７］． ２０１２年，文献［１６］首先使用临界点理论研究分数阶微分方程解的存在性，事实证明这种方法对于解决带左右分数阶导 数算子的物理模型非常有效．据了解，运用临界点理论解决分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性的文献鲜少出现．笔者 尝试使用临界点理论中的一般山路引理，研究下列分数阶脉冲微分方程方程边值问题解的存在性： ｝Ｉ Ｄ （“（ｆ））＋ “（ｆ）一ｆ（ｔ，“（￡）） ≠￡ ， ∈［ｏ，Ｔ］， ＪＡＤ “（～ｔｊ）一Ｉ㈩ ｊ（“（￡Ｊ）） ＝１，２，…，Ｐ， … ’ ｌＤ。（ （ ））一－－５－ （ｏＤ７ （６Ｄ；“（ ））一 ＤＦ （；Ｄ｝“（￡）））． 其中： 为参数；Ｔ＞０； ：［Ｏ，丁］×Ｒ—Ｒ是连续函数；０一ｔ。＜￡１＜…＜ｔ，＜ｔ什１一Ｔ；Ｊ』：Ｒ—Ｒ是连续函数；ＡＤ。“（ｆ ） 一Ｄ “（ｔ７）一Ｄ Ｍ（ｔｆ），Ｄ Ｍ（ ）和Ｄ。“（ｔ７）分别表示 在ｔ 处的左右极限，ｄ∈（１／２，１）． １ 预备知识 定义１ 设函数ｆ∈ＡＣ”（［口，６］，Ｒ ），当 一１≤口＜ｎ，ｎ∈Ｎ时，函数的口阶Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ左导数为 ，（ｆ，一 ｄｎ ，一而 参（ ｄｓ） ∈［ ］； 函数的 阶Ｒｉｅｍａｎｒ卜Ｌｉｏｕｖｍｅ右导数为 ＊收稿日期：２０１４—１０—１８ 基金项目：湖南省教育厅科学研究项目（１４Ｃ０９４０） 作者简介：黄羿（１９８２一），女，湖南岳阳人，吉首大学数学与统计学院讲师，硕士生，主要从事微分方程与动力系统 研究；陈国平（１９６４一），男，湖南邵阳人，吉首大学数学与统计学院教授，博士，主要从事微分方程与动力系统研究． １２ 吉首大学学报（自然科学版） 第３６卷 ＝ｃ 一 ，（ｆ）＿ｄＤ７一ｎ 高 参（ （ ｄｓ）ｔ∈［口’６］． 出）， 定义２ｔ 设函数ｆ∈ＡＣ （［口，６］，Ｒ ），当ｎ一１≤口＜ｎ， ∈Ｎ时，函数的口阶Ｃａｐｕｔｏ左导数为 函数的口阶ｃａｐｕｔ。右导数为：Ｄ；，（＂：（一１）一。Ｄ：－矗，“）（ｔ）＝ 性质．１ Ｄ。 （，（ｔ）＋ｇ（ｔ））一Ｄ。ｐｆ（ｔ）＋Ｄ。．￡ｌｇ（ｔ）． （ ）． 为了使用方便，引入分数阶导数的几点性质，其中，（ｔ）和ｇ（ｆ）为函数，口和 为常数［２］． 性质２ Ｉ（ Ｄ＿．ｆ（ｔ））ｇ（ｔ）ｄｔ—Ｉ（ Ｄ ｇ（￡）），（￡）ｄｌ，￡∈ａ，６］． 定义３ＩＳ］ 设Ｅ是一个实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｆ是Ｅ上具有连续Ｆｒｅｃｈｅｔ微分的泛函，即Ｆ∈Ｃ （Ｅ，Ｒ）．如果对于Ｖ｛Ｕ ）ｃ Ｅ，｛Ｆ（“ ）｝有界且Ｆ （“ ）一０（ｎ一。。），蕴含｛“ ｝在Ｅ中存在收敛的子序列，那么称泛函Ｆ在Ｅ上满足Ｐａｌａｉｓ Ｓｍａｌｅ条 件（简称为ＰＳ条件）． 定理１ｔｓ （山路引理） 设Ｅ是一个实Ｂａｎａｃｈ空间， ∈Ｃ （Ｅ，Ｒ ）且满足（ＰＳ）条件，（ｉ） （Ｏ）一０；（ｉｉ）存在常数ＩＤ ＞ｏ，，，＞０，对于所有的 ∈Ｅ，使得 （“）≥ｙ，Ｉｌ“Ｉｌ＝ｙ｝（１Ｕ）存在ｅ∈Ｅ，ｌ Ｉｅ ｌＩ≥ｙ，使得妒（Ｐ）≤ｙ．因此 存在一个临界 值ｃ≥ｙ，且Ｃ＝ｉｎｆ ＩＩｌａ】【 （１‘），其中Ｉ１一｛ｇ∈ｃ（［Ｏ，１］，Ｅ）：ｇ（ｏ）一ｏ，ｇ（１）一ｅ）． 引进Ｓｏｂｏｌｅｖ空间叫：，’（０，丁）． ：’ （Ｏ，Ｔ）ｃ Ｃ （［Ｏ，Ｔ］，Ｒ ），０＜口≤１，１≤Ｐ＜ｏ。．对于Ｖ“∈ 一，函数ｔ‘∈ Ｌ （［Ｏ，Ｔ］，Ｒ ），￣ｏＤＴｕ∈Ｌ （［Ｏ，１’］，Ｒ ），易知硼 是一个白反、可分离的Ｂａｎａｃｈ空间［】 ． 定义范数 Ｕ ｌ １Ｌ ：（Ｊ－ Ｉ“（ｆ）Ｉ—ｄｆ）ｌ／Ｐ，ｌ １ｌＩ。一（』：ｌ ５Ｄ； （ｔ）｝’ｄｆ）“ ，Ｉｔ“ＩＩ 一 ｍ［。ａ． ｘ］ｌ”（ｚ）Ｉ． 对于Ｖ口∈ ： ，在等式罢（Ｄ （ｆ））＋Ａ“（￡）一，。， ）两边同时乘以 ，并且从。到Ｔ积分，得 Ｊ．ｒ。Ｉ面ｄ（Ｄ。“（ｔ））＋ “（￡）一，（ｔ，“（ｆ））） （￡）ｄｆ—ｏ． 由定义１和定义２可知，当“（Ｏ）一０时， Ｄ７ （：Ｄ：“（ｔ））一“（ｔ），ｔ∈ａ，６］，有 Ｐ （２） ｃ。 ｅｔ ｃｔ，出一一 ｃ“ｃｔ ｃ 一÷ ｃｓ。：“ｃ ・：。｝ ｃｔ 。｝“ｃｔ ・ 。 ｃｔ 肼 跏㈤ 一 ｃｓ 联立（２），（３）式，得 １ 一 跏㈤．ｆＤ Ｐ ）＋ 』 “（ｔ） （ ）ｄｔ一』 ，（￡，“（￡）） （￡）ｄｆ—ｏ． 定义４ 若“∈叫 且满足方程（４），则称Ｕ是方程（１）的弱解． 定义泛函 ：Ｗ＇ｏ’Ｐ—Ｒ， 一一（４） 托ｃ ）．ｃ脚㈤ 一 Ｐ Ｊｕ。（ｔｊ） 件 “２（删 一 Ⅲ㈤ ， Ｆ（ ，ｚｔ）＝＝』： （ｆ， ）ｄｓ， （５） 其中 则泛函 可导．由性质１和性质２知 ）一一÷ 跏㈤．ｃＤ 肼 脚㈤ 一耋 Ｊ。ｒＴ 口（ ｔ）ｄｔ～ＪｒＴ。ｆ（ ｔ 。 （ｔ）ｄｔ・ 引理１ 如果“∈叫 是泛函 的一个临界点，那么函数Ｕ是分数阶脉冲边值问题（１）的一个弱解． 证明 如果”是泛函 的一个临界点，那么对Ｖ口∈ ：’一有 （“）（ ）一０成立，即 Ｊ＿ ，（ｆ，“（￡）） （￡）出一一÷．ｒ二’（５Ｄ “（￡）・；Ｄ （ｔ） Ｄ “（￡）・５Ｄ： （ｚ））ｄ￡一 ∑ ，）＋ （ “）ｄ“ 第２期 黄羿，等ｔ分数阶脉冲徽分方程边值问题解的存在性 １３ 从而函数 是分数阶脉冲边值问题（１）的一个弱解． ２ 主要结果及证明 定理２ 假设以下条件成立： （Ｈ１）Ｆ∈ｃ（Ｅｏ，Ｔ］×Ｒ ，ｌｌｔ），存在 ∈Ｉ－ｏ，１／２），Ｍ＞Ｏ，使得对Ｖｚ∈Ｒ ，当Ｉ ｚ Ｉ≥Ｍ，Ｍ＞Ｏ，ｔ∈Ｅｏ，Ｔ］时，有０ ＜Ｆ（ｔ， ）＜ （，（ｔ， ），．ｒ）成立． （Ｈ２）［ ｆ是次线性的，即存在常数口＞０，ｂ＞０和 ∈Ｅｏ，１），使得对Ｖ（￡， ）∈［０，Ｔ］Ｘ Ｒ有Ｉ ｆ（ｔ， ）ｌ≤ａ＋ ｂ ｌ （Ｈ３）［２３ 脉冲函数次线性增长，即存在常数 』＞０，ｂ ＞０和 』∈［ｏ，１），使得对Ｖ ∈Ｒ，有Ｉ Ｊ』（ ）Ｉ≤。』＋ ｂ』ｌ Ｉ ｒｊ（ 一１，２，…，户）． （Ｈ４）［２８ ｛ （ 。）｝为有界序列，ｌｉａｒ （“Ｉ）一０．１ （ Ｉ）Ｉ≤ｄ１，ｌ ｌ（“１）ｌｌ≤ｄｌ成立，其中ｄｌ为常数，ｄｌ＞０．一 一一 当ａ∈（１／２，１］时，分数阶脉冲边值问题（１）至少有１个解． 首先引入几个重要的引理： 引疆２ｔ。。 当口∈（１／２，１３时，对于Ｖ ∈硼：一，有 ｌ ｃ０ｓ（ ａ）ｌ Ｉｌ“ｌＩ：≤一Ｊ。（ Ｄ： （ｆ）・：Ｄ ”（ｔ））ｄｔ≤Ｔ－ 丌【１“ｌＪ：・ 引理３ｔ 。 令０＜口≤１。１＜户＜ｏｏ，对Ｖ“∈ ，有 ≤Ｃ ＩＩ ５Ｄ Ｌ—Ｃ ｌＩ。 ｃ一 ， Ｉ ｌＩｌ 一≤ｚ『ｌ“ｌＩ≤ｚＣ ｌｌ“Ｉｌ。 ｚ— ，ｒ． 引理４［。。 假设条件（Ｈ１）成立，对Ｖｔ∈Ｅｏ，Ｔ］，下列结论成立： ， ）≤Ｆ（ｔ，南）Ｉ Ｉ ０＜ｌ“Ｉ≤１， ， ）≥Ｆ（￡，南） ｌ Ｉ１＞ １． 定理３ 当 ＞Ｍ ｍ ＞时， ＞ ０ 时， Ｌ令（令 （ “， ）一Ｉ一 ｆＴ，０ ＣｏＤｏ；ｕ（ｔ）・ （￣Ｄ－＇ｒｕ（ｔ））出十鲁Ｊ出十÷ＩＪ ’ ０ （ｔ）ｄｔ，有 ｍ Ｉｌ“ｌｆ：≤ Ｌ（ ， ）≤Ｍ ｌ ｌＭ ｌｌ： ∈硼５’’． 证明 一方面，Ｌ（“， ）≤ １ Ｉ１“ＩＩ￣－：＋睾・４－Ｔ ・ ＩＩＩ Ｉ“ 一ｍ：＝Ｍ ＩＩ Ｉ “ＩＩ ２ｔ，其中Ｍ＝一２ －．１一一‘ Ｉ ２ ： ｆｆ另一方面，Ｌ（“，ｔ‘，“ｌＩ）≥ Ｉ ＩＩ：，其中 一Ｊ 蜜。 ＋ ‘ Ｔ ‘ 然后考虑口∈（１／２，１３时，分数阶脉冲边值问题（１）解的存在性． 第１步：验证９（“ ）满足（ＰＳ）条件． 设｛Ｕ ｝是Ｗ： 中一序列，当 一ｏ。时， （ ）一０．首先证明｛“ ）有界．由（５），（６）式有 Ｐ Ｐ ｍ（１—２ ）Ｉｔ ＩＩ：≤２ｄ。＋２１ ＩＩ“ ＩＩ∑（口』＋ｂｊ ｚ ，ＩＩ“。ｔｌ ）＋２／ｌｌ ＩＩ Ｉ∑（口 ＋６ｊｚ ＩＩ“。ＩＩ Ｊ）＋ Ｊ正１ 』正１ Ｐ ２ｐｄ。ＩＩ 。ＩＩ≤２ｄ ＋２ｌＣ Ｉ ｌＩＩ ∑（口』＋ｂｉｌｒｉＣ Ｉ ｌ ｌ』）＋ 』；１ Ｐ ２ｐｌＣ Ｉ１“ ＩＩ ∑（口，＋６』ｚ ，Ｃ Ｉ“ Ｉ Ｉ，）＋２，ｕｄ Ｃ ｌ ＩＩ。． 』一１ 当ｍ＞０， ∈Ｅｏ，１／２）时，｛ＵＩ｝在 ∈ｗ ’ 是有界序列． １ 然后证明｛“ｔ）强收敛于“．由于“。在ｗ 中弱收敛于“，当ａ＞÷时，Ｐ 将ｗ 嵌入ｃ（［ｏ，Ｔ］，Ｒ ）中，因此“。在ｃ（［ｏ， Ｔ］，Ｒ ）中也弱收敛于 ． 任取，∈Ｃ（［Ｏ，Ｔ］，Ｒ ） ，且ｆ（ｕ＾）一，（“），ｆ∈ｃ（Ｅｏ，Ｔ］，Ｒ ）’ （ｗ：’’） ，则ｆ（ｕ。）一，（Ｍ）对于一切Ｕ＾在 ｃ（［０，Ｔ］，Ｒ ）中收敛于Ｕ，对于一切“。在ｗ：’一中也收敛于Ｕ，即ｆｌ 一“。ｌｌ。。一Ｏ（ｋ—ｏｏ）．易得ｌｌ“ 一Ｕ 一０，ｌ｝ 一“ｌ ｌｉ２—０， 吉首大学学报（自然科学版） 第３６卷 （ （“★）一 （“））（ ＾一 ）≥Ｉ ＣＯＳ（＇￣ａ）Ｉ ｌ ＾一“ｌＩｌ：＋ ｌ ｌｕ＾一ｕ ｃ ｌ由 ∑ Ｉ“ （ｔｊ）——“（ｆ ）Ｉ。。——ｌ』ｊ（ （ｔ，“ （￡））—— ｒ（ ，“（￡）））ｄｆ 从而知 （“。）满足（ＰＳ）条件． Ｃ ，第２步：用临界点理论证明脉冲边值问题（１）的弱解存在． 由引理４知， Ｊ．Ｔ。Ｆ（ ，“（ ））出≤ Ｆ（ ，Ｔ＿爱 ．丁）ｌ“（ ）Ｉ 出≤Ｊ９ Ｉｌ“ＩＩ ≤ ＩＩ“ 一 Ｃ ｎ ｐ 为常数， ｌ“ （“）≥ｍ ＩＩ ｌ２。一ｌＣ ＩＩ“ＩＩ ∑（口』十６』∑ ｌ Ｃ ｌｌ“１Ｉ Ｊ）一卢ｃ Ｉ Ｊ＝１ Ｐ ☆ｐ ｌＣ∑６ ｌ ｊＣ Ｉ： ＋∑ｌ ２ｃ。ｎ Ｉｉ“Ｉ Ｉ２一ｌＣ∑ｎ ＝１ Ｊ １ 』＝１ ｌ ｌｏ，令ｌＩ“ 一ＩＤ， （“）≥ｙ＝（ 一Ｊ９ｃ— ｌＣ∑ｂ ｌ ｃ ＩＩ“ｌ ＞０，ｌ即存在常数ｌ。，ｙ＞０，当０＜Ｉｔ ｌ ｌ。。≤１时，使得 （“）≥ｙ． 令 ∈Ｒ＼｛０｝，Ｕ∈ ’ ＼｛０），Ａ一｛ｌ （￡）『≥１，Ｔ∈［Ｏ，￡］｝，存在常数 ＞０，由引理４知，成立 ））ｄｚ≥』ＡＦ（ ， ；● ） ㈤ ≥ １ ， （ ）≤』 ＩＩ“Ｉｆ ２＋ｌＣ Ｉ“ＩＩ。∑（口 ＋ｂｓ ｚ ，Ｃ Ｉ“Ｉ ）一 ＩＩ ｆ Ｉ Ｉ“（ ）Ｉ ｄｔ＋Ｔａ． ● “ 设Ｑ∈ｗ：一，且Ｉ ｌＱ ｌＩ一１，当 ∈［Ｏ，ｉ／２）， ＞０，０＜ｒＪ＜１时，存在｝Ｑ∈Ｒ＼｛０）有Ｉ１ ｅ １Ｉ＞Ｐ， （Ｐ）＜０成立． 不妨设ｅ一 ，由山路引理得到 存在临界值ｃ≥７，且ｃ＝ｉｎｆ ｍａｘ （“），其中ｒ一｛ｇ∈Ｃ（［Ｏ，１３，Ｅ）：ｇ（Ｏ）一０，ｇ（１） ｇｅｒ“∈ｇ（ＬＯ・１ｊ） 一 ｍ ＝ ． ∑ ㈤ 一 ｐ ～ — Ｃ 参考文献： ，￡ Ｃ ［１］ＫＩＬＢＡＳ Ａ Ａ，ＲＩＶＡＳＴＡＶＡ Ｍ，ＴＲＵＪＩＬＬＯ Ｊ Ｊ．Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ａｍ— ∞ ∑ 卜 一 １７２］ＩＬ ＧＯＲ ＰＯＤＬＵＢＮＹ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ＥｑｕａｔＣ ｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９９９． 口 ｓｔｅｒｄａｍ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｌｔｄ．，２００６． ［３］周 燕．分数阶Ｐｆａｆｆ－Ｂｉｒｋｈｏｆｆ变分问题及其对称性［Ｄ］．苏州：苏州科技学院，２０１３． ［４］王小东．Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｌｉｏｕｖｌｌｅ分数阶微积分及其性质证明［Ｄ］．太原：太原理工大学，２００８． ［５］ＲＡＢＩＮ０ｗＩＴｚ Ｐ Ｈ．Ｍｉｎｉｍａｘ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｐｏｉｎｔ Ｔｈｅｏｒｙ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ａｍｅｒｉ— ｃａｎ：Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９８６． ∑ ｎ ［６］ＭＡＧＩＮ Ｒ Ｌ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｎ Ｂｉｏｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ［Ｍ］．Ｒｅｄｄｉｎｇ，ＣＴ：Ｂｅｇｅｌｌ Ｈｏｕｓｅ Ｉｎｃ．，２００６． ［７］ＶＡＳＩＬＬＹ Ｅ ＴＡＲＡＳＯＶ．分数维动力学：分数阶积分在粒子，场及介质动力学中的应用［Ｍ］．北京：高等教育出版社， ２Ｏ１０． ［８］孙文，孙宏广，李西成．力学与工程问题的分数阶导数建模［Ｍ］．北京：科学出版祉，２０１０． ［９］汪纪峰．分数阶系统控制性能分析［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２０１０． ［１ Ｏ］ＲＡＶＩ Ｐ ＡＧＡＲＷＡＬ，ＢＡＳＨＩＲ ＡＨＭＡＤ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ Ａｎｔｉ—Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１１，６２（３）：１ ２００—１ ２１４． ［１１３ ＷＡＮＧ Ｊｉｎｒｏｎｇ，ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇ，ＭＩＣＨＡＬ ＦＥｅＫＡＮ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｕｌａｍ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，６４（１０）：３ ３８９—３ ４０５． ［１２］ＧＵＯ Ｔｉａｎｌｉａｎｇ，ＪＩＡＮＧ ｗｅｉ．Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，６４（１０）：３ ２８１—３ ２９１． ［１３］ＣＨＥＮ Ｙｉ，ＴＡＮＧ Ｘｉａｎｈｕａ．Ｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｏｒｄｅｒ Ｍｕｌｔｉ—Ｐｏｉｎｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ａｔ Ｒｅｓｏ— ｎａｎｃｅ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１２，２１８（１４）：７ ６３８—７ ６４８． ［１４］ＭＵＪＥＥＢ ＵＲ ＲＥＨＭＡＮ，ＰＡＵＬ Ｗ ＥＬＯＥ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１３，２２４（１）：４２２—４３１． ［１５］ＬＩ Ｊｉａｎｌｉ，ＬＵＯ Ｚｈｉｇｕｏ，ＹＡＮＧ Ｘｕｘｉｎ，ｅｔ ａ１．Ｍａｘｉｍｕｍ Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ 第２期 黄羿，等：分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性 １５ Ｉｎｔｅｇｒｏ－Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１０，７２（９／１０）：３ ８３７—３ ８４１． ［１６］ＪＩＡＯ Ｆｅｎｇ，ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｖｉａ Ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｐｏｉｎｔ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１１，６２（３）：１ １８１—１ １９９． ［１７３ ＪＩＡＯ Ｆｅｎｇ，ＺＨＯＵ Ｙｏｎｇ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ Ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｏＢｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｖｉａ Ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｐｏｉｎｔ Ｔｈｅｏｒｙ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒ— ｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ，２０１２，２２（４）：１ ２５０ ０８６一ｌ ２５０ １０３． ［１８３ ＳＵＮ Ｈｏｎｇｒｕｉ，ＺＨＡＮＧ Ｑｕａｎｇｕｏ．Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｖｉａ ｔｈｅ Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ｐａｓｓ Ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ａｎ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１２，６４（１０）：３ ４３６— ３ ４４３． Ｅ１９３ ＣＨＥＮ Ｆｕｌａｉ．Ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ Ｄｅｇｒｅｅ ａｎｄ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｉｍｐｕｌｓｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ａｎｄ Ｍａｔｈｅ— ｍａｔｉｃｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ。２０１２，６４（１０）：３ ４４４—３ ４５５． ［２Ｏ］ＨＵ Ｃｈａｏｚｈｕ，ＬＩＵ Ｂｉｎ，ＸＩＥ Ｓｏｎｇｆａ．Ｍｏｎｏｔｏｎｅ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｏＳｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｏＢｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｄｅｖｉａｔｉｎｇ Ａｒｇｕｍｅｎｔｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１３，２２２（１）：７２—８１． ［２１３ ＪＩＡ Ｍｅｉ，ＬＩＵ Ｘｉｐｉｎｇ．Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａ— ｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｕｐｐｅｒ ａｎｄ Ｌｏｗｅｒ ｏＳｌｕｔｉｏｎｓ［Ｊ３．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１４，２３２（１）：３１３—３２３． ［２２］ＪＵＡＮ Ｊ ＮＩＥＴＯ，ＤＯＮＡＬ Ｏ’ＲＥＧＡＮ．Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙ— ｓｉｓ：Ｒｅａｌ Ｗｏｒ１ｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００９，１０（２）：６８０—６９０． ［２３］白 亮．基于临界点理论的脉冲边值问题解答存在性及多解・ｌｉ［Ｄ］．长沙：中南大学，２０１２． ［２４］ＡＫＨＭＥＴＯＶ Ｍ Ｕ，ＺＡＦＥＲ Ａ．Ｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｖａｌｌｅｅ－Ｐｏｕｓｓｉｎ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，１９９９，１０（２）：２６３—２７６． ［２５３ ＰＥＩ Ｙｏｎｇｚｈｅｎ，ＬＩ Ｃｈａｎｇｇｕｏ，ＷＡＮＧ Ｃｈｕｎｈｕａ．Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｏｎｅ－Ｐｒｅｙ Ｍｕｌｔｉ－Ｐｒｅｄａｔｏｒ Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｄｅｆｅｎｓｉｖｅ Ａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｐｒｅｙ ａｎｄ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｂｉｏｌｏｇｉｃａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｎ Ｐｒｅｄａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５，８（４）：４８３—４９５． ［２６］ＰＲＡＤＯ ＡＦＢＡ．Ｂｉ—Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｏ Ｂｕｉｌｄ ａ Ｓａｔｅｌｌｉｔｅ Ｃ０ｎｓｔｅｌ１ａｔｉ０ｎ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎ．Ｓｙｓｔ．Ｔｈｅｏｒｙ，２００５，５：１６９— １７５． ［２７］ＤＡＩ Ｂｉｎｘｉａｎｇ，ＳＵ Ｈｕａ，ＨＵ Ｄｉａｎｗａｎｇ．Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｄｅｌａｙｅｄ Ｒａｔｉｏ－Ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ Ｐｒｅｄａｔｏｒ—Ｐｒｅｙ Ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ Ｍｏ— ｎｏｔｏｎｉｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ａｎｄ Ｉｍｐｕｌｓｅ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ ＴＭＡ，２００９，７０（１）：１２６—１３４． ［２８］ＺＨＡＮＧ Ｚｉｈｅｎｇ，ＹＵＡＮ Ｒｏｎｇ．Ａｎ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｔｏ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｉｔｈ Ｉｍ— ｐｕｌｓｅｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｒｅａｌ Ｗｏｒｌｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０，１１：１５５—１６２． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｖａｌｕｅ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｆ Ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｖｉａ Ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｐｏｉｎｔ Ｔｈｅｏｒｙ ＨＵＡＮＧ Ｙｉ。ＣＨＥＮ Ｇｕｏｐｉｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｓｈｏｕ ４１６０００，Ｈｕｎａｎ Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｉｍ— ｐｕｌｓｉｖｅ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ａｒｇｕｍｅｎｔｓ ａｒｅ ｂａｓｅｄ ｕｐｏｎ ｔｈｅ ｍｏｕｎｔａｉｎ ｐａｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｙ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｉｍｐｕｌｓｉｖｅ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｄｉｒｉｃｈ１ｅｔ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ；ｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｙ （责任编辑向阳洁）
