2013届广州市调研测文科数学答案

松宝联考2013届高三年级调研测试 数学（文科）试题参及评分标准

说明：1．参与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几

种解法供参考，如果考生的解法与参不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得

超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分. 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，

每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．2 12.

3 13. 1 14. 22 15.

2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

(本小题主要考查三角函数性质、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：f(x)sinxsinx 2 cosxsinx „„„„„ 1分 22sinx2cosx

222sinx. „„„„„ 3分

4由22kx422k, „„„„„ 4分

解得342kx42k,kZ. „„„„„ 5分

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∴yf(x)的单调递增区间是[（2）解：由（1）可知f(x) 342k,42k],kZ. „„„„ 6分

2sin(x4)，

∴f(4)2sin23，得sin13. „„„„„ 8分

∴f(24)2sin2 „„„„„ 9分

2  2cos2 „„„„„ 10分

212sin „„„„„ 11分

2729. „„„„„ 12分

17．（本小题满分12分）

(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：∵甲班学生的平均分是85， ∴

92968080x857978785. „„„„„ 1分

∴x5. „„„„„ 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83，

∴y3. „„„„„ 3分 （2）解：甲班7位学生成绩的方差为

s22167725202027221140. „„ 5分

（3）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B， „„„„„ 6分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E. „„„„„ 7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：A,B,A,C,A,D, E,C A,E,B,C,B,D,B,,D,C,E,. D , E „„„„„ 9分

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：A,B,A,C,A,D,

A,E,B,C,B,D,B,. E „„„„„11分

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记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事

件M，则PM710.

710答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为.

„„„„„12分

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE， 则PE平面ABCD. „„„„„ 2分 ∵AD平面ABCD，

∴ADPE. „„„„„ 3分 ∵ADCD，CDPEE,CD平面PCD，PE平面PCD， ∴AD平面PCD. „„„„„ 5分 ∵PC平面PCD，

∴ADPC. „„„„„ 6分 （2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，PCPD3，DEEC2， 在Rt△PED中，PE∵PE∴AB∵EF∴ABPD2DE25，„„„„„ 7分

P 过E作EFAB，垂足为F，连接PF，

平面ABCD，AB平面ABCD，

PE. „„„„„ 8分 平面PEF，PE平面PEF，EFPEE， 平面PEF. „„„„„ 9分

DF∵PF平面PEF，

∴ABPF. „„„„„ 10分 依题意得EFAD2. „„„„„ 11分 在Rt△PEF中， PF12PE2EBCAEF23， „„„„„ 12分

∴△PAB的面积为SABPF6.

∴四棱锥PABCD的侧面PAB的面积为6. „„„„„ 14分

19．（本小题满分14分）

(本小题主要考查数列、数列求和等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：∵{Sn1}是公比为2的等比数列，

n1n1(a11)2. „„„„„ 1分 ∴Sn1(S11)2n11. ∴Sn(a11)2第3页（共9页）

从而a2S2S1a11，a3S3S22a12. „„„„„ 3分 ∵a2是a1和a3的等比中项

∴(a11)2a1(2a12)，解得a11或a11. „„„„„ 4分 当a11时，S110，{Sn1}不是等比数列， „„„„„ 5分 ∴a11.

∴Sn2n1. „„„„„ 6分 当n2时，anSnSn12n1. „„„„„ 7分 ∵a11符合an2n1，

∴an2n1. „„„„„ 8分 （2）解：∵nann2n1，

12n1 ∴Tn112232n2 2Tn1222123. ① „„„„„ 9分

n32n2.② „„„„„ 10分

n1①②得Tn1222 12nn2n2 „„„„„ 11分

n12n2 „„„„„ 12分

1n2n1. „„„„„ 13分 ∴Tnn12n1. „„„„„ 14分

20.（本小题满分14分）

(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解法1：∵f ∴可设fx是二次函数，不等式fx0的解集是0,5，

xaxx5，a0. „„„„„ 1分

/ ∴f(x)2ax5a. „„„„„ 2分

∵函数fx在点1,f1处的切线与直线6x第4页（共9页）

y10平行，

∴f/16. „„„„„ 3分

∴2a5a6，解得a2. „„„„„ 4分 ∴fx2xx52x210x. „„„„„ 5分

解法2：设fxax2bxc，

∵不等式f∴方程ax2x0的解集是0,5，

bxc0的两根为0,5.

∴c0,25a5b0. ① „„„„„ 2分 ∵f/(x)2axb. 又函数f ∴f/x在点1,f1处的切线与直线6xy10平行，

16.

∴2ab6. ② „„„„„ 3分

由①②,解得a2,b10. „„„„„ 4分 ∴fx2x210x. „„„„„ 5分

（2）解：由（1）知，方程fx37x0等价于方程2x10x32370.

„„„„„ 6分

设hx2x310x237，

则h/x6x220x2x3x10. „„„„„ 7分

当x0,1010/时，h3x100，函数hx在0,3上单调递减； „„„ 8分  当x,时，h/310,，函数在x0hx3上单调递增. „ 9分  ∵h310,h1010,h450， „„„„„ 12分 327 ∴方程hx0在区间3,1010,4，内分别有唯一实数根，在区间0,3,

33第5页（共9页）

4,内没有实数根. „„„„„ 13分

∴存在唯一的自然数t3，使得方程fx37x0在区间t,t1内有且只

有两个不等的实数根. „„„„„ 14分

21.（本小题满分14分）

(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1：抛物线C2:y24x的焦点F的坐标为1,0，准线为x1， 设点P的坐标为x0,y0，依据抛物线的定义，由PF53，得1x053， 解得x023.

„„„„„ 1分

∵ 点P在抛物线C2上，且在第一象限，

23∴ y04x042，解得y0263. ∴点P的坐标为226,33. „„„„„ 2分 22 ∵点P在椭圆C1:xa22yb1上， ∴

49a283b21. „„„„„ 3分

2222又c1，且abcb1， „„„„„ 4分

解得a4,b3.

x222∴椭圆C1的方程为

4y231. „„„„„ 5分

2解法2: 抛物线C2:y4x的焦点F的坐标为1,0，

设点P的坐标为x0,y0,x00,y00. ∵PF53,

2 ∴x01y02259. ① „„„„„ 1分

2 ∵点P在抛物线C2:y4x上,

第6页（共9页）

2 ∴y04x0. ②

解①②得x023,y0263.

226∴点P的坐标为,33. „„„„„ 2分 22 ∵点P在椭圆C1:xa22yb1上， ∴

49a283b21. „„„„„ 3分

又c1，且a2b2c2b21， „„„„„ 4分 解得a24,b23.

x2∴椭圆C1的方程为(2)解法1：设点M4y231. „„„„„ 5分

x1,y1、Nx2,y2、Rx,y，

 则FMx11,y1,FNx21,y2,FRx1,y.  ∴FMFNx1x22,y1y2.

∵ FMFNFR,

∴x1x22x1,y1y2y. ① „„„„„ 6分

x142∵M、N在椭圆C1上， ∴

y1321,x242y2321.

上面两式相减得

x1x2x1x24y1y2y1y230.②

把①式代入②式得

x1x1x24yy1y230.

当x1x2时，得

y1y2x1x23x14y. ③ „„„„„ 7分

设FR的中点为Q，则Q的坐标为∵M、N、Q、A四点共线，

x1y,22. 第7页（共9页）

y∴kMNkAQ, 即

y1y2x1x2y2x121yx3. ④ „„„„„ 8分

把④式代入③式，得

x33x14y，

化简得4y23x24x30. „„„„„ 9分 当x1x2时，可得点R的坐标为3,0，

经检验，点R3,0在曲线4y23x24x30上.

∴动点R的轨迹方程为4y23x24x30. „„„„„ 10分

解法2：当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykx1，

ykx1,2 由2消去y，得34k2xy1,34x28kx4k22120.

设点Mx1,y1、Nx2,y2、Rx,y，

8k22 则x1x234k,

y1y2kx11kx21kx1x22 ∵FMx11,y1,FNx21,y2,FRx1,y.  ∴FMFNx1x22,y1y2.

6k34k2.„6分

∵ FMFNFR,

∴x1x22x1,y1y2y.

8k22∴x1x1x26k34k234k, ①

y. ② „„„„„ 7分

第8页（共9页）

①②得k3x14y， ③ „„„„„ 8分

把③代入②化简得4y23x24x30. (*) „„„„„ 9分 当直线MN的斜率不存在时，设直线MN的方程为x1, 依题意, 可得点R的坐标为3,0，

经检验，点R3,0在曲线4y23x24x30上.

∴动点R的轨迹方程为4y23x24x30. „„„„„ 10分

(3)解: 由(2)知点Rx,y的坐标满足4y23x4x30,

2即4y23x24x3,

由y20,得3x24x30,解得3x1. „„„„„ 11分 ∵圆x1y21的圆心为F1,0,半径r1, ∴RF2x1122y2x123x424x3  x10105. „„„„„ 12分

4, „„„„„ 13分

2 ∴当x3时,RF 此时,RT

maxmax415. „„„„„ 14分

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