旋转竞赛题

分析：因为EF+（AE+AF）=（BE+DF）+（AE+AF）=2，所以EF=BE+DF，于是把△CDF绕点C逆时针旋转90°到△CBG的位置，这时EF=EG，CF=CG，从而△CFE≌△CEG，而∠FCG=90°，故∠ECF=45°． D

F

AECBG. 如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °，则有结

论EF＝BE＋FD成立； （1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

∠ABC90，如图1，已知△ABC中，ABBC1，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直

角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．

（1）在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N． ①证明DMDN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，

求出其面积；

（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DMDN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DMDNF 是否仍然成立？请写出结论，不用证明．

A A D D M

A C N B ED E B N C M F M E

B N C 图2

F 图1 图3

（1）①证明：连结DB． 在Rt△ABC中，方法一：

ABBC，ADDC．DBDCAD，∠BDC90．

∠ABD∠C45．∠MDB∠BDN∠CDN∠BDN90，

∠MDB∠NDC．△BMD≌△CND．DMDN．

方法二：

∠A∠DBN45．∠ADM∠MDB∠BDN∠MDB90．

∠ADM∠BDN．△ADM≌△BDN．DMDN． ②四边形DMBN的面积不发生变化；

由①知：△BMD≌△CND，S△BMDS△CND．

S四边形DMBNS△DBNS△DMBS△DBNS△DNCS△DBC（2）DMDN仍然成立， 证明：连结DB．

在Rt△ABC中，ABBC，ADDC，

11S△ABC． 24

DBDC，∠BDC90．∠DCB∠DBC45．∠DBM∠DCN135．

∠NDC∠CDM∠BDM∠CDM90，∠CDN∠BDM．

△CDN≌△BDM．DMDN．

（3）DMDN．

5.如图，点O是等边△ABC内一点，AOB110，BOC．将△BOC绕点C按

A 顺时针方向旋转60得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形；

110

D

O B C

（2）当150时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度时，△AOD是等腰三角形？

（1）证明：∵COCD，OCD60°，∴△COD是等边三角形． （2）解：当150°，即BOC150°时，△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC， ∴ADCBOC150°．又∵△COD是等边三角形，∴ODC60°．∴ADO90°． 即△AOD是直角三角形． （3）解：①要使AOAD，需AODADO．∵AOD190°，ADO60° ∴190°60°．∴125°．

②要使OAOD，需OADADO．∵OAD180°(AODADO)50°，∴60°50°． ∴110°．

③要使ODAD，需OADAOD．∴190°50°．∴140°．

综上所述：当的度数为125°，或110°，或140°时，△ABC是等腰三角形．

例1 (1992年北京初二竞赛题)如图1，五边形ABCDE中，∠B=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，求这个五边形的面积。

CCBBDA图 1EADEF图 2

如图3，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF。若BE=12，CF=5，求：①△BDE与△DCF的面积之和；

②△DEF的面积。

AEFBD图 3CBEAFD图 4C

分析：连结AD，即可发现△DCF与△DAE全等，把△DCF旋转到△DAE，于是△DCF就与△BDE “凑”在一起了。

解：连结AD，由于D是等腰直角三角形斜边BC的中点，所以AD=BD=DC，且AD⊥BC，又DE⊥DF，所以∠ADE=∠CDF(同为∠ADF的余角)，又∠EAD=∠C=45°，

故△DCF≌△DAE。从而△DCF绕D点按逆时针方向旋转90°，就得到△DAE。

于是DE=DF，AE=CF=5，又由AB=AC有AF=BE=12，AB=AC=5+12=17。 所以△BDE与△DCF的面积之和=△BDE与△DAE的面积之和=△ABD的面积=

111△ABC面积的一半=××17×17=72(平方单位)。

224EF=AE2AF252122=13，则等腰直角三角形DEF斜边EF上的高为

13211131142 EF=。因此△DEF的面积=·EF·EF=442222如图5，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC。证明：BD2=AB2+BC2。

ABABDCDC图 6E

分析：由于结论的形式与勾股定理的结论相似，故应设法构成直角三角形，使其三边为BD、AB、BC的长。因∠ADC=60°，AD=DC，所以可将△DAB绕D点顺时针旋转60°，再由角度推证直角三角形。

解：如图6，将△DAB绕D点顺时针旋转60°，得到△DCE，且DE = DB，CE=AB。连结BE。

∵∠BDE=60°，DE = DB，∴△BDE是等边三角形，∴BE=BD。 ∵∠DCE+∠DCB=∠DAB+∠DCB=360°-∠ADC-∠ABC=270°， ∴∠BCE=360°-(∠DCE+∠DCB)=90°。

图 5∴在Rt△BCE中，有BE2=CE2+BC2，即BD2=AB2+BC2。

2、如图8，P为等边△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，求以AP、BP、CP为边构成的三角形各内角的度数。

APB图 8C

参：

1、如图9，∵∠ADC =90°，AD=CD，∴将△DAP绕点D逆时针旋转90°，得到△DCQ。在四边形ABCD中，∵∠ADC+∠ABC= 2×90°=180°，∴∠A+∠DCB= 360°-180°=180°，∴∠DCQ+∠DCB= 180°，∴点Q、C、B在一条直线上。由∠DPB=∠B= ∠Q=90°，DP=DQ，可知四边形DPBQ是正方形。∴DP=1832。

ADQPCBCQ图 10AP图 9B

2、如图10，将△CPA绕C点逆时针旋转60°到△CQB的位置，连结PQ，则CP=CQ，AP=BQ，且∠PCQ=60°，所以△CPQ为等边三角形。所以△BPQ是以AP、BP、CP为边构成的三角形。

△ BPQ各内角的度数为：

∠PQB=∠CQB-∠CQP=123°-60°=63°；

∠BPQ=∠BPC-∠QPC=360°-113°-123°-60°=°； ∠PBQ=180°-∠BPQ-∠PQB=180°-°-63°=53°。 (提示：本题有多种旋转方法)

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG. （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和

位置关系？请直接写出你的猜想. （2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系

和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.

图（1） 图（2） 图（3）

第26题图

．如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且AF平分∠DAE。求证：AE=DF+BE.

如图，已知Rt△ABC中，M是斜边BC的中点，D、E分别在AB、AC上，且DM⊥ME，BD=3，CE=4。求：线段DE的长。

10．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°。求证：△AMN的周长等于2。

．已知梯形ABCD中，AD∥BC，CD=BC，∠C=60°，若∠EAB=60°， ∠DAE=28°．求∠EBC的度数．

AD

B

．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．

C B D 图①

A E F B(E) A

F C 图②

O D B(E) F O C 图③

D A

EC（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B(E)，C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 ． （2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

【解】（1）AFDDCA（或相等） （2）AFDDCA（或成立），理由如下： 由△ABC≌△DEF，得

，ABCDEF，BACEDF． ABDE，BCEF（或BFEC）

ABCFBCDEFCBF，ABFDEC．

ABDE，在△ABF和△DEC中，ABFDEC，△ABF≌△DEC，BAFEDC．

BFEC，BACBAFEDFEDC，FACCDFAODFACAFDCDFDCA，AFDDCA．

（3）如图，BOAD． 由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得BACBDF，BABD．

点B在AD的垂直平分线上，且BADBDA．

A OADBADBAC，ODABDABDF，

OADODA．OAOD，点O在AD的垂直平分线上．

G

直线BO是AD的垂直平分线，BOAD． F O C B(E)

7.已知Rt△ABC中，ACB90，CACB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

（1）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2AM2BN2； （2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2AM2BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． C G E

C

C D

E B A B N M A M N B M N A E

D F F F

图②

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

A

D G E

B

F C

A

F

E B

A D

G E F

B

C

C

D