常微分方程期末试题(A) 及答案

代入原方程,得到新方程 1、 函数f(x, y)=x+siny对y 是否满足李普希兹条件( B ).

d2、(A)不满足； (B)满足； (C)可能满足； (D)可能不满足 d 2、下列方程中无奇解的是.（ D）

令 u, 代入上式, 又得到新方程 udu1ud1u （A）y3y23（B）y1y2（C）yxy2y2（D）yx2y2

当u22u10时, 整理得

(1u)du3、向量函数组Yu22u1d

1(x),Y2(x),,Yn(x)在其定义区间I上的朗斯基行列式

积分得

W(x)0,xI,是其线性相关的( C )．

12lnu22u1ln12lnC （A）充分条件;（B）充要条件;（C）必要条件;（D）既非充分又非必要条件. 即 2(u22u1)C或 222C 4、

V(x22以x1,y2代回, 即得原方程的通积分 1,x2)x1x2是一个( )的李雅普诺夫函数.（ A ）

(A)正定的 (B)负定的 (C)常正的 (D)常负的

(y2)22(x1)(y2)(x1)2C

5、用待定系数法求方程yy2sinx的非齐次特解y1时，应将特解y1设为（ D）． 当u22u10时,解得u12,还原后又得到原方程的两个解 （A）y1Asinx （B）y1AsinxBcosx y(12)(x1)2和y(12)(x1)2 （C）y1Bcosx （D）y1x(AsinxBcosx) 2、求解方程ydy

dxx(1y2)； 二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共25分）

当y1时，分离变量得

y1y2dyxdx 1、求解方程dyxydx1xy3； 等式两端积分得 解 因11

y2dyxdxC1

1120, 方程组

1y

1 10 有解 1,2ln1y212x2Cy2Cex21 1,Ce2C1 302

方程的通积分为 y21Cex2

令 x1,y2

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3、求解方程dy3ye2x dx3x齐次方程的通解为 yCe

xx yp

1yp2xpx2令非齐次方程的特解为 yC(x)e3x

代入原方程，确定出 C(x)15e5xC 原方程的通解为 yCe3x+1e2x5

4、解方程x2(ex3y2)dx2x3ydy0 解 M(x,y)x2(ex3y2)，N(x,y)2x3y

My6x2yNx 因此，原方程是全微分方程． 取(x0,y0)(0,0)，原方程的通积分为 x0(x2ex3x2y2)dxC 或

xx0x2exdx30x2y2dxC

即 (x22x2)exx3y2C 5、求解方程y(y)2xy12x2 解 令xxyp，则，原方程的参数形式为

2 由dyydx，有

(px)dx(2px)dppdx

整理得 (2px)(dpdx1)0 由2px0，解得px2，代入参数形式的第三式，得原方程的一个特解为yx24

由

dpdx10，解得pxC，代入参数形式的第三式，得原方程通解为 y12x2CxC2

三、解下列方程组（每小题8分，共16分）。

dxxy1、求方程组dt的通解； dydt4xy

解 特征方程为 AE11410

即 2230

特征根为 13，21

13对应特征向量应满足

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131a10 b0

4131可确定出

11202,0,0

R2为011022a11 

于是可得原方程组三个线性无关解

b12同样可算出21对应的特征向量为

a2b12 2 所以，原方程组的通解为

xyCe3tet12e3tC2 2et dy1dt3y1y2y32、求方程组dy2y12y2y3的通解， dtdy3dty1y2y3

3解 系数矩阵是A11121 111特征方程为 (2)30 有三重特征根 1,2,32

于是可设其解为 Y(x)(R22x0R1xR2x)e

1解得R01,00，相应的R1110可分别取0,1为1,0,01， 01111Y1011x120x21(x)e2x0112Y012x2(x)10xe01Y(x)0112001xx2e2x11112由此可得方程的通解为Y(x)C1Y1(x)C2Y2(x)C3Y3(x)

四、解下列高阶方程（每小题8分，共24分）。

1、求方程y3y9y13y0的通解 解 特征方程为：3329130，即

(1)(2413)0，

由此得特征根为 11，223i，323i 因此，基本解组为 ex，e2xcos3x，e2xsix3x

所以通解为 yCx2x2x1eC2ecos3xC3esix3x

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2、求方程y5y5x2x的通解 解 对应齐次方程的特征方程为

2 X(s)(s1)(s2)

L[2e3t]2L[e3t]故有 X(s)t2 s3250，即(5)。

特征根为10，25，因此齐次方程的通解为

2121 (s1)(s2)(s3)s1s2s3而 L[e]yC1C2e5x

由于0是单特征根，故已知非齐次方程有形如

111 ,L[e2t],L[e3t]s1s2s3t2t3t故所求的初值解为 x(t)e2ee

y1x(Ax2BxC)

的特解。将它代入已知方程，并比较x的同次幂系数，得

11A，B0，C0，故y1x3。于是，可得通解为

331yx3C1C2e5x

33、求函数f(t)t的拉普拉斯变换，其中n是正整数，s0 解 由定义有

nL[tn]esttndt0n! n1s

五、应用题（共10分）。

用拉普拉斯变换求解初值问题：

x3x2x2e；x(0)0，x(0)0

解 设L[x(t)]X(s), x(t)是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换，可分别得到L[x3x2x]L[x]3L[x]2L[x] X(s)[s3s2]

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